Cette thèse traite du calcul explicite des variables amassées des algèbres amassées de types D et D[tilde] dans un premier temps et de la mutation des frises de type A dans un second temps. Elle a fait l’objet de deux articles montrant une étroite relation entre les frises et les algèbres amassées. Les algèbres amassées ont été introduites au début des années 2000 par Sergey Fomin et Andrei Zelevinsky. On connait l’existence d’une relation entre les algèbres amassées de type A et les frises de type A [CC06] et plus tard, cette relation a été étendue aux cas Dynkin et Euclidien en général [ARS10, AD11, AR12, ADSS11]. Nous avons utilisé cette relation entre les algèbres amassées et les frises pour calculer les variables amassées des algèbres amassées de types D et D[tilde] par des formules explicites au moyen du produit matriciel. Étant donné un carquois Q de type D[indice inférieur n] ( ou D[tilde][indice inférieur n] ), nous établissons une relation entre les valeurs dans une frise de type D[indice inférieur n] ( ou D[tilde][indice inférieur n] ) et certaines valeurs dans une frise de type A[indice inférieur 2n-1] ( ou A[tilde][indice inférieur 2n-1, respectivement ) particulière. Ceci a permis de donner une formule explicite pour le calcul des variables amassées d’une algèbre amassée de type D ( ou D[tilde] ) à partir des résultats connus pour le cas A ( ou A[tilde], respectivement ). Enfin, nous nous sommes intéressés à la mutation des frises de type A. Nous montrons une façon de muter une frise de type A, établissant ainsi une correspondance entre les flips de triangulations de polygones et les frises de type A et par conséquent une correspondance entre les mutations de carquois de type A et les mutations de frises de type A. Cette conséquence découle de la relation entre les flips de triangulations de surfaces et les mutations de carquois provenant des surfaces [FST08].

Cette thse traite du calcul explicite des variables amasses des algbres amasses de types D et D[tilde] dans un premier temps et de la mutation des frises de type A dans un second temps. Elle a fait lobjet de deux articles montrant une troite relation entre les frises et les algbres amasses. Les algbres amasses ont t introduites au dbut des annes 2000 par Sergey Fomin et Andrei Zelevinsky. On connait lexistence dune relation entre les algbres amasses de type A et les frises de type A [CC06] et plus tard, cette relation a t tendue aux cas Dynkin et Euclidien en gnral [ARS10, AD11, AR12, ADSS11]. Nous avons utilis cette relation entre les algbres amasses et les frises pour calculer les variables amasses des algbres amasses de types D et D[tilde] par des formules explicites au moyen du produit matriciel. tant donn un carquois Q de type D[indice infrieur n] ( ou D[tilde][indice infrieur n] ), nous tablissons une relation entre les valeurs dans une frise de type D[indice infrieur n] ( ou D[tilde][indice infrieur n] ) et certaines valeurs dans une frise de type A[indice infrieur 2n-1] ( ou A[tilde][indice infrieur 2n-1, respectivement ) particulire. Ceci a permis de donner une formule explicite pour le calcul des variables amasses dune algbre amasse de type D ( ou D[tilde] ) partir des rsultats connus pour le cas A ( ou A[tilde], respectivement ). Enfin, nous nous sommes intresss la mutation des frises de type A. Nous montrons une faon de muter une frise de type A, tablissant ainsi une correspondance entre les flips de triangulations de polygones et les frises de type A et par consquent une correspondance entre les mutations de carquois de type A et les mutations de frises de type A. Cette consquence dcoule de la relation entre les flips de triangulations de surfaces et les mutations de carquois provenant des surfaces [FST08].

Dans ce mémoire, après avoir défini le concept de déploiement, nous obtenons les variables des algèbres amassées et les classes de mutations associées aux carquois valués de types B et C en ramenant l'étude de ces concepts à celle des familles A et D, respectivement.

Les algèbres amassées sont très intéressantes, entre autre du point de vue de la théorie des représentations. Leurs côtés combinatoires sont immenses et on a probablement seulement effleuré le sujet. Dans ce mémoire, nous allons amorcer l'étude d'une propriété combinatoire pour un cas particulier d'algèbres amassées. Nous espérons que notre travail jettera les bases pour l'étude du cas général. Notre but sera de prouver le théorème suivant: Théorème 0.1. Tous les carquois acycliques et connexes à trois sommets ant un nombre fini de suites maximales vertes. Nous allons done expliquer tout ce qu'il y a à savoir sur les carquois et par la suite, présenter la preuve de ce théorème. Comme supplément, nous donnerons en plus la liste complète de toutes les suites maximales vertes possibles pour ces carquois.

Soit $X$ le produit direct de deux grassmanniennes des sous-espaces de dimensions $k$, $l$ d'un espace vectoriel $V$. Nous étudions les orbites d'un sous-groupe de Borel $B$ de GL($V$) opérant diagonalement dans $X$, et les adhérences de Zariski de ces orbites, en analogie avec les cellules et les variétés de Schubert dans les grassmanniennes. On vérifie sans pein que ces orbites sont en nombre fini. Elles ont été décrites de façon combinatoire par P. Magyar, J. Weyman et A. Zelevinsky. Nous obtenons un critère pour l'inclusion d'une orbite dans l'adhérence d'une autre orbite, et nous construisons une résolution de ces adhérences d'orbites, analogue aux désingularisations de Bott-Samelson des variétés de Schubert.

Cette thèse s’articule autour des espaces de modules de représentations de carquois arbitraires, c’est-à-dire possédant d’éventuelles boucles. Nous obtenons trois types de résultats. Le premier concerne la base canonique de Lusztig, dont la définition est étendue à notre cadre, notamment en introduisant une algèbre de Hopf généralisant les groupes quantiques usuels (i.e. associés aux algèbres de Kac-Moody symétriques). On démontre au passage une conjecture faite par Lusztig en 1993, portant sur la catégorie de faisceaux pervers qu’il définit sur les variétés de représentations de carquois.Le second type de résultats, également inspiré par le travail de Lusztig, concerne la base semi- canonique et la variété Lagrangienne nilpotent de Lusztig. Pour un carquois arbitraire, on définit des sous-variétés de représentations semi-nilpotentes Λ(α), et nous montrons qu’elles sont Lagrangiennes. La démonstration repose sur l’existence de fibrations affines partielles entre diverses composantes de Λ(α), contrôlées par une combinatoire précise. Nous définissons une algèbre de convolution de fonctions constructibles sur ⊔Λ(α), et montrons qu’elle possède une base formée de fonctions quasi- caractéristiques des composantes irréductibles des Λ(α). La structure combinatoire qui se dégage ici est analogue à celle obtenue sur les faisceaux pervers de Lusztig, et fait apparaître des opérateurs plus généraux que ceux décrits par les cristaux de Kashiwara.Le troisième thème considéré est celui des variétés carquois de Nakajima, dont l’étude géomé- trique menée ici permet, conjointement avec ce qui est fait précédemment, de donner une définition de cristaux de Kashiwara généralisés. On définit à nouveau des sous-variétés Lagrangiennes, ainsi qu’un produit tensoriel sur leurs composantes irréductibles, comme fait dans le cas classique par Nakajima. / This thesis is about the moduli spaces of representations of arbitrary quivers, i.e. possibly carrying loops. We obtain three types of results. The first one deals with the Lusztig canonical basis, whose definition is here extended to our framework, thanks in particular to the definition of a Hopf algebra generalizing the usual quantum groups (i.e. associated to symmetric Kac-Moody algebras). We also prove a conjecture raised by Lusztig in 1993, which concerns the category of perverse sheaves he defines on varieties of representations of quivers.The second type of results, also inspired by the work of Lusztig, concerns the semicanonical basis. For an arbitrary quiver, we define subvarieties of seminilpotent representations Λ(α), and we show that they are Lagrangian. The proof relies on the existence of partial affine fibrations between some irreducible components of Λ(α), controled by a precise combinatorial structure. We define a convolution algebra of constructible functions on ⊔Λ(α), and show it is equipped with a basis of quasi-characteristic functions of the irreducible components of the Λ(α). The combinatorial structure arising from this construction is analogous to the one obtained on Lusztig perverse sheaves, and yields operators more general than the ones described by Kashiwara crystals.The third considered topic is the one of Nakajima quiver varieties, whose geometric study in this thesis allows, along with the previous (also geometric) work, to define generalized Kashiwara crystals. We define, again, Lagrangian subvarieties, and a tensor product of their irreducible components, as done by Nakajima on the classical case.

Nous introduisons les variables génériques dans une algèbre amassée acyclique $\mathcal A(Q)$. Nous explicitons ces variables en termes de théorie AR de l'algèbre des chemins $kQ$ et montrons qu'elles forment une $\mathbb Z$-base pour une certaine classe d'algèbres amassées comprenant les algèbres amassées affines de type $\tilde A$. <br /><br />Nous introduisons des polynômes de Chebyshev généralisés grâce auxquels nous pouvons montrer des formules de multiplications de type Caldero-Keller pour les variables associées aux $kQ$-modules réguliers.<br /><br />Nous donnons une démonstration simplifiée d'un résultat de Buan, Marsh et Reiten interprétant les dénominateurs des variables d'amas en termes de théorie de basculement dans la catégorie amassée. Nous étudions aussi la compatibilité entre application Caldero-Chapoton et foncteurs BGP étendus.<br /><br />Enfin, nous réalisons les algèbres amassées non simplement lacées comme sous-algèbres de quotients d'algèbres simplement lacées munies d'un groupe d'automorphismes.

Cette thèse s'articule autour des espaces de modules de représentations de carquois arbitraires, c'est-à-dire possédant d'éventuelles boucles. Nous obtenons trois types de résultats. Le premier concerne la base canonique de Lusztig, dont la définition est étendue à notre cadre, notamment en introduisant une algèbre de Hopf généralisant les groupes quantiques usuels (i.e. associés aux algèbres de Kac-Moody symétriques). On démontre au passage une conjecture faite par Lusztig en 1993, portant sur la catégorie de faisceaux pervers qu'il définit sur les variétés de représentations de carquois.Le second type de résultats, également inspiré par le travail de Lusztig, concerne la base semi- canonique et la variété Lagrangienne nilpotent de Lusztig. Pour un carquois arbitraire, on définit des sous-variétés de représentations semi-nilpotentes Λ(α), et nous montrons qu'elles sont Lagrangiennes. La démonstration repose sur l'existence de fibrations affines partielles entre diverses composantes de Λ(α), contrôlées par une combinatoire précise. Nous définissons une algèbre de convolution de fonctions constructibles sur ⊔Λ(α), et montrons qu'elle possède une base formée de fonctions quasi- caractéristiques des composantes irréductibles des Λ(α). La structure combinatoire qui se dégage ici est analogue à celle obtenue sur les faisceaux pervers de Lusztig, et fait apparaître des opérateurs plus généraux que ceux décrits par les cristaux de Kashiwara.Le troisième thème considéré est celui des variétés carquois de Nakajima, dont l'étude géomé- trique menée ici permet, conjointement avec ce qui est fait précédemment, de donner une définition de cristaux de Kashiwara généralisés. On définit à nouveau des sous-variétés Lagrangiennes, ainsi qu'un produit tensoriel sur leurs composantes irréductibles, comme fait dans le cas classique par Nakajima.

Soit H une algebre hereditaire sauvage de dimension finie sur un corps algebriquement clos et X un H-module de dimension finie. Nous etudions la structure d'Auslander-Reiten de l'extension ponctuelle $H[\tau^mX]$ et prouvons en particulier l'existence d'une composante pre-injective pour |m|>>0.

On étudie dans cette thèse les espaces de modules de fibrés orthogonaux sur une courbe algébrique lisse.<br />On montre dans un premier temps que le morphisme d'oubli associant à un fibré orthogonal le fibré vectoriel sous-jacent est une immersion fermée : ce résultat repose sur un calcul d'invariants sur les espaces de représentations de certains carquois.<br />On présente ensuite, pour les fibrés orthogonaux de rang 3 et 4, des résultats plus concrets sur la géométrie de ces espaces, en accordant une attention particulière à l'application thêta.