S'il fallait résumer le sujet de cette thèse en une expression, cela pourrait être quelque chose comme: phénomènes de grande dimension (mais néanmoins finie) en théorie quantique de l'information. Cela étant dit, essayons toutefois de développer brièvement. La physique quantique a inéluctablement affaire à des objets de grande dimension. Partant de cette observation, il y a, en gros, deux stratégies qui peuvent être adoptées: ou bien essayer de ramener leur étude à celle de situations de plus petite dimension, ou bien essayer de comprendre quels sont les comportements universels précisément susceptibles d'émerger dans ce régime. Nous ne donnons ici notre préférence à aucune de ces deux attitudes, mais au contraire oscillons constamment entre l'une et l'autre. Notre but dans la première partie de ce manuscrit (Chapitres 5 et 6) est de réduire autant que possible la complexité de certains processus quantiques, tout en préservant, évidemment, leurs caractéristiques essentielles. Les deux types de processus auxquels nous nous intéressons sont les canaux quantiques et les mesures quantiques. Dans les deux cas, la complexité d'une transformation est mesurée par le nombre d'opérateurs nécessaires pour décrire son action, tandis que la proximité entre la transformation d'origine et son approximation est définie par le fait que, quel que soit l'état d'entrée, les deux états de sortie doivent être proches l'un de l'autre. Nous proposons des solutions universelles (basées sur des constructions aléatoires) à ces problèmes de compression de canaux quantiques et d'amenuisement de mesures quantiques, et nous prouvons leur optimalité. La deuxième partie de ce manuscrit (Chapitres 7, 8 et 9) est, au contraire, spécifiquement dédiée à l'analyse de systèmes quantiques de grande dimension et certains de leurs traits typiques. L'accent est mis sur les systèmes multi-partites et leurs propriétés ayant un lien avec l'intrication. Les principaux résultats auxquels nous aboutissons peuvent se résumer de la façon suivante: lorsque les dimensions des espaces sous-jacents augmentent, il est générique pour les états quantiques multi-partites d'être à peine distinguables par des observateurs locaux, et il est générique pour les relaxations de la notion de séparabilité d'en être des approximations très grossières. Sur le plan technique, ces assertions sont établies grâce à des estimations moyennes de suprema de processus gaussiens, combinées avec le phénomène de concentration de la mesure. Dans la troisième partie de ce manuscrit (Chapitres 10 et 11), nous revenons pour finir à notre état d'esprit de réduction de dimensionnalité. Cette fois pourtant, la stratégie est plutôt: pour chaque situation donnée, tenter d'utiliser au maximum les symétries qui lui sont inhérentes afin d'obtenir une simplification qui lui soit propre. En reliant de manière quantitative symétrie par permutation et indépendance, nous nous retrouvons en mesure de montrer le comportement multiplicatif de plusieurs quantités apparaissant en théorie quantique de l'information (fonctions de support d'ensembles d'états, probabilités de succès dans des jeux multi-joueurs non locaux etc.). L'outil principal que nous développons dans cette optique est un résultat de type de Finetti particulièrement malléable / If a one-phrase summary of the subject of this thesis were required, it would be something like: miscellaneous large (but finite) dimensional phenomena in quantum information theory. That said, it could nonetheless be helpful to briefly elaborate. Starting from the observation that quantum physics unavoidably has to deal with high dimensional objects, basically two routes can be taken: either try and reduce their study to that of lower dimensional ones, or try and understand what kind of universal properties might precisely emerge in this regime. We actually do not choose which of these two attitudes to follow here, and rather oscillate between one and the other. In the first part of this manuscript (Chapters 5 and 6), our aim is to reduce as much as possible the complexity of certain quantum processes, while of course still preserving their essential characteristics. The two types of processes we are interested in are quantum channels and quantum measurements. In both cases, complexity of a transformation is measured by the number of operators needed to describe its action, and proximity of the approximating transformation towards the original one is defined in terms of closeness between the two outputs, whatever the input. We propose universal ways of achieving our quantum channel compression and quantum measurement sparsification goals (based on random constructions) and prove their optimality. Oppositely, the second part of this manuscript (Chapters 7, 8 and 9) is specifically dedicated to the analysis of high dimensional quantum systems and some of their typical features. Stress is put on multipartite systems and on entanglement-related properties of theirs. We essentially establish the following: as the dimensions of the underlying spaces grow, being barely distinguishable by local observers is a generic trait of multipartite quantum states, and being very rough approximations of separability itself is a generic trait of separability relaxations. On the technical side, these statements stem mainly from average estimates for suprema of Gaussian processes, combined with the concentration of measure phenomenon. In the third part of this manuscript (Chapters 10 and 11), we eventually come back to a more dimensionality reduction state of mind. This time though, the strategy is to make use of the symmetries inherent to each particular situation we are looking at in order to derive a problem-dependent simplification. By quantitatively relating permutation symmetry and independence, we are able to show the multiplicative behavior of several quantities showing up in quantum information theory (such as support functions of sets of states, winning probabilities in multi-player non-local games etc.). The main tool we develop for that purpose is an adaptable de Finetti type result

La première partie de la thèse traite d’inférence combinatoire en Analyse Géométrique des Données (AGD). Nous proposons des tests multidimensionnels sans hypothèse sur le processus d’obtention des données ou les distributions. Nous nous intéressons ici aux problèmes de typicalité (comparaison d’un point moyen à un point de référence ou d’un groupe d’observations à une population de référence) et d’homogénéité (comparaison de plusieurs groupes). Nous utilisons des procédures combinatoires pour construire un ensemble de référence par rapport auquel nous situons les données. Les statistiques de test choisies mènent à des prolongements originaux : interprétation géométrique du seuil observé et construction d’une zone de compatibilité.La seconde partie présente l’étude de l’absentéisme dans les Industries Electriques et Gazières de 1995 à 2011 (avec construction d’une cohorte épidémiologique). Des méthodes d’AGD sont utilisées afin d’identifier des pathologies émergentes et des groupes d’agents sensibles. / The first part of this PhD thesis deals with combinatorial inference methods forGeometric Data Analysis (GDA). We propose multidimensional tests that make no assumption on the process of generating data or distributions. We focus particularly on problems of typicality (comparison of a mean point to a reference point or comparison of a group of observations to a reference population) and on problems of homogeneity (comparison of several groups). These methods consist in using combinatorial procedures to build a reference set with respect to which we situate the data. The chosen test statistics lead to original extensions: geometric interpretation of the observed level and construction of a compatibilityzone.The second part of this thesis presents the study of absenteeism in the French Electricity and Gas Industries from 1995 to 2011 (with construction of an epidemiological cohort). GDA methods are used to identify emerging diseases and sensitive groups of agents.

Les vis à rouleaux convertissent la rotation en translation de manière très efficace et sont utilisées dans des nombreuses industries. Mais même s'il présente beaucoup d'avantages, le mécanisme reste complexe et relativement difficile à comprendre. Le principal but de cette thèse est de quantifier la puissance dissipée par les vis à rouleaux standard et inversées, qui est un résultat important pour toute étude liée à l'efficacité ou la distribution de température. De plus, il s'agit d'un critère de conception dans le choix de paramètres optimaux pour une certaine application. À cause des travaux peu nombreux en termes de recherche et des hypothèses restrictives faites dans la littérature courante, ce mémoire commence avec une analyse géométrique de base du mécanisme et envisage de généraliser les équations des surfaces filetées pour les différents types de profils et conditions de jeu. La position des points de contact peut ensuite être déduite avec un algorithme de type Newton-Raphson très rapide. Cette information est cruciale pour toute étude ultérieure de force. Après, les équations classiques de Hertz sont adaptées à des contacts peu conformes pour déterminer la forme, les dimensions et l'orientation des ellipses de contact rouleau-vis et rouleau-douille. Il est prouvé que les directions principales de courbure obtenues ici par géométrie différentielle sont différentes de celles supposées dans les précédents travaux de recherche. Ensuite, la cinématique du mécanisme est étudiée avec un modèle stationnaire, qui établit des liens entre les mouvements uniformes de tous les composants et permet de calculer d'une manière simplifiée le champ de vitesse de glissement en tout point de l'aire de contact. Le mouvement local apparaît comme une combinaison de spin et de glissement uniforme. Le modèle est calibré sur un seul degré de liberté qui prend la forme d'un quotient de glissement, qui dépend de conditions de lubrification et équations d'équilibre dynamique. Un banc expérimental est conçu pour mesurer ce quotient et permettre donc la comparaison avec des valeurs numériques, ainsi que les quelques modèles analytiques disponibles dans la littérature. Les résultats montrent que les mesures sont très proches des conditions de fonctionnement idéales, ce qui fait que les propriétés du lubrifiant et les coefficients de frottement deviennent les paramètres les plus influents dans le peu de marge disponible pour l'amélioration cinématique. Finalement, un modèle numérique en forces est développé et permet de calculer la puissance dissipée pendant l'équilibre stationnaire. L'algorithme itératif détermine d'abord le quotient de glissement atteint à l'équilibre et utilise ensuite le résultat pour déduire les autres variables cinématiques et dynamiques liées au calcul. Une étude paramétrique est réalisée dans le but d'identifier les facteurs importants pour l'efficacité et la puissance dissipée, ainsi que leur contribution relative. / Roller screws are highly efficient rotation-translation converters used in a variety of industries. Despite its numerous advantages, the mechanism remains complex and rather difficult to understand. The main goal of this thesis is to quantify the amount of power dissipated by standard and inverted roller screws, which is an important result for any study related to efficiency or temperature distribution. Furthermore, it is used as a design criterion in choosing optimal parameters for a given application. Due to the limited amount of available research and the restrictive assumptions made in current literature, this memoir starts with a basic geometric analysis of the mechanism and attempts to generalize threaded surface equations for different types of profiles and backlash conditions. The contact point locations can then be deduced using a very fast Newton-Raphson algorithm. This information is crucial for any subsequent force analysis. Classic Hertzian equations are then adapted to slightly conforming contacts in order to calculate the shape, size and orientation of the roller-screw and roller-nut contact ellipses. It is shown that the principal directions of curvature obtained here by differential geometry are different from the ones assumed by previous research. Next, the mechanism kinematics is investigated using a stationary model, which relates the steady-state movement of all the different components and allows a simplified calculation of the sliding velocity field at any point within the contact areas. The local motion proves to be a combination of spin and uniform sliding. The model is set to have only one degree of freedom in the form of a slip ratio, which depends on lubrication conditions and force balance equations. An experimental setup is designed to measure this ratio and thus allow comparison to numerical values, as well as the few analytical models available in the literature. Results show that measurements are very close to ideal operating conditions, which makes lubricant properties and friction coefficients the most influential parameters in the little room available for kinematic improvement. Finally, a numerical force model is developed, which calculates the power dissipated during the steady-state regime. The iterative algorithm first determines the value of the slip ratio reached during stationary equilibrium and then uses the result to deduce the other kinematic and dynamic unknowns involved. A parametric study is conducted to identify the important factors in efficiency and power dissipation, as well as their relative influence.

L'étude non destructive du bois à partir de scanners à rayons X nécessite d’imaginer de nouvelles solutions adaptées à l'analyse des images. Préoccupation à la fois de la recherche agronomique et du milieu industriel des scieries, la segmentation des nœuds de bois est un défi majeur en termes de robustesse aux spécificités de chaque espèce et aux conditions d'acquisition des images. Les travaux menés dans cette thèse permettent de proposer un processus de segmentation en deux phases. Il isole d'abord chaque nœud dans une zone réduite puis segmente le nœud unique de chaque zone. Les solutions proposées pour chaque phase permettent d'intégrer les connaissances sur l'organisation interne du tronc et les mécanismes inhérents à sa croissance, à travers des outils classiques du traitement et de l'analyse d'image. La première phase repose en grande partie sur un principe de détection du mouvement emprunté à l'analyse vidéo et revisité. Deux approches de segmentation sont ensuite proposées, considérant pour l'une les coupes tomographiques initiales, et pour l'autre de nouvelles coupes ré-échantillonnées pour chaque nœud, orthogonalement à sa trajectoire. L'intégralité du processus a été implémenté dans un logiciel dédié aussi bien à l'expérimentation et la validation de l'approche qu'aux échanges interdisciplinaires. Le support applicatif du bois souligne la capacité de spécialisation des algorithmes génériques du traitement et de l'analyse d'image, et la pertinence de l'intégration de connaissances a priori dans cette optique / The non-destructive study of wood from X-Ray CT scanners requires to imagine new solutions adapted to analysis of images. Relating both agronomic research and industrial sector of sawmills, segmentation of wood knots is a major challenge in terms of robustness to specificities of each species and to image acquisition conditions. The works carried out in this thesis allow to propose a segmentation process in two phases. It first isolates each knot in a reduced area then it segments the unique knot of each area. Proposed solutions for each phase allow to integrate knowledges about internal organization of trunk and mechanisms inherent to its growth, through classical tools of image analysis and processing. The first phase is essentially based on a movement detection principle borrowed from video analysis and revisited. Two segmentation approaches are then proposed, considering for one the initial CT slices and for the other news slices resampled for each knot orthogonally to its trajectory. The complete process has been implemented in a software dedicated both for experimentation and validation of approach, and to interdisciplinary dialogs. The applicative support of wood emphasizes the specialization abilities of generic image analysis and processing algorithms, and the relevance to integrate priori knowledges in this perspective

Le flot de Ricci est une équation aux dérivées partielles qui régit l’évolution d’une métrique riemannienne dépendant d’un paramètre de temps sur une variété différentielle. D’abord introduit et étudié par R. Hamilton, il est à l’origine de la solution de la conjecture de géométrisation des variétés compactes de dimension 3 par G. Perelman en 2001. La théorie classique concernant l’existence en temps court des solutions, due à Hamilton et à Shi, garantit (en dimension quelconque) l’existence d’un flot soit sur une variété compacte, soit lorsque la métrique initiale est complète avec une borne sur la norme du tenseur de courbure. En l’absence de cette borne, on conjecture qu’on peut trouver, à partir de la dimension 3, des données initiales pour lesquelles il n’existe pas de solution. Dans cette thèse, on démontre des théorèmes d’existence en temps court du flot sous des hypothèses plus faibles qu’une borne sur la norme du tenseur de courbure. Pour cela, on introduit une construction générale qui, pour une métrique riemannienne g quelconque sur une variété M, pas nécessairement complète, permet de produire une solution de l’équation du flot sur un domaine ouvert D de l’espace-temps M * [0,T] qui contient la tranche de temps initiale, avec g pour donnée initiale. On montre ensuite que sous des hypothèses adaptées sur la métrique g, on contrôle la forme du domaine D. En particulier, lorsque la métrique g est complète, D contient un ensemble de la forme M * [0,t], avec t>0, ce qui revient à dire qu’il existe un flot au sens classique dont la donnée initiale est g. Les « hypothèses adaptées » qui conduisent à des théorèmes d’existence sont de trois types. Dans tout les cas, on suppose une minoration uniforme du volume des boules de rayon au plus 1, à quoi on ajoute : a) en dimension 3, une minoration du tenseur de Ricci, b) en dimension n, une minoration d’une notion de courbure dite « courbure isotrope I » ou bien c) en dimension n, une borne sur la norme du tenseur de Ricci et une hypothèse qui garantit la proximité au sens métrique des boules de rayon au plus 1 avec une boule de même rayon dans un espace métrique obtenu comme le produit cartésien d’un espace de dimension 3 et d’un facteur euclidien de dimension n-3. De plus, avec ces résultats d’existence viennent des estimations sur les propriétés de régularisation du flot quantifiées en fonction des hypothèses sur la donnée initiale. La possibilité ainsi offerte de régulariser, globalement ou localement, pour un temps et avec des estimations quantifiés, une métrique initiale a des conséquence sur les espaces métriques singuliers obtenus comme limites, pour la distance de Gromov-Hausdorff, de suites de variétés satisfaisant uniformément aux conditions a), b) ou c). En effet, des théorèmes de compacité classiques pour le flot de Ricci permettent d’extraire un flot limite, étant donnée une suite de métriques initiales satisfaisant uniformément à ces hypothèses, et possédant donc toutes un flot pour un temps contrôlé. Lorsque les métriques en question approchent, pour la topologie de Gromov-Hausdorff, un espace singulier, cette solution limite s’interprète comme un flot régularisant l’espace singulier en question, et son existence contraint la topologie de cet espace singulier. / The Ricci Flow is a partial differential equation governing the evolution of a Riemannian metric depending on a time parameter t on a differential manifold. It was first introduced and studied by R. Hamilton, and eventually led to the solution of the Geometrization conjecture for closed three-dimensional manifolds by G. Perelman in 2001. The classical short-time existence theory for the Ricci Flow, due to Hamilton and Shi, asserts, in any dimension, the existence of a flow starting from any initial metric when the underlying manifold in compact, or for any complete initial metric with a bound on the norm of the curvature tensor otherwise. In the absence of such a bound, though, the conjecture is that starting from dimension 3 one can find such initial data for which there is no solution. In this thesis, we prove short-time existence theorems under hypotheses weaker than a bound on the norm of the curvature tensor. To do this, we introduce a general construction which, for any Riemannian metric g (not necessarily complete) on a manifold M, allows us to produce a solution to the equation of the flow on an open domain D of the space-time M * [0,T] which contains the initial time slice, with g as an initial datum. We proceed to show that under suitable hypotheses on g, one can control the shape of the domain D, so that in particular, D contains a subset of the form M * [0,t] with t>0 if g is complete. By « suitable hypothesis », we mean one of the following. In any case, we assume a lower bound on the volume of balls of radius at most 1, plus a) in dimension 3, a lower bound on the Ricci tensor, b) in dimension n, a lower bound on the so-called « isotropic curvature I » or c) in dimension n, a bound on the norm of the Ricci tensor, as well as a hypothesis which garanties the metric proximity of every ball of radius at most $1$ with a ball of the same radius in a metric product between a three-dimensional metric space and a $n-3$ dimensional Euclidian factor. Moreover, with these existence results come estimates on the existence time and regularization properties of the flow, quantified in term of the hypotheses on the initial data. The possibility to regularize metrics, locally or globally, with such estimates has consequences in terms of the metric spaces obtained as limits, in the Gromov-Hausdorff topology, of sequences of manifolds uniformly satisfying a), b) or c). Indeed, the classical compactness theorems for the Ricci Flow allow for the extraction of a limit flow for any sequence of initial metrics uniformly satisfying the hypotheses and thus possessing a flow for a controlled amount of time. In the case when these metrics approach a singular space in the Gromov-Hausdorff topology, such a limit solution can be interpreted as a flow regularizing the singular limit space, the existence of which puts constraints on the topology of this space.

Partant d'une cône-variété hyperbolique compacte de dimension n>2, on étudie les déformations de la métrique dans le but d'obtenir des cônes-variétés Einstein. Dans le cas où le lieu singulier est une sous-variété fermée de codimension 2 et que tous les angles coniques sont plus petits que 2pi, on montre qu'il n'existe pas de déformations Einstein infinitésimales non triviales préservant les angles coniques. Ce résultat peut s'interpréter comme une généralisation en dimension supérieure du célèbre théorème de Hodgson et Kerckhoff sur les déformations des cônes-variétés hyperboliques de dimension 3.<br />Si tous les angles coniques sont inférieurs à pi, on donne ensuite une construction qui à chaque variation donnée des angles associe une déformation Einstein infinitésimale correspondante.

La première partie de la thèse traite d'inférence combinatoire en Analyse Géométrique des Données (AGD). Nous proposons des tests multidimensionnels sans hypothèse sur le processus d'obtention des données ou les distributions. Nous nous intéressons ici aux problèmes de typicalité (comparaison d'un point moyen à un point de référence ou d'un groupe d'observations à une population de référence) et d'homogénéité (comparaison de plusieurs groupes). Nous utilisons des procédures combinatoires pour construire un ensemble de référence par rapport auquel nous situons les données. Les statistiques de test choisies mènent à des prolongements originaux : interprétation géométrique du seuil observé et construction d'une zone de compatibilité.La seconde partie présente l'étude de l'absentéisme dans les Industries Electriques et Gazières de 1995 à 2011 (avec construction d'une cohorte épidémiologique). Des méthodes d'AGD sont utilisées afin d'identifier des pathologies émergentes et des groupes d'agents sensibles.

Cette thèse porte sur l'analyse visuelle de scènes intérieures capturées par des caméras de profondeur dans le but de convertir leurs données en information de haut niveau sur la scène. Elle explore l'application d'outils d'analyse géométrique 3D à des données visuelles de profondeur en termes d'amélioration de qualité, de recalage et de consolidation. En particulier, elle vise à montrer comment l'abstraction de formes permet de générer des représentations légères pour une analyse rapide avec des besoins matériels faibles. Cette propriété est liée à notre objectif de concevoir des algorithmes adaptés à un fonctionnement embarqué en temps réel dans le cadre d'appareils portables, téléphones ou robots mobiles. Le contexte de cette thèse est l'exécution d'un procédé d’interaction 3D temps réel sur un appareil mobile. Cette exécution soulève plusieurs problématiques, dont le placement de zones d'interaction 3D par rapport à des objets environnants réels, le suivi de ces zones dans l'espace lorsque le capteur est déplacé ainsi qu'une utilisation claire et compréhensible du système par des utilisateurs non experts. Nous apportons des contributions vers la résolution de ces problèmes pour montrer comment l'abstraction géométrique de la scène permet une localisation rapide et robuste du capteur et une représentation efficace des données fournies ainsi que l'amélioration de leur qualité et leur consolidation. Bien que les formes géométriques simples ne contiennent pas autant d'information que les nuages de points denses ou les ensembles volumiques pour représenter les scènes observées, nous montrons qu’elles constituent une approximation acceptable et que leur légèreté leur donne un bon équilibre entre précision et performance. / This PhD thesis focuses on the problem of visual scene analysis captured by commodity depth sensors to convert their data into high level understanding of the scene. It explores the use of 3D geometry analysis tools on visual depth data in terms of enhancement, registration and consolidation. In particular, we aim to show how shape abstraction can generate lightweight representations of the data for fast analysis with low hardware requirements. This last property is important as one of our goals is to design algorithms suitable for live embedded operation in e.g., wearable devices, smartphones or mobile robots. The context of this thesis is the live operation of 3D interaction on a mobile device, which raises numerous issues including placing 3D interaction zones with relation to real surrounding objects, tracking the interaction zones in space when the sensor moves and providing a meaningful and understandable experience to non-expert users. Towards solving these problems, we make contributions where scene abstraction leads to fast and robust sensor localization as well as efficient frame data representation, enhancement and consolidation. While simple geometric surface shapes are not as faithful as heavy point sets or volumes to represent observed scenes, we show that they are an acceptable approximation and their light weight makes them well balanced between accuracy and performance.

Le volume de données disponibles est en perpétuelle expansion. Il est primordial de fournir des méthodes efficaces et robustes permettant d'en extraire des informations pertinentes. Nous nous focalisons sur des données pouvant être représentées sous la forme de nuages de points dans un certain espace muni d'une métrique, e.g. l'espace Euclidien R^d, générées selon une certaine distribution. Parmi les questions naturelles que l'on peut se poser lorsque l'on a accès à des données, trois d'entre elles sont abordées dans cette thèse. La première concerne la comparaison de deux ensembles de points. Comment décider si deux nuages de points sont issus de formes ou de distributions similaires ? Nous construisons un test statistique permettant de décider si deux nuages de points sont issus de distributions égales (modulo un certain type de transformations e.g. symétries, translations, rotations...). La seconde question concerne la décomposition d'un ensemble de points en plusieurs groupes. Étant donné un nuage de points, comment faire des groupes pertinents ? Souvent, cela consiste à choisir un système de k représentants et à associer chaque point au représentant qui lui est le plus proche, en un sens à définir. Nous développons des méthodes adaptées à des données échantillonnées selon certains mélanges de k distributions, en présence de données aberrantes. Enfin, lorsque les données n'ont pas naturellement une structure en k groupes, par exemple, lorsqu'elles sont échantillonnées à proximité d'une sous-variété de R^d, une question plus pertinente est de construire un système de k représentants, avec k grand, à partir duquel on puisse retrouver la sous-variété. Cette troisième question recouvre le problème de la quantification d'une part, et le problème de l'approximation de la distance à un ensemble d'autre part. Pour ce faire, nous introduisons et étudions une variante de la méthode des k-moyennes adaptée à la présence de données aberrantes dans le contexte de la quantification. Les réponses que nous apportons à ces trois questions dans cette thèse sont de deux types, théoriques et algorithmiques. Les méthodes proposées reposent sur des objets continus construits à partir de distributions et de sous-mesures. Des études statistiques permettent de mesurer la proximité entre les objets empiriques et les objets continus correspondants. Ces méthodes sont faciles à implémenter en pratique lorsque des nuages de points sont à disposition. L'outil principal utilisé dans cette thèse est la fonction distance à la mesure, introduite à l'origine pour adapter les méthodes d'analyse topologique des données à des nuages de points corrompus par des données aberrantes / It is primordial to establish effective and robust methods to extract pertinent information from datasets. We focus on datasets that can be represented as point clouds in some metric space, e.g. Euclidean space R^d; and that are generated according to some distribution. Of the natural questions that may arise when one has access to data, three are addressed in this thesis. The first question concerns the comparison of two sets of points. How to decide whether two datasets have been generated according to similar distributions? We build a statistical test allowing to one to decide whether two point clouds have been generated from distributions that are equal (up to some rigid transformation e.g. symmetry, translation, rotation...).The second question is about the decomposition of a set of points into clusters. Given a point cloud, how does one make relevant clusters? Often, it consists of selecting a set of k representatives, and associating every point to its closest representative (in some sense to be defined). We develop methods suited to data sampled according to some mixture of k distributions, possibly with outliers. Finally, when the data can not be grouped naturally into $k$ clusters, e.g. when they are generated in a close neighborhood of some sub-manifold in R^d, a more relevant question is the following. How to build a system of $k$ representatives, with k large, from which it is possible to recover the sub-manifold? This last question is related to the problems of quantization and compact set inference. To address it, we introduce and study a modification of the $k$-means method adapted to the presence of outliers, in the context of quantization. The answers we bring in this thesis are of two types, theoretical and algorithmic. The methods we develop are based on continuous objects built from distributions and sub-measures. Statistical studies allow us to measure the proximity between the empirical objects and the continuous ones. These methods are easy to implement in practice, when samples of points are available. The main tool in this thesis is the function distance-to-measure, which was originally introduced to make topological data analysis work in the presence of outliers.

Les objects d'étude principaux de la thèse "Flots géométriques kähleriens et presque-kähleriens" sont des généralisations du flot de Calabi et du flot hermitienne de Yang--Mills. <p> Le flot de Calabi $partial_t omega = -i delbar del S(omega) =- i delbar del Lambda_omega <p> ho(omega) $ tente de déformer une forme initiale kählerienne vers une forme kählerienne $omega_c$ de courbure scalaire constante caractérisée par $S(omega_c) = Lambda_{omega_c} <p> ho(omega_c) = underline{S}$ dans la même classe de cohomologie. La généralisation étudiée est le flot de Calabi twisté qui remplace la forme de Kähler--Ricci $ho$ par $ho + alpha(t)$, où le emph{twist} $alpha(t)$ est une famille de $2$-formes qui converge vers $alpha_infty$. Le but de ce flot est de trouver des métriques kähleriennes $omega_{tc}$ de courbure scalaire twistées constantes caractérisées par $Lambda_{omega_{tc}} (ho(omega_{tc}) +alpha_infty) = underline{S} + underline{alpha}_infty$. L'existence et la convergence de ce flot sont établies sur des surfaces de Riemann à condition que le twist soit défini négatif et reste dans une classe de cohomologie fixe. <p>Si $E$ est un fibré véctoriel holomorphe sur une varieté kählerienne $(X,omega)$, une métrique de Hermite--Einstein $h_{he}$ est caractérisée par la condition $Lambda_omega i F_{he} = lambda id_E$. Le flot hermitien de Yang--Mills donné par $h^{-1}partial_t h =- [Lambda_omega iF_{h} - lambda id_E]$ tente de déformer une métrique hermitienne initiale vers une métrique Hermite--Einstein. La version classique du flot fixe la forme kählerienne $omega$. Le cas où $omega$ varie dans sa classe de cohomologie et converge vers $omega_infty$ est considéré dans la thèse. Il est démontré que le flot existe pour tout $t$ sur des surfaces de Riemann et converge vers une métrique Hermite--Einstein (par rapport à $omega_infty$) si le fibré $E$ est stable. <p> Les généralisations du flot de Calabi et du flot hermitien de Yang--Mills ne sont pas arbitraires, mais apparaissent naturellement comme une approximation du flot de Calabi sur des fibrés adiabatiques. Si $Z,X$ sont des variétés complexes compactes, $pi colon Z \ / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished