In recent years many discoveries have been made that reveal a close relation between quantum information and geometry in the context of the AdS/CFT correspondence. In this duality between a conformal quantum field theory (CFT) and a theory of gravity on Anti-de Sitter spaces (AdS) quantum information quantities in CFT are associated with geometric objects in AdS. Subject of this thesis is the examination of this intriguing property of AdS/CFT. We study two central elements of quantum information: subregion complexity -- which is a measure for the effort required to construct a given reduced state -- and the modular Hamiltonian -- which is given by the logarithm of a considered reduced state. While a clear definition for subregion complexity in terms of unitary gates exists for discrete systems, a rigorous formulation for quantum field theories is not known. In AdS/CFT, subregion complexity is proposed to be related to certain codimension one regions on the AdS side. The main focus of this thesis lies on the examination of such candidates for gravitational duals of subregion complexity. We introduce the concept of \textit{topological complexity}, which considers subregion complexity to be given by the integral over the Ricci scalar of codimension one regions in AdS. The Gauss-Bonnet theorem provides very general expressions for the topological complexity of CFT\(_2\) states dual to global AdS\(_3\), BTZ black holes and conical defects. In particular, our calculations show that the topology of the considered codimension one bulk region plays an essential role for topological complexity. Moreover, we study holographic subregion complexity (HSRC), which associates the volume of a particular codimension one bulk region with subregion complexity. We derive an explicit field theory expression for the HSRC of vacuum states. The formulation of HSRC in terms of field theory quantities may allow to investigate whether this bulk object indeed provides a concept of subregion complexity on the CFT side. In particular, if this turns out to be the case, our expression for HSRC may be seen as a field theory definition of subregion complexity. We extend our expression to states dual to BTZ black holes and conical defects. A further focus of this thesis is the modular Hamiltonian of a family of states \(\rho_\lambda\) depending on a continuous parameter \(\lambda\). Here \(\lambda\) may be associated with the energy density or the temperature, for instance. The importance of the modular Hamiltonian for quantum information is due to its contribution to relative entropy -- one of the very few objects in quantum information with a rigorous definition for quantum field theories. The first order contribution in \(\tilde{\lambda}=\lambda-\lambda_0\) of the modular Hamiltonian to the relative entropy between \(\rho_\lambda\) and a reference state \(\rho_{\lambda_0}\) is provided by the first law of entanglement. We study under which circumstances higher order contributions in \(\tilde{\lambda}\) are to be expected. We show that for states reduced to two entangling regions \(A\), \(B\) the modular Hamiltonian of at least one of these regions is expected to provide higher order contributions in \(\tilde{\lambda}\) to the relative entropy if \(A\) and \(B\) saturate the Araki-Lieb inequality. The statement of the Araki-Lieb inequality is that the difference between the entanglement entropies of \(A\) and \(B\) is always smaller or equal to the entanglement entropy of the union of \(A\) and \(B\). Regions for which this inequality is saturated are referred to as entanglement plateaux. In AdS/CFT the relation between geometry and quantum information provides many examples for entanglement plateaux. We apply our result to several of them, including large intervals for states dual to BTZ black holes and annuli for states dual to black brane geometries. / In den letzten Jahren wurden viele Entdeckungen gemacht, welche eine enge Beziehung zwischen Quanteninformation und Geometrie im Kontext der AdS/CFT-Korrespondenz aufzeigen. In dieser Dualität zwischen einer konformen Quantenfeldtheorie (CFT) und einer Gravitationstheorie auf Anti-de-Sitter-Räumen (AdS) werden Quanteninformationsgrößen der CFT mit geometrischen Objekten in AdS assoziiert. In der vorliegenden Arbeit wird dieser faszinierende Aspekt von AdS/CFT untersucht. Wir studieren zwei Objekte welche eine zentrale Rolle in der Quanteninformation spielen: Die Teilregionkomplexität (subregion complexity) -- welche ein Maß für den nötigen Aufwand zur Konstruktion eines vorgegebenen reduzierten Zustandes ist -- und den modularen Hamiltonoperator -- welcher durch den Logarithmus eines reduzierten Zustandes gegeben ist. Während eine klare Definition der Teilregionkomplexität mittels unitärer Gatter für diskrete Systeme angegeben werden kann, ist eine präzise Formulierung für Quantenfeldtheorien nicht bekannt. In der AdS/CFT-Korrespondenz wird angenommen, dass die Teilregionkomplexität mit bestimmten Regionen der Kodimension eins in AdS-Räumen in Beziehung stehen. Der Hauptfokus der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung derartiger Kandidaten für Gravitationsduale der Teilregionkomplexität. Wir führen das Konzept der \textit{topologischen Komplexität} (topological complexity) ein, welches das Integral über den Ricci-Skalar bestimmter Teilregionen von AdS-Räumen als das Gravitationsdual der Teilregionkomplexität ansieht. Der Satz von Gauss-Bonnet erlaubt es uns sehr allgemeine Ausdrücke für die Teilregionkomplexität von CFT\(_2\)-Zuständen mit globalem AdS\(_3\), BTZ-Schwarzen-Löchern oder konischen Defekten als Gravitationsdual zu konstruieren. Unsere Berechnungen zeigen insbesondere, dass die Topologie der betrachteten Kodimension-Eins-Regionen eine große Rolle für die topologische Komplexität spielt. Weiterhin befassen wir uns mit der holographischen Teilregionkomplexität (holographic subregion complexity, HSRC), welche annimmt, dass die Teilregionkomplexität durch das Volumen bestimmter Kodimension-Eins-Regionen in AdS-Räumen gegeben ist. Wir leiten einen expliziten Ausdruck für die HSRC von Vakuumzuständen in Größen der Feldtheorie her. Die Formulierung der HSRC in Feldtheoriegrößen könnte es ermöglichen zu untersuchen ob diese Größe tatsächlich als die Teilregionkomplexität der CFT interpretiert werden kann. Sollte sich dies bestätigen, kann unser Feldtheorieausdruck für HSRC als Definition für die Teilregionkomplexität der CFT angesehen werden. Wir verallgemeinern unseren Ausdruck für HSRC dahingehend, dass er auch für Zustände dual zu BTZ-Schwarzen-Löchern und konischen Defekten gültig ist. Ein weiterer Fokus der vorliegenden Arbeit ist der modulare Hamiltonoperator einer Familie von Zuständen \(\rho_\lambda\), welche von einem kontinuierlichen Parameter \(\lambda\) abhängen. Hierbei kann \(\lambda\) beispielsweise der Energiedichte oder der Temperatur entsprechen. Die Bedeutung des modularen Hamiltonoperator für die Quanteninformation ist auf seinen Beitrag zur relativen Entropie zurückzuführen -- eine der wenigen Größen der Quanteninformation für welche eine formale Definition für Quantenfeldtheorien bekannt ist. Der Beitrag erster Ordnung in \(\tilde{\lambda}=\lambda-\lambda_0\) des modularen Hamiltonoperators zur relativen Entropie zwischen \(\rho_\lambda\) und einem Referenzzustand \(\rho_{\lambda_0}\) ist gegeben durch den ersten Hauptsatz der Verschränkung (first law of entanglement). Wir untersuchen unter welchen Umständen Beiträge höherer Ordnung in \(\tilde{\lambda}\) zu erwarten sind. Wir zeigen, dass für Zustände die auf zwei Teilregionen \(A\), \(B\) reduziert wurden in der Regel mindestens einer dieser Beiträge höherer Ordnung in \(\tilde{\lambda}\) zur relativen Entropie liefert, wenn \(A\) und \(B\) die Araki-Lieb-Ungleichung saturieren. Die Araki-Lieb-Ungleichung besagt, dass die Differenz der Verschränkungsentropien von \(A\) und \(B\) stets kleiner oder gleich der Verschränkungsentropie der Vereinigung von \(A\) und \(B\) ist. Regionen für welche die Araki-Lieb-Ungleichung saturiert ist werden als Verschränkungsplateaus (entanglement plateaux) bezeichnet. In der AdS/CFT-Korrespondenz gibt es aufgrund der Beziehung zwischen Quanteninformation und Geometrie viele Beispiele für derartige Plateaus. Wir wenden unser Resultat auf einige dieser an. Unter anderem diskutieren wir große Intervalle für Zustände dual zu BTZ-Schwarzen-Löchern und Annuli für Zustände dual zu schwarzen Branen.

The AdS/CFT correspondence is an explicit realization of the holographic principle. It describes a field theory living on the boundary of a volume by a gravitational theory living in the interior and vice-versa. With its origins in string theory, the correspondence incorporates an explicit relationship between the degrees of freedom of both theories: the AdS/CFT dictionary. One astonishing aspect of the AdS/CFT correspondence is the emergence of geometry from field theory. On the gravity side, a natural way to probe the geometry is to study boundary-anchored extremal surfaces of different dimensionality. While there is no unified way to determine the field theory dual for such non-local quantities, the AdS/CFT dictionary contains entries for surfaces of certain dimensionality: it relates two-point functions to geodesics, the Wilson loop expectation value to two-dimensional surfaces and the entanglement entropy, i.e. a measure for entanglement between states in a region and in its complement, to co-dimension two surfaces in the bulk. In this dissertation, we calculate these observables for gravity setups dual to thermal states in the field theory. The geometric dual is given by AdS Schwarzschild black holes in general dimensions. We find analytic results for minimal areas in this setup. One focus of our analysis is the high-temperature limit. The leading and subleading term in this limit have diverse interpretation for the different observables. For example, the subleading term of the entanglement entropy satisfies a c-theorem for renormalization flows and gives insights into the number of effective degrees of freedom. The entanglement entropy emerged as the favorable way to probe the geometric dual. In addition to the extremal bulk surface, the holographic entanglement entropy associates a bulk region to the considered boundary region. The volume of this region is conjectured to be a measure of complexity, i.e. a measure of how difficult it is to obtain the corresponding field-theory state. Building on our aforementioned results for the entanglement entropy, we study this complexity for AdS Schwarzschild black holes in general dimensions. In particular, we draw conclusions on how efficient holography encodes the field theory and compare these results to MERA tensor networks, a numerical tool to study quantum many-body systems. Moreover, we holographically study the complexity of pure states. This sheds light on the notion of complexity in field theories. We calculate the complexity for a simple, calculable example: states obtained by conformal transformations of the vacuum state in AdS3/CFT2. In this lower-dimensional realization of AdS/CFT, the conformal group is infinite dimensional. We construct a continuous space of states with the same complexity as the vacuum state. Furthermore, we determine the change of complexity caused by small conformal transformation. The field-theory operator implementing this transformation is known and allows to compare the holographic results to field theory expectations. / Die AdS/CFT Korrespondenz ist ein explizites Beispiel für das holographische Prinzip. Es beschreibt eine Feldtheorie auf dem Rand eines Volumens durch eine Theorie mit Gravitation im Inneren und vice-versa. Aus dem Ursprung in der Stringtheorie folgt ein expliziter Zusammenhang zwischen den Freiheitsgraden beider Theorien: das AdS/CFT Lexikon. Ein verblüffender Aspekt der AdS/CFT Korrespondenz ist die Entstehung der Geometrie aus der Feldtheorie. Ein natürlicher Weg um die Geometrie auf der Gravitationsseite zu untersuchen sind extremale Flächen, die am Rand verankert sind. Es gibt keinen einheitlichen Weg um die duale Größe in der Feldtheorie für solche nichtlokalen Größen zu bestimmen, jedoch gibt es für Flächen bestimmer Dimension Einträge im AdS/CFT Lexikon: es bringt Zweipunktfunktionen mit Geodäten, Wilson loops mit zweidimensionalen Flächen und die Verschränkungsentropie, ein Maß für Verschränkung zwischen einer Region und ihrem Komplement, mit Flächen der Kodimension zwei in Verbindung. In dieser Dissertation untersuchen wir diese Observablen für Geometrien dual zu thermischen Zuständen in der Feldtheorien. Die duale Geometrien sind AdS Schwarzschild schwarze Löcher in allgemeiner Raumzeitdimension. Wir erhalten analytische Ergebnisse. Ein Fokus liegt auf das Verhalten bei hoher Temperatur. Die in diesem Limit dominanten Terme haben vielfältige Interpretationen für die unterschiedlichen Observablen. Der Term zweiter Ordnung für die Verschränkungsentropie erfüllt zum Beispiel ein c-Theorem für Renormalizisierungsgruppen und gibt daher Aufschlüsse über die Anzahl der effektiven Freiheitsgrade. Die Verschränkungsentropie stellt sich als erfolgreicher Weg heraus um die duale Geometrie zu untersuchen. Neben der extremalen Fläche bringt die holographische Verschränkungsentropie auch eine Raumregion zu der gegebenen Randregion in Verbindung. Das Volumen dieser Raumregion wird als Maß für die Komplexität, ein Maß für den Schwierigkeitsgrad den entsprechenden Zustand in der Feldtheorie zu konstruieren, angesehen. Wir berechnen dieses Volumen für AdS Schwarzschild aufbauend auf unseren oben erwähnten Ergebnissen zu der Verschränkungsentropie. Wir ziehen Rückschlüsse wie effektiv Holographie die Feldtheorie beschreibt und vergleichen diese Ergebnisse zu MERA Tensornetzwerken, einer numerische Methode um Vielteilchensysteme zu beschreiben. Anschließend betrachten wir die Komplexität von reinen Zuständen holographisch. Dies gibt Einblicke in das Konzept von Komplexität in Feldtheorien. Wir untersuchen die Komplexität für ein einfaches, berechenbares Beispiel: Zustände erzeugt von konformen Transformationen des Vakuumzustandes in AdS3/CFT2. Die konforme Gruppe hat unendlich viele Dimensionen in diesem niedrig dimensionalen Beispiel von AdS/CFT. Wir konstruieren ein kontinuierliches Raum von Zuständen mit gleicher Komplexität wie der Vakuumzustand. Außerdem bestimmen wir die Änderung der Komplexität für kleine konforme Transformationen. Der Operator in der Feldtheorie ist bekannt und erlaubt uns unsere Ergebnisse zu Feldtheorieerwartungen zu vergleichen.

This thesis investigates the charged moments and the symmetry-resolved entanglement entropy in the context of the AdS3/CFT2 duality. In the first part, I focus on the holographic U(1) Chern-Simons-Einstein gravity, a toy model of AdS3/CFT2 with U(1) Kac-Moody symmetry. I start with the vacuum background with a single entangling interval. I show that, apart from a partition function in the grand canonical ensemble, the charged moments can also be interpreted as the two-point function of vertex operators on the replica surface. For the holographic description, I propose a duality between the bulk U(1) Wilson line and the boundary vertex operators. I verify this duality by deriving the effective action for the Chern-Simons fields and comparing the result with the vertex correlator. In the twist field approach, I show that the charged moments are given by the correlation function of the charged twist operators and the additional background operators. To solve the correlation functions involved, I prove the factorization of the U(1) extended conformal block into a U(1) block and a Virasoro block. The general expression for the U(1) block is derived by directly summing over the current descendant states, and the result shows that it takes an identical form as the vertex correlators. This leads to the conclusion that the disjoint Wilson lines compute the neutral U(1) block. The final result for the symmetry-resolved entanglement entropy shows that it is always charge-independent in this model. In the second part, I study charged moments in higher spin holography, where the boundary theory is a CFT with W3 symmetry. I define the notion of the higher spin charged moments by introducing a spin-3 modular charge operator. Restricting to the vacuum background with a single entangling interval, I employ the grand canonical ensemble interpretation and calculate the charged moments via the known higher spin black hole solution. On the CFT side, I perform a perturbative expansion for the higher spin charged moments in terms of the connected correlation functions of the spin-3 modular charge operators. Using the recursion relation for the correlation functions of the W3 currents, I evaluate the charged moments up to the quartic order of the chemical potential. The final expression matches with the holographic result. My results both for U(1) Chern-Simons Einstein gravity and W3 higher spin gravity constitute novel checks of the AdS3/CFT2 correspondence. / Diese Arbeit untersucht die Symmetrie-aufgelöste Verschränkungsentropie im Kontext der AdS3/CFT2-Dualität. Im ersten Teil konzentriere ich mich auf die holographische U(1) Chern-Simons-Einstein- Gravitations-Theorie, welches ein Spielzeugmodell für AdS3/CFT2 mit U(1) Kac-Moody-Symmetrie ist. Ich beginne mit dem Vakuumhintergrund mit einem einzigen Verschränkungsintervall. Ich zeige, dass neben einer Partitionsfunktion im großen kanonischen Ensemble die geladenen Momente auch als Zweipunktfunktion von Vertex-Operatoren auf der Replikationsoberfläche interpretiert werden können. Für deren holographische Beschreibung wähle ich eine Dualität zwischen der Bulk U(1) Wilson-Linie und den Randvertexoperatoren. Diese Dualität verifiziere ich, indem ich die effektive Wirkung für die Chern-Simons-Felder herleite und das Ergebnis mit dem Vertex-Korrelator vergleiche. Im Twist-Field-Ansatz zeige ich, dass die geladenen Momente durch die Korrelationsfunktion der geladenen Twist-Operatoren und der zusätzlichen Hintergrundoperatoren gegeben sind. Um die beteiligten Korrelationsfunktionen zu lösen, beweise ich die Faktorisierung des U(1) erweiterten konformen Blocks in einen U(1)-Block und einen Virasoro- Block. Der allgemeine Ausdruck für den U(1) Block wird direkt durch die Summierung über alle Absteigerzustände hergeleitet. Das erzielte Ergebnis hat tatsächlich die gleiche Form wie die Vertex-Korrelatoren hat. Dies führt zur Schlussfolgerung, dass die getrennten Wilson-Linien den neutralen U(1) Block berechnen. Das Endergebnis für die Symmetrieaufgelöste Verschränkungsentropie zeigt, dass sie in diesem Modell immer ladungsunabhängig ist. Im zweiten Teil untersuche ich geladene Momente in der Holographie höherer Spins, wobei die Randtheorie eine CFT mit W3 Symmetrie ist. Ich definiere das Konzept der geladenen Momente höheren Spins, indem ich einen Spin-3-modularen Ladungsoperator einführe.Wenn ich mich auf den Vakuum-Hintergrund mit einem einzelnen Verschränkungsintervall beschränke, nutze ich die Interpretation des großkanonischen Ensembles und berechne die geladenen Momente mithilfe der bekannten Lösung für das schwarze Loch höheren Spins. Auf der CFT-Seite führe ich eine perturbative Expansion für die höheren spingeladenen Momente in Bezug auf die verbundenen Korrelationsfunktionen der modularen Spin-3-Ladungsoperatoren durch. Unter Verwendung der Rekursionsrelationen für die Korrelationsfunktionen der W3-Ströme werte ich die geladenen Momente bis zur quartischen Ordnung des chemischen Potenzials aus. Das endgültige Ergebnis stimmt mit dem holographischen Ergebnis überein. Meine Ergebnisse für U(1) Chern-Simons-Einstein-Gravitation und W3 höhere Spingravitation stellen neuartige Überprüfungen des AdS3/CFT2 dar Korrespondenz.

The celebrated AdS/CFT dualities provide a window to strongly-coupled quantum field theories (QFTs), which are realized in nature at the most fundamental level on the one hand, but are hardly accessible for the standard mathematical tools on the other hand. The prototype examples of AdS/CFT relate classical supergravity theories on (d+1)-dimensional anti-de Sitter space (AdS) to strongly-coupled d-dimensional conformal field theories (CFTs). The AdS spacetimes admit a timelike conformal boundary, on which the dual CFT is defined. In that sense the AdS/CFT dualities are holographic, and this new approach has led to remarkable progress in understanding strongly-coupled QFTs defined on Minkowski space and on the Einstein cylinder. On the other hand, the study of QFT on more generic curved spacetimes is of fundamental interest and non-trivial already for free theories. Moreover, understanding the properties of gravity as a quantum theory remains among the hardest problems to solve in physics. Both of these issues can be studied holographically and we investigate here generalizations of AdS/CFT involving on the lower-dimensional side QFTs on curved backgrounds and as a further generalization gravity. In the first part we expand on the holographic description of QFT on fixed curved backgrounds, which involves gravity on an asymptotically-AdS space with that prescribed boundary structure. We discuss geometries with de Sitter and AdS as conformal boundary to holographically describe CFTs on these spacetimes. After setting up the procedure of holographic renormalization we study the reflection of CFT unitarity properties in the dual bulk description. The geometry with AdS on the boundary exhibits a number of interesting features, mainly due to the fact that the boundary itself has a boundary. We study both cases and resolve potential tensions between the unitarity properties of the bulk and boundary theories, which would be incompatible with a duality. The origin of these tensions is partly in the structure of the geometry with AdS conformal boundary, while another one arises for a particular limiting case where the bulk and boundary descriptions naively disagree. Besides technical challenges, the hierarchy of boundaries for the geometry with AdS conformal boundary offers an interesting option. Namely, having the dual theory on the conformal boundary itself defined on an AdS space offers the logical possibility of implementing a second instance of AdS/CFT. We discuss an appropriate geometric setting allowing for the notion of the boundary of a boundary and identify limitations for such multi-layered dualities. In the second part we consider five-dimensional supergravities whose solutions can be lifted to actual string-theory backgrounds. We work out the asymptotic structure of the theories on asymptotically-AdS spaces and calculate the Weyl anomaly of the dual CFTs. These holographic calculations confirm the expectations from the field-theory side and provide a non-trivial test of the AdS/CFT conjecture. Moreover, building on the previous results we show that in addition to the usual Dirichlet also more general boundary conditions can be imposed. That allows to promote the boundary metric to a dynamical quantity and is expected to yield a holographic description for a conformal supergravity on the boundary. The boundary theory obtained this way exhibits pathologies such as perturbative ghosts, which is in fact expected for a conformal gravity. The fate of these ghosts beyond perturbation theory is an open question and our setting provides a starting point to study it from the string-theory perspective. That discussion leads to a regime where the holographic description of the boundary theory requires quantization of the bulk supergravity. A necessary ingredient of any supergravity is a number of gravitinos as superpartners of the graviton, for which we thus need an effective-QFT description to make sense of AdS/CFT beyond the limit where bulk theory becomes classical. In particular, quantization should be possible not only on rigid AdS, but also on generic asymptotically-AdS spacetimes which may not be Einstein. In the third part we study the quantization and causality properties of the gravitino on Friedmann-Robertson-Walker spacetimes to explicitly show that a consistent quantization can be carried out also on non-Einstein spaces, in contrast to claims in the recent literature. Furthermore, this reveals interesting non-standard effects for the gravitino propagation, which in certain cases is restricted to regions more narrow than the expected light cones. / Die AdS/CFT-Dualitäten ermöglichen einen Zugang zu stark gekoppelten Quantenfeldtheorien (QFT), welche einerseits für die Beschreibung der Natur eine große Rolle spielen, andererseits aber mittels der üblichen mathematischen Methoden schwer zu behandeln sind. Die etablierten Beispiele solcher Dualitäten identifizieren klassische supersymmetrische Gravitationstheorien auf (d+1)-dimensionalen anti-de Sitter Räumen (AdS) mit d-dimensionalen stark gekoppelten konformen Feldtheorien (CFT). Die AdS Raumzeiten besitzen einen zeitartigen konformen Rand, auf dem die duale CFT definiert ist. In diesem Sinn sind die Dualitäten also holographisch, und dieser Zugang hat zu beachtlichen Fortschritten im Verständnis von CFT auf der Minkowski-Raumzeit und dem Einstein-Zylinder geführt. Auf der anderen Seite ist das Verständnis von QFT auf allgemeineren gekrümmten Raumzeiten von besonderem Interesse und nicht-trivial bereits für freie Theorien. Darüber hinaus bleibt das Verständnis von Gravitation als Quantentheorie eines der schwierigsten Probleme in der Physik. Beide Fragestellungen können holographisch betrachtet werden, und wir untersuchen hier Verallgemeinerungen der AdS/CFT-Dualitäten, welche auf der niederdimensionalen Seite QFT auf gekrümmten Räumen und als weitere Verallgemeinerung auch Gravitation beschreiben. Im ersten Teil erweitern wir die holographische Beschreibung von QFT auf festen gekrümmten Raumzeiten, welche sich Gravitationstheorien auf asymptotisch-AdS Räumen mit der entsprechenden Randstruktur bedient. Wir diskutieren Geometrien, deren konformer Rand mit de Sitter oder AdS Raumzeiten identifiziert werden kann, um CFTs auf diesen Räumen holographisch zu beschreiben. Nachdem wir die holographische Renormierung etabliert haben, studieren wir die Unitaritätseigenschaften der CFTs mit Hilfe der dualen bulk-Beschreibung. Die Geometrie mit AdS als Rand zeigt eine Reihe von interessanten Eigenschaften, hauptsächlich da der Rand dieser Geometrie selbst einen Rand hat. Wir untersuchen beide Geometrien und lösen potenzielle Differenzen zwischen den Rand- und bulk-Theorien, welche mit einer Dualität inkompatibel wären. Der Ursprung dieser Differenzen liegt zum einen in der Struktur der Geometrie mit AdS als Rand und rührt zum anderen von einem speziellen Grenzfall, in dem sich die beiden Beschreibungen auf den ersten Blick unterscheiden. Neben technischen Herausforderungen bietet die Hierarchie von Rändern bei der Geometrie mit AdS als Rand eine interessante Option: Mit der dualen CFT wiederum definiert auf einem AdS Raum besteht zumindest prinzipiell die Möglichkeit, eine weitere Instanz von AdS/CFT zu implementieren. Wir diskutieren den passenden geometrischen Rahmen, in dem der Begriff des Randes eines Randes ein wohldefiniertes Konzept ist, und identifizieren Einschränkungen für solche mehrstufige Dualitäten. Im zweiten Teil behandeln wir fünfdimensionale supersymmetrische Gravitationstheorien, deren Lösungen als Stringtheorie-Konfigurationen interpretiert werden können. Wir arbeiten die asymptotische Struktur dieser Theorien auf asymptotisch-AdS Räumen heraus und berechnen die Weyl-Anomalie der dualen CFTs. Diese Rechnungen bestätigen die Erwartungen von der Feldtheorieseite und liefern damit einen nicht-trivialen Test der AdS/CFT-Vermutung. Aufbauend auf diesen Resultaten zeigen wir, dass zusätzlich zu den üblichen Dirichlet- auch allgemeinere Randbedingungen gestellt werden können. Damit wird die Randmetrik zu einer dynamischen Größe und es ergibt sich eine duale Beschreibung für eine konforme Supergravitationstheorie auf dem Rand. Die so erhaltene Randtheorie weist pathologische Eigenschaften wie perturbative Geister auf, was für konforme Gravitationstheorien zu erwarten ist. Die Rolle dieser Geister über die Störungstheorie hinaus ist eine offene Frage und unsere Konstruktion bietet einen Startpunkt, sie von der Stringtheorie-Perspektive zu untersuchen. Dies führt uns in einen Bereich, in dem die holographische Beschreibung der Randtheorie die Quantisierung der bulk-Theorie erfordert. Ein Bestandteil jeder supersymmetrischen Gravitationstheorie ist das Gravitino als Partner des Gravitons, für welches wir daher eine Beschreibung in Form von effektiver QFT benötigen. Insbesondere sollte die Quantisierung auch auf allgemeineren Hintergründen, die nicht notwendig die Einstein-Bedingung erfüllen, möglich sein. Im dritten Teil studieren wir die Quantisierung und Kausalitätseigenschaften des Gravitinos auf Friedmann-Robertson-Walker Raumzeiten. Dabei zeigen wir, dass eine konsistente Quantisierung auch auf Raumzeiten möglich ist, die nicht der Einstein-Bedingung genügen, im Gegensatz zu anderslautenden Schlussfolgerungen in der aktuellen Literatur. Darüber hinaus finden wir interessante Effekte für die Propagation der Gravitinos, welche in bestimmten Fällen auf echte Teilmengen der zu erwartenden Lichtkegel eingeschränkt ist.

We employ the AdS/CFT correspondence and hydrodynamics to analyze the transport properties of \(2+1\) dimensional electron fluids. In this way, we use theoretical methods from both condensed matter and high-energy physics to derive tangible predictions that are directly verifiable in experiment. The first research topic we consider is strongly-coupled electron fluids. Motivated by early results by Gurzhi on the transport properties of weakly coupled fluids, we consider whether similar properties are manifest in strongly coupled fluids. More specifically, we focus on the hydrodynamic tail of the Gurzhi effect: A decrease in fluid resistance with increasing temperature due to the formation of a Poiseuille flow of electrons in the sample. We show that the hydrodynamic tail of the Gurzhi effect is also realized in strongly coupled and fully relativistic fluids, but with modified quantitative features. Namely, strongly-coupled fluids always exhibit a smaller resistance than weakly coupled ones and are, thus, far more efficient conductors. We also suggest that the coupling dependence of the resistance can be used to measure the coupling strength of the fluid. In view of these measurements, we provide analytical results for the resistance as a function of the shear viscosity over entropy density \(\eta/s\) of the fluid. \(\eta/s\) is itself a known function of the coupling strength in the weak and infinite coupling limits. In further analysis for strongly-coupled fluids, we propose a novel strongly coupled Dirac material based on a kagome lattice, Scandium-substituted Herbertsmithite (ScHb). The large coupling strength of this material, as well as its Dirac nature, provides us with theoretical and experimental access to non-perturbative relativistic and quantum critical physics. A highly suitable method for analyzing such a material's transport properties is the AdS/CFT correspondence. Concretely, using AdS/CFT we derive an estimate for ScHb's \(\eta/s\) and show that it takes a value much smaller than that observed in weakly coupled materials. In turn, the smallness of \(\eta/s\) implies that ScHb's Reynolds number, \(Re\), is large. In fact, \(Re\) is large enough for turbulence, the most prevalent feature of fluids in nature, to make its appearance for the first time in electronic fluids. Switching gears, we proceed to the second research topic considered in this thesis: Weakly coupled parity-breaking electron fluids. More precisely, we analyze the quantitative and qualitative changes to the classical Hall effect, for electrons propagating hydrodynamically in a lead. Apart from the Lorentz force, a parity-breaking fluid's motion is also impacted by the Hall-viscous force; the shear-stress force induced by the Hall-viscosity. We show that the interplay of these two forces leads to a hydrodynamic Hall voltage with non-linear dependence on the magnetic field. More importantly, the Lorentz and Hall-viscous forces become equal at a non-vanishing magnetic field, leading to a trivial hydrodynamic Hall voltage. Moreover, for small magnetic fields we provide analytic results for the dependence of the hydrodynamic Hall voltage on all experimentally-tuned parameters of our simulations, such as temperature and density. These dependences, along with the zero of the hydrodynamic Hall voltage, are distinct features of hydrodynamic transport and can be used to verify our predictions in experiments. Last but not least, we consider how a distinctly electronic property, spin, can be included into the hydrodynamic framework. In particular, we construct an effective action for non-dissipative spin hydrodynamics up to first order in a suitably defined derivative expansion. We also show that interesting spin-transport effects appear at second order in the derivative expansion. Namely, we show that the fluid's rotation polarizes its spin. This is the hydrodynamic manifestation of the Barnett effect and provides us with an example of hydrodynamic spintronics. To conclude this thesis, we discuss several possible extensions of our research, as well as proposals for research in related directions. / Wir verwenden die AdS/CFT-Korrespondenz und die Theorie der Hydrodynamik, um die Transporteigenschaften von \(2+1\)-dimensionalen Elektronisches Flüssigkeiten zu untersuchen. Somit nutzen wir sowohl theoretische Methoden der Fest\-körper\-physik als auch der Hochenergiephysik, um konkrete Vorhersagen zu treffen, die unmittelbar in Experimenten verifiziert werden können. Zunächst betrachten wir das Forschungsfeld der stark gekoppelten Elektronischen Flüssigkeiten. Motiviert durch die frühen Ergebnisse für die Transporteigenschaften schwach gekoppelter Flüssigkeiten von Gurzhi untersuchen wir, ob sich ähnliche Eigenschaften auch in stark gekoppelten Flüssigkei\-ten manifestieren. Dabei konzentrieren wir uns insbesondere auf den hydrodynamischen Teil des Gurzhi-Effekts, in welchem der Widerstand der Flüssigkeit mit steigender Temperatur sinkt, weil sich im untersuchten Material ein Poiseuillefluss von Elektronen bildet. Wir zeigen, dass dieser hydrodynamische Teil des Gurzhi-Effekts auch in stark gekoppelten und vollständig relativistischen Flüssigkeiten realisiert ist, einige Eigenschaften sich hierbei aber quantitativ unterscheiden. Insbesondere zeigen stark gekoppelte Flüssigkeiten immer kleinere Widerstände als schwach gekoppelte, und sind damit wesentlich effektivere Leiter. Wir schlagen darüber hinaus vor, die Abhängigkeit des Widerstands von der Kopplung zu nutzen, um die Kopplungsstärke der Flüssigkeit zu messen. Für diese Messungen stellen wir analytische Ergebnisse bereit, welche den Widerstand als Funktion des Quotienten aus Scherviskosität und Entropiedichte \(\eta/s\) der Flüssigkeit ausdrücken. Dabei ist \(\eta/s\) selbst eine bekannte Funktion der Kopplungsstärke in den Grenzfällen schwacher und unendlich starker Kopplung. In einer weiteren Untersuchung stark gekoppelter Flüssigkeiten schlagen wir Scandium-substituiertes Herbertsmithit (ScHb) als neuartiges, stark gekoppeltes Diracmaterial vor, welches auf dem Kagome-Gitter basiert. Die hohe Kopplungsstärke und die Dirac-Eigenschaften dieses Materials vermitteln uns theoretischen und experimentellen Zugang zu nicht perturbativer relativistischer und quantenkritischer Physik. Um die Transporteigenschaften eines solchen Materials zu untersuchen, stellt die AdS/CFT-Korrespondenz eine hervorragend geeignete Methode dar. Konkret nutzen wir AdS/CFT, um eine Abschätzung von \(\eta/s\) in ScHb herzuleiten. Der so ermittelte Wert ist wesentlich kleiner als der entsprechende Messwert für schwach gekoppelte Materialien. Der kleine Wert von \(\eta/s\) wiederum impliziert, dass die Reynolds-Zahl \(Re\) in ScHb groß ist. Tatsächlich ist \(Re\) hinreichend groß, um erstmals Turbulenz in Elektronisches Flüssigkeiten beobachten zu können, ein Effekt, der auch in viele anderen Flüssigkeiten in der Natur vorkommt. Wir gehen zum zweiten Forschungsthema über, welches in der vorliegenden Arbeit besprochen wird: schwach gekoppelte, paritätsbrechende Elektronisches Flüssigkeiten. Wir betracthen die hydrodynamische Bewegung von Elektronen in einen zwei dimensionalen Kanal, und untersuchen die sich ergebenden quantitativen und qualitativen Änderungen gegenüber dem klassischen Hall-Effekt. Außer der Lorentzkraft ist die Bewegung einer paritätsbrechenden Flüss auch den Einflüssen der Hallviskositätskraft ausgesetzt, welche die von der Hall Viskosität induzierte Scherspannungskraft ist. Wir zeigen, dass das Wechselspiel dieser beiden Kräfte zu einer hydrodynamischen Hall-Spannung führt, die nicht linear vom magnetischen Feld abhängt. Noch wichtiger ist, dass Lorentz- sowie hallviskose Kraft für ein nicht verschwindendes Magnetfeld gleich werden und damit zu einer trivialen hydrodynamischen Hall-Spannung führen. Darüber hinaus geben wir für kleine Magnetfeldstärken analytische Ergebnisse an, die die Abhängigkeit der hydrodynamischen Hall-Spannung von allen experimentell festgelegten Parametern unserer Simulation, wie z.B. Temperatur und Dichte, beschreiben. Diese Abhängigkeiten sind zusammen mit der verschwindenden hydrodynamischen Hall-Spannung charakteristische Eigenschaften hydrodynamischen Transports und können daher verwendet werden, um unsere Vorhersagen experimentell zu verifizieren. Zu guter Letzt untersuchen wir, wie eine charakteristische Eigenschaft von Elektronen, der Spin, in die hydrodynamische Theorie einbezogen werden kann. Dazu konstruieren wir eine effektive Wirkung, die nicht dissipative Spin-Hydrodynamik bis zur ersten Ordnung in einer geeigneten Ableitungsentwicklung beschreibt. Wir zeigen darüber hinaus, dass in zweiter Ordnung dieser Entwicklung interessante Spin-Transporteffekte auftreten. Dabei stellt sich heraus, dass die Rotation der Flüssigkeit seinen Spin polarisiert. Dies ist die hydrodynamische Manifestation des Barnett-Effekts, die als Beispiel für hydrodynamische Spintronics dient. Zum Abschluss der vorliegenden Arbeit diskutieren wir mehrere mögliche Erweiterungen unserer Untersuchungen und unterbreiten Vorschläge für weitergehende Forschung in verschiedene Richtungen.

Perhaps the deepest unanswered question in theoretical physics is how to consistently combine the theory of general relativity with the principles of quantum mechanics. In parallel, the holographic principle is expected to be a fundamental property of quantum gravity that allows the latter to be described by a theory in one dimension lower which does not contain gravity. As an explicit realization of the holographic principle, the Anti-de Sitter/Conformal Field Theory (AdS/CFT) correspondence has established itself as our best non-perturbative approach to quantum gravity. Moreover, it has become clear that concepts of quantum information theory play a fundamental role in this duality. Nonetheless, the extent of validity of the holographic principle has not been fully explored yet. In parallel, the AdS/CFT correspondence is still primarily a conjecture rooted in theoretical arguments and, while awaiting a mathematical proof, it would immensely benefit from experimental tests validating its predictions. Motivated by these aspects, in this thesis I advance the field of \textit{discrete holography} by establishing explicit holographic models on both bulk and boundary of discretizations of hyperbolic space. These models assess the wide range of validity of the holographic principle beyond the continuum formulation of AdS/CFT while also enabling the experimental realization of holographic predictions. Furthermore, I investigate quantum information quantities such as circuit complexity, quantum discord, and the operator algebra description of entanglement, and elucidate their roles in describing certain properties of black holes. In the first part of this thesis I consider regular tilings of hyperbolic space as a discretization of constant-time slices of AdS$_{3}$. From the perspective of the bulk, I show that they provide a sensible description of the continuum by establishing how the Breitenlohner-Freedman stability bound for a free scalar field is realized on these tilings. I follow up on this result by considering an interacting scalar field on hyperbolic tilings and showing how a discrete lattice model can emulate CFT correlation functions at both zero and finite temperature. The latter are obtained from a discretization of a constant-time slice of an AdS black hole. Additionally, I present a universal experimental platform based on electric circuits on which the aforementioned results can be measured. My results show that these architectures bear tremendous untapped potential to realize further holographic predictions in the laboratory, beyond those appraised in this thesis. From a boundary perspective, I establish a large class of explicit Hamiltonians defined at the asymptotic boundary of hyperbolic tilings. These are prime candidates for boundary theories in discrete holographic dualities and consist of aperiodically disordered quantum spin chains with nearest-neighbor interactions. The aperiodic disorder encodes information about the systematic construction of the bulk tiling based on substitution rules. Using real-space renormalization group techniques, I study the ground state of these models in view of their factorized form into two-spin states, their correlation functions, and their entanglement structure. I show how the latter is exactly captured by a tensor network which extends into the bulk, thus providing a geometric bulk dual to the boundary theory. The high degree of analytic tractability of these models enables discrete manifestations of the holographic principle. These are realized by the standard prescription for computing entanglement entropy in tensor networks. In the second part of this thesis I focus on three quantum information-theoretic quantities and study them in view of describing properties of quantum black holes via the AdS/CFT correspondence. Starting from quantum circuit complexity as a conjectured probe for the emergence of space behind the horizon, I study a novel definition of Nielsen operator complexity for finite- and infinite-dimensional systems. My construction relates complexity with the theory of classical ideal hydrodynamics while still exhibiting the features desired for a holographic complexity measure. Then, I study geometric quantum discord as an efficient tool for diagnosing non-factorization. This quantity is easier to calculate than its NP-hard cousin (quantum discord), and I show how the geometric quantum discord for pure states vanishes if and only if the modular partition function factorizes. I apply this to the explicit example of an eternal wormhole in AdS and discuss the results in view of holography. Moreover, I establish a relation between geometric quantum discord and wormhole contributions to the gravitational path integral, thus shedding light on the mechanisms behind the factorization puzzle of AdS/CFT. Finally, I study local operator algebras as a rigorous approach to entanglement entropy which has been recently employed in AdS/CFT to explain the emergence of time behind the black hole horizon. In particular, I consider operator algebras in an interacting but exactly solvable quantum many-body system of Majorana fermions. I find transitions between different types of operator algebras throughout the phase diagram of the model, which contains a quantum phase transition. This model provides an explicit instance where such operator algebra transitions can be studied in a tractable many-body system. The results presented in this thesis are published in my works listed in App.~A. / Die wahrscheinlich grundlegendste unbeantwortete Frage der theoretischen Physik betrifft die Vereinigung der allgemeinen Relativitätstheorie mit den Prinzipien der Quantenmechanik. Einer der vielversprechendsten Zugänge beruht auf dem holographischen Prinzip, das eine fundamentale Eigenschaft der Quantengravitation zu sein scheint. Es besagt, dass sich eine Gravitationstheorie alternativ durch eine Theorie ohne Gravitation in einer Dimension niedriger beschreiben lässt. Als explizite Realisierung des holographischen Prinzips hat sich die Anti-de Sitter/Konforme Feldtheorie (AdS/CFT) Korrespondenz als führender Ansatz zur Theorie der Quantengravitation etabliert. Darüber hinaus haben sich Konzepte aus der Quanteninformationstheorie als elementare Bestandteile dieser Dualität heraus\-kristallisiert. Dennoch ist der Geltungsbereich des holographischen Prinzips bisher nicht vollständig erforscht. Zudem ist die AdS/CFT Korrespondenz weitestgehend noch eine Vermutung. Solange ein mathematischer Beweis nicht zur Verfügung steht, kann sie von experimentellen Tests ihrer Vorhersagen extrem profitieren. Diese Aspekte motivieren die aktuelle Dissertation, in der ich Fortschritte im Forschungsfeld der \textit{diskreten Holographie} präsentiere. Dazu etabliere ich explizite holographische Modelle auf Diskretisierungen des hyperbolischen Raums. Diese Modelle zeigen einen erweiterten Gültigkeitsbereich des holographischen Prinzips auf, jenseits der kontinuierlichen Formulierung von AdS/CFT. Zudem ermöglichen sie die experimentelle Realisierung holographischer Vorhersagen. Weiterhin präsentiere ich meine Ergebnisse zu Quanteninformationsmaßen wie der Komplexität von Quantenschaltkreisen, dem Quantendiskord und der Beschreibung von Verschränkungsentropie mittels Operatoralgebren. Ebenso erörtere ich die Signifikanz dieser Maße für die holographische Beschreibung ausgewählter Eigenschaften von Schwarzen Löchern. Im ersten Teil dieser Dissertation beschäftige ich mich mit regulären Tessellierungen des hyperbolischen Raums als Diskretisierungen von AdS$_3$-Hyperflächen bei konstanter Zeit. Für den AdS Raum zeige ich, dass diese Tessellierungen das Kontinuum sinnvoll nähern, indem ich die Breitenlohner-Freedman-Stabilitätsgrenze eines freien Skalarfeldes auf solchen Diskretisierungen realisiere. Anknüpfend an dieses Ergebnis betrachte ich ein wechselwirkendes Skalarfeld auf hyperbolischen Tessellierungen und zeige, wie ein diskretes Gittermodell Korrelationsfunktionen der CFT sowohl bei verschwindender als auch bei endlicher Temperatur emulieren kann. Die Korrelationsfunktionen bei endlicher Temperatur erhalte ich aus der Diskretisierung einer Hyperfläche eines Schwarzen Lochs im AdS-Raum bei konstanter Zeit. Darüber hinaus stelle ich eine universelle experimentelle Plattform vor, die auf elektrischen Schaltkreisen basiert und auf der die oben genannten Ergebnisse gemessen werden können. Meine Ergebnisse zeigen, dass diese Architekturen ein enormes ungenutztes Potenzial aufweisen, um weitere holographische Vorhersagen im Labor zu realisieren, welche über die in dieser Arbeit getesteten hinausgehen. Für die Quantentheorie am Rand des AdS-Raums stelle ich eine große Klasse expliziter Hamilton-Operatoren auf, die am asymptotischen Rand hyperbolischer Tessellierungen definiert sind. Diese sind geeignete Kandidaten für Randtheorien in diskreten \mbox{holographischen} Dualitäten und bestehen aus aperiodisch ungeordneten Quantenspinketten mit Wechselwirkungen zwischen nächsten Nachbarn. Die aperiodische Unordnung speichert Informationen über den systematischen Aufbau der Tessellierung. Mit Hilfe von Realraum-Renormierungsgruppen-Techniken untersuche ich den Grund\-zustand dieser Modelle im Hinblick auf ihre faktorisierte Form in Zwei-Spin-Zustände, ihre Korrelations\-funktionen und ihre Verschränkungsstruktur. Ich zeige, dass diese Struktur exakt durch ein Tensornetzwerk erfasst wird, das sich zurück in den AdS-Raum erstreckt und somit ein geometrisches Dual zur Randtheorie liefert. Die analytische Nachvoll\-ziehbarkeit dieser Modelle ermöglicht es aufzuzeigen, wie diese das holographische Prinzip für diskrete Systeme realisieren. Dies erziele ich durch die Standardvorschrift zur Berechnung der Verschränkungsentropie in Tensornetzwerken. Im zweiten Teil dieser Arbeit konzentriere ich mich auf drei quanteninformationstheoretische Größen und untersuche sie im Hinblick auf die Beschreibung von Schwarzen Löchern mittels der AdS/CFT-Korrespondenz. Ausgehend von der Komplexität von Quantenschaltkreisen, die als Maß für den Raum hinter dem Horizont vorgeschlagen wird, untersuche ich eine neuartige Definition der Nielsen-Operator-Komplexität für endlich- und unendlich-dimensionale Systeme. Mein Ansatz verbindet die Komplexität mit der Theorie der klassischen idealen Hydrodynamik und weist gleichzeitig die Eigenschaften auf, die man sich von einem holographischen Komplexitätsmaß wünscht. Anschließend untersuche ich den geometrischen Quantendiskord als effizientes Werkzeug zur Diagnose von Nicht-Faktorisierung. Diese Größe ist einfacher zu berechnen als ihr NP-schwerer Verwandter, der (nicht-geometrische) Quantendiskord. Darüber hinaus zeige ich, dass der geometrische Quantendiskord für reine Zustände genau dann verschwindet, wenn die modulare Zustandssumme faktorisiert. Ich wende dies auf das explizite Beispiel eines zeitunabhängigen Wurmlochs im AdS-Raum an und diskutiere die holographischen Eigenschaften der Ergebnisse. Daraufhin stelle ich eine Beziehung zwischen geometrischem Quantendiskord und Wurmloch-Beiträgen zum Gravitationspfadintegral her und beleuchte damit die möglichen Mechanismen hinter dem AdS/CFT-Faktorisierungsproblem. Schließlich untersuche ich lokale Operatoralgebren als mathematischen Ansatz für die Verschränkungsentropie. Diese wurden kürzlich in AdS/CFT verwendet, um die Zeitentwicklung im Inneren des Schwarzen Lochs zu erklären. Insbesondere betrachte ich Operatoralgebren in einem wechselwirkenden, aber dennoch exakt lösbaren Quanten-Vielkörpersystem von Majorana-Fermionen. Im gesamten Phasendiagramm des Modells, das einen Quantenphasenübergang enthält, finde ich Übergänge zwischen verschiedenen Typen von Operatoralgebren. Somit stelle ich ein explizites und nachvollziehbares Vielteilchenmodell dar, in dem solche Algebra-Übergänge realisiert werden. Die in dieser Dissertation präsentierten Ergebnisse sind in meinen in Anhang~A aufgelisteten Originalveröffentlichungen publiziert.

This thesis studies connections between quantum information measures and geometric features of spacetimes within the AdS/CFT correspondence. These studies are motivated by the idea that spacetime can be thought of as an effect emerging from an underlying entanglement structure in the AdS/CFT correspondence. In particular, I study generalized entanglement measures in two-dimensional conformal field theories and their holographic duals. Unlike the ordinary entanglement entropy of a spatial subregion typically used in the AdS/CFT context, the generalization considered here measures correlations between different fields as well as between spatial degrees of freedom. I present a new gauge invariant definition of the generalized entanglement entropy applicable to both mixed and pure states as well as explicit results for thermal states of the S_N-orbifold theory of the D1/D5 system. Along the way, I develop computation techniques for conformal blocks on the torus and apply them to the calculation of the ordinary entanglement entropy for large central charge CFTs at finite size and finite temperature. The generalized Ryu-Takayanagi formula arising from these studies provides further support for the idea that entanglement and geometry are intrinsically linked in AdS/CFT. The results show that the holographic dual to the generalized entanglement entropy given by the length of a geodesic winding around black hole horizons or naked singularities probes subregions of spacetime that are inaccessible to Ryu-Takayanagi surfaces, thereby solving the puzzle of how these features of the spacetime are encoded in the boundary theory. Furthermore, I investigate quantum circuits embedded in two-dimensional conformal field theories as well as computational complexity measures therein. These investigations are motivated by conjectures relating computational complexity in conformal field theories to geometric features of black hole geometries. In this thesis, I study quantum circuits built up from conformal transformations. I investigate examples of computational complexity measures in these circuits related to geometric actions on coadjoint orbits of the Virasoro group and to the Fubini-Study metric. I then work out relations between these computational complexity measures and the dual gravitational theory. Moreover, I construct a bulk dual to the circuits in consideration and use this construction to study geometric realizations of computational complexity measures from first principles. The results of this part on the one hand rule out some possibilities for dual realizations of computational complexity in two-dimensional CFTs put forward in previous work while on the other hand providing a new robust dual realization of a computational complexity measure based on the Fubini-Study distance. / Diese Dissertation befasst sich mit Zusammenhängen zwischen Quanteninformationsmaßen und geometrischen Eigenschaften von Raumzeiten im Rahmen der AdS/CFT-Korrespondenz. Diese Untersuchungen sind motiviert durch die Idee, dass die Raumzeit in der AdS/CFT-Korrespondenz als ein Effekt verstanden werden kann, der aus einer zugrundeliegenden Verschränkungsstruktur entsteht. Insbesondere untersuche ich in dieser Arbeit verallgemeinerte Verschränkungsmaße in zweidimensionalen konformen Feldtheorien und deren holographisch duale Realisierungen. Anders als die normale Verschränkungsentropie einer räumlichen Teilregion, die üblicherweise im AdS/CFT-Kontext betrachtet wird, misst die verallgemeinerte Verschränkungsentropie Korrelationen sowohl zwischen verschiedenen Feldern als auch zwischen räumlichen Freiheitsgraden. Ich stelle eine neue eichinvariante Definition der verallgemeinerten Verschränkungsentropie, die sowohl für reine als auch für gemischte Zustände anwendbar ist, sowie explizite Berechnungen dieser Verschränkungsentropie in der S_N-Orbifaltigkeitstheorie des D1/D5-Systems vor. Nebenbei entwickle ich Berechnungsmethoden für konforme Blöcke auf dem Torus und wende diese auf die Berechnung der normalen Verschränkungsentropie für konforme Feldtheorien mit großer zentraler Ladung bei endlicher Systemgröße und endlicher Temperatur an. Die verallgemeinerte Ryu-Takayanagi-Formel, die sich aus diesen Betrachtungen ergibt, unterstützt die Idee, dass Verschränkung und Geometrie in der AdS/CFT-Korrespondenz untrennbar miteinander verbunden sind. Die Ergebnisse zeigen, dass das holographische Dual zur verallgemeinerten Verschränkungsentropie, gegeben durch die Länge einer Geodäte die sich um einen Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs oder eine nackte Singularität windet, in Teilregionen der Raumzeit eindringt die für Ryu-Takayanagi-Flächen unerreichbar sind. Damit klären sie auf wie diese Eigenschaften der Raumzeit in der Randtheorie kodiert sind. Des weiteren untersuche ich Quantenschaltkreise eingebettet in zweidimensionale konforme Feldtheorie und deren Komplexität. Diese Untersuchungen sind motiviert durch Hypothesen, die Komplexitätstheorie mit Eigenschaften von Raumzeiten schwarzer Löcher in Verbindung bringen. In dieser Dissertation analysiere ich Quantenschaltkreise, die aus konformen Transformationen aufgebaut sind. Ich betrachte Komplexitätsmaße in diesen Schaltkreisen zusammenhängend mit geometrischen Wirkungen auf koadjungierten Orbits der Virasoro-Gruppe oder mit der Fubini-Study-Metrik und arbeite Zusammenhänge zwischen diesen Komplexitätsmaßen und Aspekten der dualen Gravitationstheorie heraus. Außerdem konstruiere ich das Dual der betrachteten Schaltkreise in der Gravitationstheorie und untersuche damit geometrische Realisierungen von Komplexitätsmaßen. Die Ergebnisse dieses Teils schließen einerseits einige Möglichkeiten für duale Realisierungen von Komplexitätsmaßen aus, die in vorigen Arbeiten vorgeschlagen wurden, ergeben aber andererseits eine robuste neue duale Realisierung eines Komplexitätsmaßes basierend auf der Fubini-Study-Metrik.

In this thesis, I establish new relations between quantum information measures in a two-dimensional CFT and geometric objects in a three-dimensional AdS space employing the AdS/CFT correspondence. I focus on two quantum information measures: the computational cost of quantum circuits in a CFT and Berry phases in two entangled CFTs. In particular, I show that these quantities are associated with geometric objects in the dual AdS space. / In dieser Arbeit stelle ich neue Beziehungen zwischen Quanteninformationsmaßen in einer zweidimensionalen CFT und geometrischen Objekten in einem dreidimensionalen AdS-Raum unter Verwendung der AdS/CFT-Korrespondenz her. Ich betrachte zwei Quanteninformationsmaße: die Rechenkosten eines Quantenschaltkreises in der CFT und Berry-Phasen in zwei verschränkten CFTs. Insbesondere zeige ich, dass diese Größen mit geometrischen Objekten im AdS-Raum assoziiert sind.

In this thesis I explore the interplay of geometry and quantum information theory via the holographic principle, with a specific focus on geometric phases in quantum systems like two interacting qubits, and how they relate to entanglement measures and Hilbert space factorisation. I establish geometric phases as an indicator for Hilbert space factorsiation, both in an abstract sense using von Neumann operator algebras as well as applied to the eternal black hole within the AdS/CFT correspondence. For the latter case I show that geometric phases allow to diagnose non-factorisation from a boundary point of view. I also introduce geometric quantum discord as a second geometric measure for non-factorisation and reveals its potential implications for the study of black hole microstates. / In dieser Arbeit untersuche ich das Zusammenspiel von Geometrie und Quanteninformation mit Hilfe des holografischen Prinzips. Dabei konzentriere ich mich besonders auf geometrische Phasen in Quantensystemen wie zwei wechselwirkenden Qubits und darauf, wie sie mit Verschränkungsmaßen und Hilbert-Raum-Faktorisierung zusammenhängen. Ich führe geometrische Phasen als Indikator für die Faktorisierung des Hilbert-Raums ein, sowohl in einem abstrakten Sinne unter Verwendung von von Neumann-Operator-Algebren als auch angewandt auf das ewige Schwarze Loch im Rahmen der AdS/CFT-Korrespondenz. im zweiten Fall zeige ich, dass geometrische Phasen es erlauben, die Nicht-Faktorisierung von der Randperspektive aus zu diagnostizieren. Außerdem führe ich die geometrische Quantendiskordanz als zweites geometrisches Maß für die Nicht-Faktorisierung ein und zeige ihre möglichen Auswirkungen auf die Untersuchung von Mikrozuständen Schwarzer Löcher auf.

Wir untersuchen die perturbative Quantentheorie verschiedener integrabler Yang-Baxter-Deformationen des freien Superstrings auf AdS-Räumen. Dazu berechnen wir die Zwei-Körper-Streumatrix auf Baum-Niveau auf dem Weltenblatt mit Feynman-Diagramm-Methoden. Die verschiedenen Deformationen sind: (1) Alle abelschen Deformationen von AdS₅ ⨉ S⁵, die die Fixierung der Lichtkegel-Eichung erlauben. Diese sind dual zur nicht-kommutativen Super-Yang-Mills-Theorie und werden äquivalent durch TsT-Transformationen oder verwundene Randbedingungen beschrieben. Wir berechnen die bosonische Streumatrix auf Baum-Niveau für den BMN-String in uniformer Lichtkegel-Eichung. Die Streumatrix wird in den meisten Fällen durch einen Drinfeld-Verwindungen ausgedrückt; in einigen Fällen wird sie stattdessen durch eine verschobene Impulsabhängigkeit ausgedrückt. Abschließend vergleichen wir die aus diesen Ergebnissen abgeleiteten Bethe-Gleichungen mit denen des Modells mit verwundene Randbedingungen und stellen eine perfekte Übereinstimmung fest. Für Deformationen des GKP-Strings können wir aufgrund konzeptioneller Hindernisse keine deformierte Streumatrix um die Null-Cusp-Lösung bestimmen. (2) Die inhomogene oder eta-Deformation von AdS₅ ⨉ S⁵ entsprechend dem fermionischen Dynkin-Diagramm. Wir berechnen die Zwei-Körper-Streumatrix auf Baum-Niveau zu quadratischer fermionischer Ordnung in uniformer Lichtkegel-Eichung. Sie erfüllt die klassische Yang-Baxter-Gleichung, faktorisiert in zwei Blöcke und entspricht der exakten Streumatrix für ein Modell mit trigonometrisch quantendeformierter Symmetrie. (3) Inhomogene bi-Yang-Baxter-Deformationen von AdS₃ ⨉ S³ ⨉ T⁴ für mehrere Dynkin-Diagramme. Wir berechnen die Zwei-Körper-Streumatrix auf Baum-Niveau zu quadratischer fermionischer Ordnung in uniformer Lichtkegel-Eichung. Alle Deformationen ergeben die gleiche Streumatrix, die mit der erwarteten exakten Streumatrix bei trigonometrisch quantendeformierter Symmetrie übereinstimmt. / We study the perturbative quantum theory of various integrable Yang-Baxter deformations of the free superstring on AdS spaces. For this we compute the two-body tree-level scattering matrix on the worldsheet using Feynman diagram methods. The various deformations are: (1) All distinct Abelian deformations of AdS₅ ⨉ S⁵ allowing light-cone gauge fixing. These are dual to noncommutative super Yang-Mills theory and equivalently described through TsT transformations or twisted boundary conditions. We compute the bosonic tree-level scattering matrix for the BMN string in uniform light-cone gauge. The scattering matrix is expressed through a Drinfeld twist for most cases; for some cases it is expressed instead through a shifted momentum dependence. Lastly, we compare the Bethe equations derived from these results to the equations of the model with twisted boundary conditions and find perfect agreement. For deformations of the GKP string we are not able to determine a deformed scattering matrix around the null-cusp solution due to actions incompatible with perturbation theory in momentum space. (2) The inhomogeneous or eta deformation of AdS₅ ⨉ S⁵ corresponding to the fermionic Dynkin diagram. We compute the two-body tree-level scattering matrix up to second order in fermions in uniform light-cone gauge. It satisfies the classical Yang-Baxter equation, factorizes into two blocks and matches the exact scattering matrix for a model with trigonometrically quantum-deformed symmetry. (3) Inhomogeneous bi-Yang-Baxter deformations of AdS₃ ⨉ S³ ⨉ T⁴ for multiple Dynkin diagrams. We compute the two-body tree-level scattering matrix up to second order in fermions in uniform light-cone gauge. All deformations give the same scattering matrix, which matches the expected exact scattering matrix with trigonometrically quantum-deformed symmetry.