Artins Vermutung über Primitivwurzeln besagt, dass es zu jeder ganzen Zahl a, die weder 0, ±1 noch eine Quadratzahl ist, unendlich viele Primzahlen p gibt, sodass a eine Primitivwurzel modulo p ist, d.h. a erzeugt eine multiplikative Untergruppe von Q*, dessen Reduktion modulo p Index 1 in (Z/pZ)* hat. Dies wirft die Frage nach Verteilung von Index und Ordnung dieser Reduktion in (Z/pZ)* auf, wenn man p variiert. Diese Arbeit widmet sich verallgemeinerten Fragestellungen in Zahlkörpern: Ist K ein Zahlkörper und Gamma eine endlich erzeugte unendliche Untergruppe von K*, so werden Momente von Index und Ordnung der Reduktion von Gamma sowohl modulo bestimmter Familien von Primidealen von K als auch modulo aller Ideale von K untersucht. Ist Gamma die Gruppe der Einheiten von K, so steht diese Fragestellung in engem Zusammenhang mit der Ramanujan Vermutung in Zahlkörpern. Des Weiteren werden analoge Probleme für rationale elliptische Kurven E betrachtet: Bezeichnet Gamma die von einem rationalen Punkt von E erzeugte Gruppe, so wird untersucht, wie sich Index und Ordnung der Reduktion von Gamma modulo Primzahlen verhalten. Teilweise unter Voraussetzung gängiger zahlentheoretischer Vermutungen werden jeweils asymptotische Formeln in manchen Fällen bewiesen und generelle Schwierigkeiten geschildert, die solche in anderen Fällen verhindern. Darüber hinaus wird eine weitere verwandte Fragestellung betrachtet und bewiesen, dass zu jeder hinreichend großen Primzahl p stets eine Primitivwurzel modulo p existiert, die sich als Summe von zwei Quadraten darstellen lässt und nach oben im Wesentlichen durch die Quadratwurzel von p beschränkt ist.

Cette thèse s'intéresse aux fonctions L, à leurs aspects explicites et à leurs applications Dans le premier chapitre, nous donnons une définition précise de ce que nous appelons une fonction L ainsi que leurs principales propriétés, notamment concernant les invariants appelés paramètres locaux. Ensuite, nous traitons le cas des fonctions L d'Artin. Pour celles-ci, nous avons créé un programme dans le logiciel PARI/GP donnant les coefficients et les invariants d'une fonction L d'Artin lorsque le corps de base est Q.Le deuxième chapitre explicite un théorème dû à Henryk Iwaniec et Emmanuel Kowalski permettant de différencier deux fonctions L générales en considérant leurs paramètres locaux pour tous les premiers jusqu'à une certaine borne théorique.Dans la suite, nous constaterons que distinguer la somme des paramètres locaux de fonctions L d'Artin revient à séparer les caractères associés par les automorphismes de Frobenius. Ce sera l'objet du troisième chapitre qui est à relier au théorème de Chebotarev. En appliquant notre résultat à des caractères conjugués du groupe alterné, on obtient une borne sur un nombre premier p donnant l'écriture de la factorisation modulo p d'un polynôme répondant à certains critères. Ce travail est à comparer avec un résultat de Joël Bellaïche (2013). Nous illustrons enfin numériquement nos résultats en étudiant l'évolution de la borne sur des polynômes de la forme X^n+uX+v avec n=5, 7 et 13. / This thesis focuses on L-functions, their explicit aspects and their applications.In the first chapter, we give a precise definition of L-functions and their main properties, especially about the invariants called local parameters. Then, we deal with Artin L-functions. For them, we have created a computer program in PARI/GP which gives the coefficients and the invariants for an Artin L-function above Q.In the second chapter, we make explicit a theorem of Henryk Iwaniec and Emmanuel Kowalski, which distinguishes between two L-functions by considering their local parameters for primes up to a theoretical bound.Actually, distinguishing between sums of local parameters of Artin L-functions is the same as separating the associated characters by the Frobenius automorphism. This is the subject of the third chapter, that can be related to Chebotarev Theorem. By applying the result to conjugate characters of the alternating group, we get a bound for a prime p giving the factorization modulo $p$ of a certain polynomial. This work has to be compared with a result from Joël Bellaïche (2013).Finally, we numerically illustrate our results by studying the evolution of the bound on polynomials X^n+uX+v, for n=5, 7 and 13.

On s’intéresse dans cette thèse à l’étude des fonctions thêta intervenant dans la preuve de l’équation fonctionnelle des fonctions L de Dirichlet. En particulier, on adapte certains résultats obtenus dans le cadre des fonctions L au cas des fonctions thêta. S. Chowla a conjecturé que les fonctions L de Dirichlet associées à des caractères χ primitifs ne doivent pas s’annuler au point central de leur équation fonctionnelle. De façon analogue, il est conjecturé que les fonctions thêta ne s'annulent pas au point 1. Dans le but de prouver cette conjecture pour beaucoup de caractères, on étudie les moments de fonctions thêta dans plusieurs familles. On se focalise sur deux familles importantes. La première considérée est l’ensemble des caractères de Dirichlet modulo p où p est un nombre premier. On prouve des formules asymptotiques pour les moments d'ordre 2 et 4 en se ramenant à des problèmes de nature diophantienne. La seconde famille considérée est celle des caractères primitifs et quadratiques associés à des discriminants fondamentaux d inférieurs à une certaine borne fixée. On donne une formule asymptotique pour le premier moment et une majoration pour le moment d'ordre 2 en utilisant des techniques de transformée de Mellin ainsi que des estimations sur les sommes de caractères. Dans les deux cas, on en déduit des résultats de non-annulation des fonctions thêta. On propose également un algorithme qui, pour beaucoup de caractères, se révèle en pratique efficace pour prouver la non-annulation sur l'axe réel positif des fonctions thêta ce qui entraîne la non-annulation sur le même axe des fonctions L associées. / In this thesis, we focus on the study of theta functions involved in the proof of the functional equation of Dirichlet L- functions. In particular, we adapt some results obtained for L-functions to the case of theta functions. S. Chowla conjectured that Dirichlet L- functions associated to primitive characters χ don’t vanish at the central point of their functional equation. In a similar way to Chowla’s conjecture, it is conjectured that theta functions don't vanish at the central point of their functional equation for each primitive character. With the aim of proving this conjecture for a lot of characters, we study moments of theta functions in various families. We concentrate on two important families. The first one which we consider is the family of all Dirichlet characters modulo p where p is a prime number. In this case, we prove asymptotic formulae for the second and fourth moment of theta functions using diophantine techniques. The second family which we consider is the set of primitive quadratic characters associated to a fundamental discriminant less than a fixed bound. We give an asymptotic formula for the first moment and an upper bound for the second moment using techniques of Mellin transforms and estimation of character sums. In both cases, we deduce some results of non-vanishing. We also give an algorithm which, in practice, works well for a lot of characters to prove the non-vanishing of theta functions on the positive real axis. In this case, this implies in particular that the associated L-functions don’t vanish on the same axis.

Cette thèse traite d’un sujet central de la théorie analytique des nombres, notamment celui des caractères de Dirichlet et plus particulièrememt, celui des sommes de caractères. Plus précisément, on y développe un résultat concernant la valeur maximale pouvant être atteinte par une longue somme de caractère. Chemin faisant, nous serons amenés à investiguer la structure de réseaux et nous en soutirerons un résultat intéressant. Dans le Chapitre 1 sont discutées les notions et techniques nécessaires à l’élaboration de la preuve du résultat principal. On y discutera des notions d’analyse harmonique, de techniques classiques de théorique des nombres et l’on fera finalement un survol des nombres friables. Le Chapitre 2 introduira la théorie propre aux caractères de Dirichlet et aux sommes de caractères. Les propriétés de bases et les théorèmes classiques seront couverts ainsi qu’un aperçu des résultats récents qui touchent de près au sujet principal de cette thèse. On donnera au Chapitre 3 un premier résultat qui fera diverger la thèse dans le domaine des réseaux. Il s’agit d’un résultat auxiliaire au résultat principal, mais qui offre un intérêt indépendant aux sommes de caractères. Il sera question de l’ordre de grandeur des multiples d’un vecteur choisi dans un réseau, lorsque les multiplicateurs sont dans certaines classes de congruences. Le Chapitre 4 servira de lien entre les réseaux et les caractères et on y appliquera les théorème démontrés au Chapitre 3. Les résultats sur les caractères qui en découlerons serons les éléments clés pour la preuve du théorème principal. Au chapitre 5, nous dériverons quelques estimés préliminaires qui seront nécessaires à la preuve du théorème principal. En particulier, le chapitre sera divisé en deux sectioncs; l’une traitant de sommes exponentielles, l’autre de nombre friables. Finalement, le Chapitre 6 constitura le point culminant de cette thèse et servira à démontrer le résultat principal sur les sommes de caractères. Nous y prouverons une borne inférieur sur le maximum pouvant être atteinte par un caractère parmi les caractères modulo un nombre premier q. / This thesis deals with a central topic in analytic number theory, namely that of characters and more specifically, that of character sums. More precisely, we will develop a result concerning the maximal value that can be attained by some long character sum. In Chapter 1 are discussed the notions and techniques that will be necessary in the elaboration of the proof of the main result. We will discuss notions of harmonic analysis, classical number theoretic techniques, as well as give an overview of smooth numbers. Chapter 2 will serve as an introduction to the theory pertaining to Dirichlet characters and character sums. Basic properties and classical theorems will be covered and we will provide a survey of recent results closely related to the main topic on interest in this thesis. We will give in Chapter 3 a first result which will lead this thesis to diverge into the field of lattices. It comes up as an auxiliary result to the main result, but bares an interest independent to characters. We will discuss the order of magnitude of multiples of a chosen lattice vector, when the multipliers lie in prescribed congruence classes. Chapter 4 will serve as a bridge between lattices and characters and we will study the consequences of applying the theorems we proved in Chapter 3 to characters. We will derive results that will be key to the proof of our main theorem. In Chapter 5, we will prepare the ground for the proof of our main theorem by unveiling some preliminary estimates that will be needed. In particular, the chapter will consist of two parts: one treating of exponential sums, while the other one will be concerned with smooth numbers. Finally, Chapter 6 will be the apex of this thesis and will provide the proof of our main result on character sums. The argument built in this chapter will allow us to prove a lower bound for the maximal value that can be reached by a character among the characters modulo a prime number q.

In this thesis we provide a body of knowledge that concerns Riemann zeta-function and its generalizations in a cohesive manner. In particular, we have studied and mentioned some recent results regarding Hurwitz and Lerch functions, as well as Dirichlet's L-function. We have also investigated some fundamental concepts related to these functions and their universality properties. In addition, we also discuss different formulations and approaches to the proof of the Prime Number Theorem and the Riemann Hypothesis. These two topics constitute the main theme of this thesis. For the Prime Number Theorem, we provide a thorough discussion that compares and contrasts Norbert Wiener's proof with that of Newman's short proof. We have also related them to Hadamard's and de la Vallee Poussin's original proofs written in 1896. As far as the Riemann Hypothesis is concerned, we discuss some recent results related to equivalent formulations of the Riemann Hypothesis as well as the Generalized Riemann Hypothesis.

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Le sujet principal de cette thèse est l’étude des valeurs moyennes et corrélations de fonctions multiplicatives. Les résultats portant sur ces derniers sont subséquemment appliqués à la résolution de plusieurs problèmes. Dans le premier chapitre, on rappelle certains résultats classiques concernant les valeurs moyennes des fonctions multiplicatives. On y énonce également les théorèmes principaux de la thèse. Le deuxième chapitre consiste de l’article “Mean values of multiplicative functions over the function fields". En se basant sur des résultats classiques de Wirsing, de Hall et de Tenenbaum concernant les fonctions multiplicatives arithmétiques, on énonce et on démontre des théorèmes qui y correspondent pour les fonctions multiplicatives sur les corps des fonctions Fq[x]. Ainsi, on résoud un problème posé dans un travail récent de Granville, Harper et Soundararajan. On décrit dans notre thése certaines caractéristiques du comportement des fonctions multiplicatives sur les corps de fonctions qui ne sont pas présentes dans le contexte des corps de nombres. Entre autres, on introduit pour la première fois une notion de “simulation” pour les fonctions multiplicatives sur les corps de fonctions Fq[x]. Les chapitres 3 et 4 comprennent plusieurs résultats de l’article “Correlations of multiplicative functions and applications". Dans cet article, on détermine une formule asymptotique pour les corrélations X n6x f1(P1(n)) · · · fm(Pm(n)), où f1, . . . ,fm sont des fonctions multiplicatives de module au plus ou égal à 1 ”simulatrices” qui satisfont certaines hypothèses naturelles, et P1, . . . ,Pm sont des polynomes ayant des coefficients positifs. On déduit de cette formule plusieurs conséquences intéressantes. D’abord, on donne une classification des fonctions multiplicatives f : N ! {−1,+1} ayant des sommes partielles uniformément bornées. Ainsi, on résoud un problème d’Erdos datant de 1957 (dans la forme conjecturée par Tao). Ensuite, on démontre que si la valeur moyenne des écarts |f(n + 1) − f(n)| est zéro, alors soit |f| a une valeur moyenne de zéro, soit f(n) = ns avec iii Re(s) < 1. Ce résultat affirme une ancienne conjecture de Kátai. Enfin, notre théorème principal est utilisé pour compter le nombre de représentations d’un entier n en tant que somme a+b, où a et b proviennent de sous-ensembles multiplicatifs fixés de N. Notre démonstration de ce résultat, dû à l’origine à Brüdern, évite l’usage de la “méthode du cercle". Les chapitres 5 et 6 sont basés sur les résultats obtenus dans l’article “Effective asymptotic formulae for multilinear averages and sign patterns of multiplicative functions," un travail conjoint avec Alexander Mangerel. D’après une méthode analytique dans l’esprit du théorème des valeurs moyennes de Halász, on détermine une formule asymptotique pour les moyennes multidimensionelles x−l X n2[x]l Y 16j6k fj(Lj(n)), lorsque x ! 1, où [x] := [1,x] et L1, . . . ,Lk sont des applications linéaires affines qui satisfont certaines hypothèses naturelles. Notre méthode rend ainsi une démonstration neuve d’un résultat de Frantzikinakis et Host avec, également, un terme principal explicite et un terme d’erreur quantitatif. On applique nos formules à la démonstration d’un phénomène local-global pour les normes de Gowers des fonctions multiplicatives. De plus, on découvre et explique certaines irrégularités dans la distribution des suites de signes de fonctions multiplicatives f : N ! {−1,+1}. Visant de tels résultats, on détermine les densités asymptotiques des ensembles d’entiers n tels que la fonction f rend une suite fixée de 3 ou 4 signes dans presque toutes les progressions arithmétiques de 3 ou 4 termes, respectivement, ayant n comme premier terme. Ceci mène à une généralisation et amélioration du travail de Buttkewitz et Elsholtz, et donne un complément à un travail récent de Matomäki, Radziwiłł et Tao sur les suites de signes de la fonction de Liouville. / The main theme of this thesis is to study mean values and correlations of multiplicative functions and apply the corresponding results to tackle some open problems. The first chapter contains discussion of several classical facts about mean values of multiplicative functions and statement of the main results of the thesis. The second chapter consists of the article “Mean values of multiplicative functions over the function fields". The main purpose of this chapter is to formulate and prove analog of several classical results due to Wirsing, Hall and Tenenbaum over the function field Fq[x], thus answering questions raised in the recent work of Granville, Harper and Soundararajan. We explain some features of the behaviour of multiplicative functions that are not present in the number field settings. This is accomplished by, among other things, introducing the notion of “pretentiousness" over the function fields. Chapter 3 and Chapter 4 include results of the article “Correlations of multiplicative functions and applications". Here, we give an asymptotic formula for correlations X n_x f1(P1(n))f2(P2(n)) · · · · · fm(Pm(n)) where f . . . ,fm are bounded “pretentious" multiplicative functions, under certain natural hypotheses. We then deduce several desirable consequences. First, we characterize all multiplicative functions f : N ! {−1,+1} with bounded partial sums. This answers a question of Erdos from 1957 in the form conjectured by Tao. Second, we show that if the average of the first divided difference of multiplicative function is zero, then either f(n) = ns for Re(s) < 1 or |f(n)| is small on average. This settles an old conjecture of Kátai. Third, we apply our theorem to count the number of representations of n = a + b where a,b belong to some multiplicative subsets of N. This gives a new "circle method-free" proof of the result of Brüdern. Chapters 5 and Chapter 6 are based on the results obtained in the article “Effective asymptotic formulae for multilinear averages and sign patterns of multiplicative functions," joint with Alexander Mangerel. Using an analytic approach in the spirit of Halász’ mean v value theorem, we compute multidimensional averages x−l X n2[x]l Y 16j6k fj(Lj(n)) as x ! 1, where [x] := [1,x] and L1, . . . ,Lk are affine linear forms that satisfy some natural conditions. Our approach gives a new proof of a result of Frantzikinakis and Host that is distinct from theirs, with explicit main and error terms. As an application of our formulae, we establish a local-to-global principle for Gowers norms of multiplicative functions. We reveal and explain irregularities in the distribution of the sign patterns of multiplicative functions by computing the asymptotic densities of the sets of integers n such that a given multiplicative function f : N ! {−1, 1} yields a fixed sign pattern of length 3 or 4 on almost all 3- and 4-term arithmetic progressions, respectively, with first term n. The latter generalizes and refines the work of Buttkewitz and Elsholtz and complements the recent work of Matomaki, Radziwiłł and Tao. We conclude this thesis by discussing some work in progress.

Dans le premier chapitre de cette thèse, nous passons en revue les outils de la théorie analytique des nombres qui seront utiles pour la suite. Nous faisons aussi un survol des entiers y−friables, c’est-à-dire des entiers dont chaque facteur premier est plus petit ou égal à y. Au deuxième chapitre, nous présenterons des problèmes classiques de la théorie des nombres probabiliste et donnerons un bref historique d’une classe de fonctions arithmétiques sur un espace probabilisé. Le problème de Erdos sur la table de multiplication demande quel est le nombre d’entiers distincts apparaissant dans la table de multiplication N × N. L’ordre de grandeur de cette quantité a été déterminé par Kevin Ford (2008). Dans le chapitre 3 de cette thèse, nous étudions le nombre d’ensembles y−friables de la table de multiplication N × N. Plus concrètement, nous nous concentrons sur le changement du comportement de la fonction A(x, y) par rapport au domaine de y, où A(x, y) est une fonction qui compte le nombre d’entiers y− friables distincts et inférieurs à x qui peuvent être représentés comme le produit de deux entiers y− friables inférieurs à p x. Dans le quatrième chapitre, nous prouvons un théorème de Erdos-Kac modifié pour l’ensemble des entiers y− friables. Si !(n) est le nombre de facteurs premiers distincts de n, nous prouvons que la distribution de !(n) est gaussienne pour un certain domaine de y en utilisant la méthode des moments. / The object of the first chapter of this thesis is to review the materials and tools in analytic number theory which are used in following chapters. We also give a survey on the development concerning the number of y−smooth integers, which are integers free of prime factors greater than y. In the second chapter, we shall give a brief history about a class of arithmetical functions on a probability space and we discuss on some well-known problems in probabilistic number theory. We present two results in analytic and probabilistic number theory. The Erdos multiplication table problem asks what is the number of distinct integers appearing in the N × N multiplication table. The order of magnitude of this quantity was determined by Kevin Ford (2008). In chapter 3 of this thesis, we study the number of y−smooth entries of the N × N multiplication. More concretely, we focus on the change of behaviour of the function A(x,y) in different ranges of y, where A(x,y) is a function that counts the number of distinct y−smooth integers less than x which can be represented as the product of two y−smooth integers less than p x. In Chapter 4, we prove an Erdos-Kac type of theorem for the set of y−smooth integers. If !(n) is the number of distinct prime factors of n, we prove that the distribution of !(n) is Gaussian for a certain range of y using method of moments.

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Le thème de cette thèse est de comprendre la distribution des nombres premiers, qui est un sujet central de la théorie analytique des nombres. Plus précisément, nous allons prouver des théorèmes de type Bombieri-Vinogradov pour les nombres premiers avec un chiffre manquant dans leur développement b-adique pour un grand entier positif b. La preuve est basée sur la méthode du cercle, qui repose sur la structure de Fourier des entiers avec un chiffre manquant et les sommes exponentielles sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques. En combinant nos résultats avec le crible semi-linéaire, nous obtenons une borne supérieure et une borne inférieure avec le bon ordre de grandeur pour le nombre de nombres premiers de la forme p=1+m^2 + n^2 avec un chiffre manquant dans une grande base impaire b. / The theme of this thesis is to understand the distribution of prime numbers, which is a central topic in analytic number theory. More precisely, we prove Bombieri-Vinogradov type theorems for primes with a missing digit in their b-adic expansion for some large positive integer b. The proof is based on the circle method, which relies on the Fourier structure of the integers with a missing digit and the exponential sums over primes in arithmetic progressions. Combining our results with the semi-linear sieve, we obtain an upper bound and a lower bound of the correct order of magnitude for the number of primes of the form p=1+m^2+n^2 with a missing digit in a large odd base b.