In this thesis, I study entanglement in quantum field theory, using methods from operator algebra theory. More precisely, the thesis covers original research on the entanglement properties of the free fermionic field. After giving a pedagogical introduction to algebraic methods in quantum field theory, as well as the modular theory of Tomita-Takesaki and its relation to entanglement, I present a coherent framework that allows to solve Tomita-Takesaki theory for free fermionic fields in any number of dimensions. Subsequently, I use the derived machinery on the free massless fermion in two dimensions, where the formulae can be evaluated analytically. In particular, this entails the derivation of the resolvent of restrictions of the propagator, by means of solving singular integral equations. In this way, I derive the modular flow, modular Hamiltonian, modular correlation function, R\'enyi entanglement entropy, von-Neumann entanglement entropy, relative entanglement entropy, and mutual information for multi-component regions. All of this is done for the vacuum and thermal states, both on the infinite line and the circle with (anti-)periodic boundary conditions. Some of these results confirm previous results from the literature, such as the modular Hamiltonian and entanglement entropy in the vacuum state. The non-universal solutions for modular flow, modular correlation function, and R\'enyi entropy, however are new, in particular at finite temperature on the circle. Additionally, I show how boundaries of spacetime affect entanglement, as well as how one can define relative (entanglement) entropy and mutual information in theories with superselection rules. The findings regarding modular flow in multi-component regions can be summarised as follows: In the non-degenerate vacuum state, modular flow is multi-local, in the sense that it mixes the field operators along multiple trajectories, with one trajectory per component. This was already known from previous literature but is presented here in a more explicit form. In particular, I present the exact solution for the dynamics of the mixing process. What was not previously known at all, is that the modular flow of the thermal state on the circle is infinitely multi-local even for a connected region, in the sense that it mixes the field along an infinite, discretely distributed set, of trajectories. In the limit of high temperatures, all trajectories but the local one are pushed towards the boundary of the region, where their amplitude is damped exponentially, leaving only the local result. At low temperatures, on the other hand, these trajectories distribute densely in the region to either---for anti-periodic boundary conditions---cancel, or---for periodic boundary conditions---recover the non-local contribution due to the degenerate vacuum state. Proceeding to spacetimes with boundaries, I show explicitly how the presence of a boundary implies entanglement between the two components of the Dirac spinor. By computing the mutual information between the components inside a connected region, I show quantitatively that this entanglement decreases as an inverse square law at large distances from the boundary. In addition, full conformal symmetry (which is explicitly broken due to the presence of a boundary) is recovered from the exact solution for modular flow, far away from the boundary. As far as I know, all of these results are new, although related results were published by another group during the final stage of this thesis. Finally, regarding relative entanglement entropy in theories with superselection sectors, I introduce charge and flux resolved relative entropies, which are novel measures for the distinguishability of states, incorporating a charge operator, central to the algebra of observables. While charge resolved relative entropy has the interpretation of being a ``distinguishability per charge sector'', I argue that it is physically meaningless without placing a cutoff, due to infinite short-distance entanglement. Flux resolved relative entropy, on the other hand, overcomes this problem by inserting an Aharonov-Bohm flux and thus passing to a variant of the grand canonical ensemble. It takes a well defined value, even without putting a cutoff, and I compute its value between various states of the free massless fermion on the line, the charge operator being the total fermion number. / In dieser Dissertation untersuche ich quantenmechanische Verschränkung mittels Methoden aus Theorie der Operatoralgebren. Genauer gesagt stelle ich eigene Forschung über die Verschränkungseigenschaften des freien Fermions vor. Die Arbeit beginnt mit einer pädagogischen Einführung in algebraische Quantenfeldtheorie und stellt die modulare Theorie nach Tomita und Takesaki, sowie ihre Verbindung zu Verschränkung vor. Darauffolgend stelle ich einen vollständigen Satz an Werkzeugen vor, mit dem Tomita-Takesaki-Theorie für freie fermionische Felder in beliebiger Anzahl von Dimenionen gelöst werden kann. Diese Werkzeuge wende ich dann auf das freie, masselose Dirac-Fermion in zwei Dimensionen an, wo die hergeleiteten Formeln exakt gelöst werden können. Dies beinhaltet insbesondere die Herleitung der Resolvente von Einschränkungen des Propagators mittels der analytischen Lösung singulärer Integralgleichungen. Daraus ergeben sich schließlich der modulare Fluss, der modulare Hamiltonian, der modulare Korrelator, Rényi Verschränkungsentropien, von-Neumann Verschränkungsentropien, relative Verschränkungsentropie und Transinformation für nicht-zusammenhängende Verschränkungsgebiete. Dies alles wird im Vakuum und bei endlicher Temperatur ausgearbeitet, für ein Fermion sowohl auf der Geraden, als auch auf dem Kreis mit (anti-)periodischen Randbedingungen. Einige der Ergebnisse, besipielsweise der modulare Hamiltonian und von-Neumann Verschränkungsentropie, bestätigen Resultate aus bereits existierender Literatur. Die nicht-universellen Lösungen für den modularen Fluss, den modularen Korrelator und die Rényi Verschränkungsentropie dagegen sind neu, insbesondere für den Fall des thermischen Zustandes auf dem Kreis. Zusätzlich demonstriere ich den Einfluss von Rändern der Raumzeit auf Verschränkung und zeige, wie man relative Entropie und Transinformation in Theorien mit Superselektionsregeln definieren kann. Die Ergebnisse bezüglich modularen Flusses in nicht-zusammenhängenden Gebieten lassen sich wie folgt zusammenfassen: Im nicht-entarteten Vakuum ist der modulare Fluss multi-lokal, was bedeutet, dass er Feldoperatoren entlang mehrerer Trajektorien -- eine pro Zusammenhangskomponente der Region -- untereinander vermischt. Dies war bereits vorher bekannt, allerdings folgt es sich hier in expliziter Form aus exakten Lösungen. Ein vollkommen neues Ergebnis ist, dass der modulare Fluss des thermischen Zustandes auf dem Kreis sogar für zusammenhängende Regionen multi-lokal ist: Er mischt Feldoperatoren entlang unendlich vieler, diskret verteilter Trajektorien in der Verschränkungsregion. Im Hochtemperaturgrenzwert befinden sich alle diese Trajektorien, bis auf die lokale, nahe am Rand der Region, wo ihre Amplitude exponentiell gedämpft wird -- es bleibt nur die lokale Lösung. Bei tiefen Temperaturen dagegen sind die Trajektorien dicht in der Region verteilt, sodass sie entweder (bei antiperiodischen Randbedingungen) sich durch destruktive Interferenz gegenseitig aufheben oder (bei periodischen Randbedingungen) durch konstruktive Interferenz einen nicht-lokalen Term erzeugen, der auf das entartete Vakuum zurückgeführt werden kann. Im Falle von Raumzeiten mit Rand zeige ich explizit, wie der Rand Verschränkung zwischen beiden Komponenten des Dirac-Spinors impliziert. Mit zunehmdendem Abstand vom Rand nimmt diese Verschränkung invers quadratisch ab, wie ich quantitativ durch Berechnung der Transinformation zwischen den Komponenten in einem zusammenhängenden Gebiet zeige. Zusätzlich lässt sich die volle konforme Symmetrie der Theorie (die durch den Rand explizit gebrochen wird) aus der exakten Lösung für den modularen Fluss wiederherstellen, indem man den Grenzwert eines weit entfernten Randes betrachtet. Meines Wissens sind alle diese Resultate neu, allerdings wurden während der Fertigstellung dieser Dissertation verwandte Ergebnisse von einer anderen Arbeitsgruppe veröffentlicht. Die letzten Resultate in dieser Arbeit beziehen sich auf die Untersuchung relativer Entropie in Systemen mit Superselektionsregeln. Hier führe ich neue informationstheoretische Maße für die Unterscheidbarkeit von Zuständen ein: Die ladungs- und flussbezogenen relativen Entropien. Beide werden mittels eines Ladungsoperators aus dem Zentrum der Observablenalgebra definiert. Während die ladungsbezogene relative Entropie sich physikalisch als "Unterscheidbarkeit pro Ladungssektor" interpretieren lässt, argumentiere ich, dass sie nur innerhalb eines Regularisierungsschemas physikalisch bedeutsam ist, da die universell unendliche Verschränkung auf kurzen Längenskalen sonst zu Widersrpüchen führt. Flussbezogene relative Entropie dagegen hat dieses Problem nicht: Durch das Hinzufügen eines Aharonov-Bohm-Flusses betrachtet man hier eine lokale Variante des großkanonischen Ensembles, wodurch sie sich auch ohne Regularisierung definieren und berechnen lässt. Ich berechne ihren Wert zwischen verschiedenen Zuständen des freien masselosen Fermions auf der Geraden. Die erhaltene Ladung ist hierbei die Gesamtzahl der Fermionen im System.

This thesis studies connections between quantum information measures and geometric features of spacetimes within the AdS/CFT correspondence. These studies are motivated by the idea that spacetime can be thought of as an effect emerging from an underlying entanglement structure in the AdS/CFT correspondence. In particular, I study generalized entanglement measures in two-dimensional conformal field theories and their holographic duals. Unlike the ordinary entanglement entropy of a spatial subregion typically used in the AdS/CFT context, the generalization considered here measures correlations between different fields as well as between spatial degrees of freedom. I present a new gauge invariant definition of the generalized entanglement entropy applicable to both mixed and pure states as well as explicit results for thermal states of the S_N-orbifold theory of the D1/D5 system. Along the way, I develop computation techniques for conformal blocks on the torus and apply them to the calculation of the ordinary entanglement entropy for large central charge CFTs at finite size and finite temperature. The generalized Ryu-Takayanagi formula arising from these studies provides further support for the idea that entanglement and geometry are intrinsically linked in AdS/CFT. The results show that the holographic dual to the generalized entanglement entropy given by the length of a geodesic winding around black hole horizons or naked singularities probes subregions of spacetime that are inaccessible to Ryu-Takayanagi surfaces, thereby solving the puzzle of how these features of the spacetime are encoded in the boundary theory. Furthermore, I investigate quantum circuits embedded in two-dimensional conformal field theories as well as computational complexity measures therein. These investigations are motivated by conjectures relating computational complexity in conformal field theories to geometric features of black hole geometries. In this thesis, I study quantum circuits built up from conformal transformations. I investigate examples of computational complexity measures in these circuits related to geometric actions on coadjoint orbits of the Virasoro group and to the Fubini-Study metric. I then work out relations between these computational complexity measures and the dual gravitational theory. Moreover, I construct a bulk dual to the circuits in consideration and use this construction to study geometric realizations of computational complexity measures from first principles. The results of this part on the one hand rule out some possibilities for dual realizations of computational complexity in two-dimensional CFTs put forward in previous work while on the other hand providing a new robust dual realization of a computational complexity measure based on the Fubini-Study distance. / Diese Dissertation befasst sich mit Zusammenhängen zwischen Quanteninformationsmaßen und geometrischen Eigenschaften von Raumzeiten im Rahmen der AdS/CFT-Korrespondenz. Diese Untersuchungen sind motiviert durch die Idee, dass die Raumzeit in der AdS/CFT-Korrespondenz als ein Effekt verstanden werden kann, der aus einer zugrundeliegenden Verschränkungsstruktur entsteht. Insbesondere untersuche ich in dieser Arbeit verallgemeinerte Verschränkungsmaße in zweidimensionalen konformen Feldtheorien und deren holographisch duale Realisierungen. Anders als die normale Verschränkungsentropie einer räumlichen Teilregion, die üblicherweise im AdS/CFT-Kontext betrachtet wird, misst die verallgemeinerte Verschränkungsentropie Korrelationen sowohl zwischen verschiedenen Feldern als auch zwischen räumlichen Freiheitsgraden. Ich stelle eine neue eichinvariante Definition der verallgemeinerten Verschränkungsentropie, die sowohl für reine als auch für gemischte Zustände anwendbar ist, sowie explizite Berechnungen dieser Verschränkungsentropie in der S_N-Orbifaltigkeitstheorie des D1/D5-Systems vor. Nebenbei entwickle ich Berechnungsmethoden für konforme Blöcke auf dem Torus und wende diese auf die Berechnung der normalen Verschränkungsentropie für konforme Feldtheorien mit großer zentraler Ladung bei endlicher Systemgröße und endlicher Temperatur an. Die verallgemeinerte Ryu-Takayanagi-Formel, die sich aus diesen Betrachtungen ergibt, unterstützt die Idee, dass Verschränkung und Geometrie in der AdS/CFT-Korrespondenz untrennbar miteinander verbunden sind. Die Ergebnisse zeigen, dass das holographische Dual zur verallgemeinerten Verschränkungsentropie, gegeben durch die Länge einer Geodäte die sich um einen Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs oder eine nackte Singularität windet, in Teilregionen der Raumzeit eindringt die für Ryu-Takayanagi-Flächen unerreichbar sind. Damit klären sie auf wie diese Eigenschaften der Raumzeit in der Randtheorie kodiert sind. Des weiteren untersuche ich Quantenschaltkreise eingebettet in zweidimensionale konforme Feldtheorie und deren Komplexität. Diese Untersuchungen sind motiviert durch Hypothesen, die Komplexitätstheorie mit Eigenschaften von Raumzeiten schwarzer Löcher in Verbindung bringen. In dieser Dissertation analysiere ich Quantenschaltkreise, die aus konformen Transformationen aufgebaut sind. Ich betrachte Komplexitätsmaße in diesen Schaltkreisen zusammenhängend mit geometrischen Wirkungen auf koadjungierten Orbits der Virasoro-Gruppe oder mit der Fubini-Study-Metrik und arbeite Zusammenhänge zwischen diesen Komplexitätsmaßen und Aspekten der dualen Gravitationstheorie heraus. Außerdem konstruiere ich das Dual der betrachteten Schaltkreise in der Gravitationstheorie und untersuche damit geometrische Realisierungen von Komplexitätsmaßen. Die Ergebnisse dieses Teils schließen einerseits einige Möglichkeiten für duale Realisierungen von Komplexitätsmaßen aus, die in vorigen Arbeiten vorgeschlagen wurden, ergeben aber andererseits eine robuste neue duale Realisierung eines Komplexitätsmaßes basierend auf der Fubini-Study-Metrik.

In this thesis, I establish new relations between quantum information measures in a two-dimensional CFT and geometric objects in a three-dimensional AdS space employing the AdS/CFT correspondence. I focus on two quantum information measures: the computational cost of quantum circuits in a CFT and Berry phases in two entangled CFTs. In particular, I show that these quantities are associated with geometric objects in the dual AdS space. / In dieser Arbeit stelle ich neue Beziehungen zwischen Quanteninformationsmaßen in einer zweidimensionalen CFT und geometrischen Objekten in einem dreidimensionalen AdS-Raum unter Verwendung der AdS/CFT-Korrespondenz her. Ich betrachte zwei Quanteninformationsmaße: die Rechenkosten eines Quantenschaltkreises in der CFT und Berry-Phasen in zwei verschränkten CFTs. Insbesondere zeige ich, dass diese Größen mit geometrischen Objekten im AdS-Raum assoziiert sind.

Diese Dissertation behandelt die Kodierung und Verschickung von Information durch einen Quantenkanal. Ein Quantenkanal besteht aus einem quantenmechanischen System, welches vom Sender manipuliert und vom Empfänger ausgelesen werden kann. Dabei repräsentiert der individuelle Zustand des Kanals die Nachricht. <br /> <br /> Die zwei Themen der Dissertation umfassen 1) die Möglichkeit, eine Nachricht in einem Quantenkanal verlustfrei zu komprimieren und 2) die Möglichkeit eine Nachricht von einer Partei zu einer einer anderen direkt und auf sichere Weise zu übermitteln, d.h. ohne dass es einer dritte Partei möglich ist, die Nachricht abzuhören und dabei unerkannt zu bleiben.<br /> <br /> Die wesentlichen Ergebnisse der Dissertation sind die folgenden. <br /> Ein allgemeiner Formalismus für Quantencodes mit variabler Länge wird ausgearbeitet. Diese Codes sind notwendig um verlustfreie Kompression zu ermöglichen. Wegen der Quantennatur des Kanals sind die codierten Nachrichten allgemein in einer Superposition von verschiedenen Längen. Es zeigt sich, daß es unmöglich ist eine Quantennachricht verlustfrei zu komprimieren, wenn diese dem Sender nicht apriori bekannt ist. Im anderen Falle wird die Möglichkeit verlustfreier Quantenkompression gezeigt und eine untere Schranke für die Kompressionsrate abgeleitet. Des weiteren wird ein expliziter Kompressionsalgorithmus konstruiert, der für beliebig vorgegebene Ensembles aus Quantennachrichten funktioniert.<br /> <br /> Ein quantenkryptografisches Prokoll - das &ldquo;Ping-Pong Protokoll&rdquo; - wird vorgestellt, welches die sichere direkte übertragung von klassischen Nachrichten durch einen Quantenkanal ermöglicht. Die Sicherheit des Protokolls gegen beliebige Abhörangriffe wird bewiesen für den Fall eines idealen Quantenkanals. Im Gegensatz zu anderen quantenkryptografischen Verfahren ist das Ping-Pong Protokoll deterministisch und kann somit sowohl für die Übermittlung eines zufälligen Schlüssels als auch einer komponierten Nachricht verwendet werden. Das Protokoll is perfekt sicher für die Übertragung eines Schlüssels und quasi-sicher für die direkte Übermittlung einer Nachricht. Letzteres bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines erfolgreichen Abhörangriffs exponenziell mit der Länge der Nachricht abnimmt. / This thesis deals with the encoding and transmission of information through a quantum channel. A quantum channel is a quantum mechanical system whose state is manipulated by a sender and read out by a receiver. The individual state of the channel represents the message.<br /> <br /> The two topics of the thesis comprise 1) the possibility of compressing a message stored in a quantum channel without loss of information and 2) the possibility to communicate a message directly from one party to another in a secure manner, that is, a third party is not able to eavesdrop the message without being detected.<br /> <br /> The main results of the thesis are the following. <br /> A general framework for variable-length quantum codes is worked out. These codes are necessary to make lossless compression possible. Due to the quantum nature of the channel, the encoded messages are in general in a superposition of different lengths. It is found to be impossible to compress a quantum message without loss of information if the message is not apriori known to the sender. In the other case it is shown that lossless quantum data compression is possible and a lower bound on the compression rate is derived. Furthermore, an explicit compression scheme is constructed that works for arbitrarily given source message ensembles. <br /> <br /> A quantum cryptographic protocol - the &ldquo;ping-pong protocol&rdquo; - is presented that realizes the secure direct communication of classical messages through a quantum channel. The security of the protocol against arbitrary eavesdropping attacks is proven for the case of an ideal quantum channel. In contrast to other quantum cryptographic protocols, the ping-pong protocol is deterministic and can thus be used to transmit a random key as well as a composed message. <br /> The protocol is perfectly secure for the transmission of a key, and it is quasi-secure for the direct transmission of a message. The latter means that the probability of successful eavesdropping exponentially decreases with the length of the message.

In dieser Doktorarbeit werden zwei Konzepte der Quanteninformationsverarbeitung realisiert. Der Quantenschlüsselaustausch ist revolutionär, weil er perfekte Sicherheit gewährleistet. Zahlreiche Quantenkryptografieprotokolle wurden schon untersucht. Zwei Probleme bestehen. Zum einen ist es sehr schwer, die Bedingungen herzustellen, die in den Annahmen für perfekte Sicherheit impliziert sind. Zum anderen sind die Reichweiten auf momentan etwa 200 km begrenzt, aufgrund des abnehmenden Signals gegenüber des konstanten Rauschens. Ein Experiment dieser Doktorarbeit beschäftigt sich mit dem ersten Problem. Insbesondere der übertragene Quantenzustands ist kritisch für die Sicherheit des Verfahrens. Es werden Einzelphotonen von Stickstoff- Fehlstellen-Zentren und zum ersten Mal von Silizium-Fehlstellen-Zentren für einen Quantenschlüsselaustausch mit Hilfe des BB84-Protokolls benutzt. Die Abweichung von idealen Einzelphotonenzuständen sowie deren Bedeutung für die Sicherheit werden analysiert. Die Übertragung von Quantenzuständen via Satellit könnte das Problem der begrenzten Reichweite lösen. Das neue Frequenz-Zeit- Protokoll eignet sich dafür besonders gut. Es wird während dieser Arbeit zum ersten Mal überhaupt implementiert. Umfangreiche Untersuchungen inklusive der Variation wesentlicher experimenteller Parameter geben Aufschluss über die Leistungsfähigkeit und Sicherheit des Protokolls. Außerdem werden elementare Bestandteile eines vollautomatischen Experiments zum Quantenschlüsselaustausch über Glasfasern in der sogenannten Time-bin-Implementierung mit autonomem Sender und Empfänger realisiert. Ein anderes Konzept der Quanteninformationsverarbeitung ist die Herstellung zufälliger Bitfolgen durch den Quantenzufall. Zufällige Bitfolgen haben zahlreiche Anwendungsgebiete in der Kryptografie und der Informatik. Die Realisierung eines Quantenzufallszahlengenerators mit mathematisch beschreibbarer und getesteter Zufälligkeit und hoher Bitrate wird ebenfalls beschrieben. / In this thesis, photonic quantum states are used for experimental realisations of two different concepts of quantum information processing. Quantum key distribution (QKD) is revolutionary because it is the only cryptographic scheme offering unconditional security. Two major problems prevail: Firstly, matching the conditions for unconditional security is challenging, secondly, long distance communication beyond 200 km is very demanding because an increasingly attenuated quantum state starts to fail the competition with constant noise. One experiment accomplished in this thesis is concerned with the first problem. The realisation of the actual quantum state is critical. Single photon states from nitrogen and for the first time also silicon vacancy defect centres are used for a QKD transmission under the BB84 (Bennett and Brassard 1984). The deviation of the used single photon states from the ideal state is thoroughly investigated and the information an eavesdropper obtains due to this deviation is analysed. Transmitting quantum states via satellites is a potential solution to the limited achievable distances in QKD. A novel protocol particularly suited for this is implemented for the first time in this thesis, the frequency-time (FT) protocol. The protocol is thoroughly investigated by varying the experimental parameters over a wide range and by evaluating the impact on the performance and the security. Finally, big steps towards a fully automated fibre-based BB84 QKD experiment in the time-bin implementation with autonomous sender and receiver units are accomplished. Another important concept using quantum mechanical properties as a resource is a quantum random number generator (QRNG). Random numbers are used for various applications in computing and cryptography. A QRNG supplying bits with high and quantifiable randomness at a record-breaking rate is reported and the statistical properties of the random output is thoroughly tested.