Cette thèse traite du calcul explicite des variables amassées des algèbres amassées de types D et D[tilde] dans un premier temps et de la mutation des frises de type A dans un second temps. Elle a fait l’objet de deux articles montrant une étroite relation entre les frises et les algèbres amassées. Les algèbres amassées ont été introduites au début des années 2000 par Sergey Fomin et Andrei Zelevinsky. On connait l’existence d’une relation entre les algèbres amassées de type A et les frises de type A [CC06] et plus tard, cette relation a été étendue aux cas Dynkin et Euclidien en général [ARS10, AD11, AR12, ADSS11]. Nous avons utilisé cette relation entre les algèbres amassées et les frises pour calculer les variables amassées des algèbres amassées de types D et D[tilde] par des formules explicites au moyen du produit matriciel. Étant donné un carquois Q de type D[indice inférieur n] ( ou D[tilde][indice inférieur n] ), nous établissons une relation entre les valeurs dans une frise de type D[indice inférieur n] ( ou D[tilde][indice inférieur n] ) et certaines valeurs dans une frise de type A[indice inférieur 2n-1] ( ou A[tilde][indice inférieur 2n-1, respectivement ) particulière. Ceci a permis de donner une formule explicite pour le calcul des variables amassées d’une algèbre amassée de type D ( ou D[tilde] ) à partir des résultats connus pour le cas A ( ou A[tilde], respectivement ). Enfin, nous nous sommes intéressés à la mutation des frises de type A. Nous montrons une façon de muter une frise de type A, établissant ainsi une correspondance entre les flips de triangulations de polygones et les frises de type A et par conséquent une correspondance entre les mutations de carquois de type A et les mutations de frises de type A. Cette conséquence découle de la relation entre les flips de triangulations de surfaces et les mutations de carquois provenant des surfaces [FST08].

Les algèbres amassées sont des classes d'algèbres introduites dans les annés 2000 par Sergey Fomin et Andrei Zelevinsky, dans leurs recherches sur les bases canoniques duales et la positivité totale dans les groupes semi-simples (voir [FZ02] et [FZ03]). Il est possible de les étudier de façon combinatoire, en les illustrant par des carquois sans boucle, ni deux-cycles. Dans ce travail, nous introduirons d'abord les notions d'algèbres amassées et de carquois. Puis, nous nous servirons des carquois pour introduire et étudier les suites maximales de mutations vertes. Plus précisément, dans la dernière partie du travail, il sera question de l'existence des suites maximales vertes dans les carquois acycliques à trois points.

Dans ce mémoire, après avoir défini le concept de déploiement, nous obtenons les variables des algèbres amassées et les classes de mutations associées aux carquois valués de types B et C en ramenant l'étude de ces concepts à celle des familles A et D, respectivement.

L'objectif de ce mémoire est de fournir une nouvelle preuve pour la "Non-leaving face property" dans le cas An à l'aide de l'approximation dans les catégories amassées. Cette preuve ouvre la porte pour une généralisation pour d'autres cas.

L'associaèdre se situe à l'interface de plusieurs domaines mathématiques. Combinatoirement, il s'agit du complexe simplicial des dissections d'un polygone convexe (ensembles de diagonales ne se croisant pas deux à deux). Géométriquement, il s'agit d'un polytope dont les sommets et les arêtes encodent le graphe dual du complexe des dissections. Enfin l'associaèdre décrit la structure combinatoire qui définit la présentation par générateurs et relations de certaines algèbres, dites << amassées >>. Du fait de son omniprésence, de nouvelles familles généralisant cet objet sont régulièrement découvertes. Cependant elles n'ont souvent que de faibles interactions. Leurs études respectives présentent de notre point de vue deux enjeux majeurs : chercher à les relier en se basant sur les propriétés connues de l'associaèdre ; et chercher pour chacune des cadres combinatoire, géométrique et algébrique dans le même esprit.Dans cette thèse, nous traitons le lien entre combinatoire et géométrie pour certaines de ces généralisations : les associaèdres de graphes, les complexes de sous-mots et les complexes d'accordéons. Nous suivons un fil rouge consistant à adapter, à ces trois familles, une méthode de construction des associaèdres comme éventails (ensembles de cônes polyédraux), dite méthode des d-vecteurs et issue de la théorie des algèbres amassées. De manière plus large, notre problématique principale consiste à réaliser, c'est-à-dire plonger géométriquement dans un espace vectoriel, des complexes abstraits. Nous obtenons trois familles de nouvelles réalisations, ainsi qu'une quatrième encore conjecturale dont les premières instances constituent déjà des avancées significatives.Enfin, en sus des résultats géométriques, nous démontrons des propriétés combinatoires spécifiques à chaque complexe simplicial abordé. / The associahedron is at the interface between several mathematical fields. Combinatorially, it is the simplicial complex of dissections of a convex polygon (sets of mutually noncrossing diagonals). Geometrically, it is a polytope whose vertices and edges encode the dual graph of the complex of dissections. Finally the associahedron describes the combinatorial structure defining a presentation by generators and relations of certain algebras, called ``cluster algebras''. Because of its ubiquity, we regularly come up with new families generalizing this object. However there often are only few interactions between them. From our perspective, there are two main issues when studying them: looking for relations on the basis of known properties of the associahedron; and, for each, looking for combinatorial, geometric and algebraic frameworks in the same spirit.In this thesis, we deal with the link between combinatorics and geometry for some of these generalizations: graph associahedra, subword complexes and accordion complexes. We follow a guidelight consisting in adapting, to these three families, a method for constructing associahedra as fans (sets of polyhedral cones), called the d-vector method and coming from cluster algebra theory. More generally, our main concern is to realize, that is geometrically embed in a vector space, abstract complexes. We obtain three new families of generalizations, and a fourth conjectural one whose first instances already constitute significant advances.Finally in addition to the geometric results, we prove combinatorial properties specific to each encountered simplicial complex.

Nous introduisons les variables génériques dans une algèbre amassée acyclique $\mathcal A(Q)$. Nous explicitons ces variables en termes de théorie AR de l'algèbre des chemins $kQ$ et montrons qu'elles forment une $\mathbb Z$-base pour une certaine classe d'algèbres amassées comprenant les algèbres amassées affines de type $\tilde A$. <br /><br />Nous introduisons des polynômes de Chebyshev généralisés grâce auxquels nous pouvons montrer des formules de multiplications de type Caldero-Keller pour les variables associées aux $kQ$-modules réguliers.<br /><br />Nous donnons une démonstration simplifiée d'un résultat de Buan, Marsh et Reiten interprétant les dénominateurs des variables d'amas en termes de théorie de basculement dans la catégorie amassée. Nous étudions aussi la compatibilité entre application Caldero-Chapoton et foncteurs BGP étendus.<br /><br />Enfin, nous réalisons les algèbres amassées non simplement lacées comme sous-algèbres de quotients d'algèbres simplement lacées munies d'un groupe d'automorphismes.