This  thesis  consists  of two papers  and  a summary.  The  papers  both  deal with  affine algebraic complex  varieties,  and  in particular such  varieties  in dimension  three  that have a non-trivial action  of one of the  one-dimensional  algebraic  groups  Ga   :=  (C, +) and  Gm  :=  (C*, ·).  The methods  used  involve  blowing up  of subvarieties, the correspondances between  Ga - and  Gm - actions  on an affine variety  X with locally nilpotent derivations  and Z-gradings  respectively  on O(X) and passing from a filtered algebra  A to its associated graded  algebra  gr(A). In Paper  I, we study  Russell’s hypersurface  X , i.e. the affine variety  in the affine space A4 given by the equation  x + x2y + z3 + t2 = 0. We reprove by geometric means Makar-Limanov’s result which states  that X is not isomorphic to A3 – a result which was crucial to Koras-Russell’s proof of the linearization conjecture  for Gm -actions on A3. Our method consist in realizing X as an open part  of a blowup M  −→ A3 and to show that each Ga -action on X descends to A3 . This follows from considerations of the graded  algebra  associated to O(X ) with respect  to a certain filtration. In Paper  II, we study  Ga-threefolds X  which have  as their  algebraic  quotient  the  affine plane  A2  = Sp(C[x, y]) and  are a principal  bundle  above the  punctured plane  A2  :=  A2 \ {0}. Equivalently, we study  affine Ga -varieties  Pˆ  that extend  a principal  bundle  P over A2, being P together  with an extra  fiber over the origin in A2. First  the trivial  bundle  is studied,  and some examples of extensions  are given (including  smooth  ones which are not isomorphic  to A2 × A). The  most  basic among  the  non-trivial  principal  bundles  over A2 is SL2 (C)  −→ A2, A  1→  Ae1 where e1  denotes  the first unit  vector,  and we show that any non-trivial  bundle  can be realized as a pullback  of this  bundle  with  respect  to  a morphism  A2  −→ A2. Therefore  the  attention is then  restricted to extensions  of SL2(C)  and  find two families of such extensions  via a study of the  graded  algebras  associated  with  the  coordinate  rings  O(Pˆ)  '→ O(P ) with  respect  to  a filtration  which is defined in terms  of the Ga -actions  on P and Pˆ  respectively.

Cette thèse est consacrée aux actions des groupes de transformations algébriques sur les variétés affines algébriques. Dans la première partie, on étudie la normalité des adhérences des orbites de tore maximal dans un module rationnel de groupe algébrique simple. La seconde partie porte sur les actions du groupe d'automorphismes d'une variété affine. Nous nous intéressons aux propriétés de transitivité et de transitivité multiple de ces actions sur le lieu lisse de la variété. / This thesis is devoted to the actions of groups of algebraic transformations on affine algebraic varieties. In the first part we study normality of closures of maximal torus orbits in the rational modules of simple algebraic groups. The second part deals with actions of automorphism groups on affine varieties. We study here transitivity and multiple transitivity of such an action on the set of smooth points.

Le but de cette thèse est de construire de nouvelles variétés algébriques complexes de Fano et à canonique triviale dans les espaces homogènes et d'analyser leur géométrie. On commence en construisant les variétés spéciales comme lieux de zéros de fibrés homogènes dans les grassmanniennes généralisées. On donne une complète classification en dimension 4. On prouve que les uniques variétés de dimension 4 hyper-Kahleriennes ainsi construites sont les exemples de Beauville-Donagi et Debarre-Voisin. Le même résultat vaut dans les grassmanniennes ordinaires en toute dimension quand le fibré est irréductible. Ensuite on utilise les lieux de dégénérescence orbitaux (ODL), qui généralisent les lieux de dégénérescence classiques, pour construire d'autres variétés. On rappelle les propriétés basiques des ODL, qu'on définit à partir d'une adhérence d'orbite. On construit trois schémas de Hilbert de deux points sur une K3 comme ODL, et beaucoup d'autres exemples de variétés de Calabi-Yau et de Fano. Puis on étudie les adhérences d'orbites dans les représentations de carquois, et on décrit des effondrements de Kempf pour celles de type A_n et D_4; ceci nous permet de construire davantage de variétés spéciales comme ODL. Pour finir, on analyse les grassmanniennes bisymplectiques, qui sont des Fano particulières. Elles admettent l'action d'un tore avec un nombre fini de points fixes. On étudie leurs petites déformations. Ensuite, on étudie la cohomologie (équivariante) des grassmanniennes symplectiques, qui est utile pour mieux comprendre la cohomologie des grassmanniennes bisymplectiques. On analyse en détail un cas explicite en dimension 6. / The aim of this thesis is to construct new interesting complex algebraic Fano varieties and varieties with trivial canonical bundle and to analyze their geometry. In the first part we construct special varieties as zero loci of homogeneous bundles inside generalized Grassmannians. We give a complete classification for varieties of small dimension when the bundle is completely reducible. Thus, we prove that the only fourfolds with trivial canonical bundle so constructed which are hyper-Kahler are the examples of Beauville-Donagi and Debarre-Voisin. The same holds in ordinary Grassmannians when the bundle is irreducible in any dimension. In the second part we use orbital degeneracy loci (ODL), which are a generalization of classical degeneracy loci, to construct new varieties. ODL are constructed from a model, which is usually an orbit closure inside a representation. We recall the fundamental properties of ODL. As an illustration of the construction, we construct three Hilbert schemes of two points on a K3 surface as ODL, and many examples of Calabi-Yau and Fano threefolds and fourfolds. Then we study orbit closures inside quiver representations, and we provide crepant Kempf collapsings for those of type A_n, D_4; this allows us to construct some special varieties as ODL.Finally we focus on a particular class of Fano varieties, namely bisymplectic Grassmannians. These varieties admit the action of a torus with a finite number of fixed points. We find the dimension of their moduli space. We then study the equivariant cohomology of symplectic Grassmannians, which turns out to help understanding better that of bisymplectic ones. We analyze in detail the case of dimension 6.