O fenômeno de segregação celular ocorre tanto na estruturação inicial dos organismos (morfogênese) quanto durante a regeneração de tecidos danificados. O reordenamento celular ocorre através do agrupamento de células de um mesmo tipo. A evolução do tamanho destes agregados é objeto de experimentos e de simulações relatados na literatura há mais de vinte anos. Os resultados encontrados, no entanto, são controversos. Ao simular a segregação celular pode-se obter uma lei de potência ou uma dependência logarítmica para a evolução do tamanho desses agregados. Por outro lado, dentro de certos intervalos, os experimentos podem ser ajustados com leis de potência, mas os expoentes obtidos diferem dos sugeridos nas simulações, deixando obscura a compreensão do problema. Para entender a origem física deste fenômeno estendemos os modelos de simulações baseados em diferença de adesão para incluir as hipóteses: de diferença de velocidades, de reconhecimento celular e de motilidade de grupo. Verificamos que as proporções de células de cada tecido são determinantes na distribuição espacial final do agregado e mapeamos isto em um diagrama. Para estudar a evolução do crescimento de agregados utilizamos dois métodos: a aproximação de agregado médio e a abordagem através da equação de coagulação-fragmentação de Smoluchowski. Em ambas abordagens supomos que as células formam agregados com simetria esférica e que o mecanismo principal responsável pela segregação é a fusão binária de agregados. Usando o primeiro método obtivemos resultados analíticos que mostram os efeitos de tamanho finito tanto das células individuais quanto do tamanho do sistema sobre as leis de evolução temporal. Além disso, a partir do ajuste de dados experimentais, mostramos que os expoentes corretos das leis de potência só podem ser obtidos redefinindo-se a dependência da constante de difusão dos agregados com sua massa. Para levar em conta o efeito da flutuação de tamanho dos agregados, uma equação de Smoluchowski generalizada é proposta. A distribuição de tamanhos de agregados é obtida integrando-se esta equação e, após, esse resultado é comparado com experimentos e simulações. / The celular segregation happens both in the initial organism structuration (morphogenesis) and in tissue regeneration. Cell sorting happens by grouping of cells of the same kind. The size evolution of these cluters has been reported in experiments and simulations in the literature in the last twenty years. The results found are, nevertheless, controversial. When simulating cell segregation one may obtain a power law or a logaritmic dependency for their evolution. On the other hand, within a limited range, the experiments suggest a power law, however the exponents differ from those obtained by simulations, leaving the problem undefined. In order to understand the physical origin of this phenomenon we have extended the simulations models based on differential adhesion to include the hypotheses of diferential velocities, cell recognition and diferential group motilities. We have verified that different cell type proportions determine different final cell spatial distribution and mapped this in a diagram. In order to study the evolution of cluster growth we have used two methods: the mean cluster approach and the Smoluchowski coagulation-fragmetation equation approach. In both cases we suppose that the cells form spherical clusters and that the primary aggregating mechanism is through binary cluster fusion. Using the first method we obtain analytic results showing the effects produced by the finite size of the individual cells and of the finite syze of the system on the evolution laws. Besides, from the experimental data fitting, we have shown that the correct exponent for the power laws is obtained only if we redefine the difusion constant dependency with the cluster mass. In order to consider the cluster size fluctuation effect, a generalized Smoluchowski equation is proposed. The system cluster size distribution is obtained integrating this equation and, then, this result is compared with experiments and simulations.

Partículas auto-propelentes são usadas para simular agregados celulares em um modelo onde as forças de adesão entre as células são homogêneas e apenas as diferenças de motilidade celular são usadas como indutores da segregação. Na formulação do modelo também é incluída a tendência das células orientarem sua velocidade na direção do movimento das células vizinhas. Duas variantes do modelo são exploradas e as condições sob as quais diferenças de motilidade celular podem produzir segregação são mapeadas em um diagrama de parâmetros. Nos casos onde há segregação, ajustam-se formas funcionais para os parâmetros que medem o crescimento dos agregados com intuito de estabelecer comparação com os modelos baseados em adesão diferencial. / Self-propelled particles are used to simulated cell aggregates in a model considering homogeneous adhesion forces between cells and using only motility differences as segregation drivers. The tendency of cells to follow their neighbors is also included in the formulation. Two model variants are explored and the conditions on which motility differences may produce segregation are mapped in a parameter diagram. In the cases where segregation happens, the functional form of the parameters measuring cluster growth are determined in order to establish comparison with models based on differential adhesion.

O fenômeno de segregação celular ocorre tanto na estruturação inicial dos organismos (morfogênese) quanto durante a regeneração de tecidos danificados. O reordenamento celular ocorre através do agrupamento de células de um mesmo tipo. A evolução do tamanho destes agregados é objeto de experimentos e de simulações relatados na literatura há mais de vinte anos. Os resultados encontrados, no entanto, são controversos. Ao simular a segregação celular pode-se obter uma lei de potência ou uma dependência logarítmica para a evolução do tamanho desses agregados. Por outro lado, dentro de certos intervalos, os experimentos podem ser ajustados com leis de potência, mas os expoentes obtidos diferem dos sugeridos nas simulações, deixando obscura a compreensão do problema. Para entender a origem física deste fenômeno estendemos os modelos de simulações baseados em diferença de adesão para incluir as hipóteses: de diferença de velocidades, de reconhecimento celular e de motilidade de grupo. Verificamos que as proporções de células de cada tecido são determinantes na distribuição espacial final do agregado e mapeamos isto em um diagrama. Para estudar a evolução do crescimento de agregados utilizamos dois métodos: a aproximação de agregado médio e a abordagem através da equação de coagulação-fragmentação de Smoluchowski. Em ambas abordagens supomos que as células formam agregados com simetria esférica e que o mecanismo principal responsável pela segregação é a fusão binária de agregados. Usando o primeiro método obtivemos resultados analíticos que mostram os efeitos de tamanho finito tanto das células individuais quanto do tamanho do sistema sobre as leis de evolução temporal. Além disso, a partir do ajuste de dados experimentais, mostramos que os expoentes corretos das leis de potência só podem ser obtidos redefinindo-se a dependência da constante de difusão dos agregados com sua massa. Para levar em conta o efeito da flutuação de tamanho dos agregados, uma equação de Smoluchowski generalizada é proposta. A distribuição de tamanhos de agregados é obtida integrando-se esta equação e, após, esse resultado é comparado com experimentos e simulações. / The celular segregation happens both in the initial organism structuration (morphogenesis) and in tissue regeneration. Cell sorting happens by grouping of cells of the same kind. The size evolution of these cluters has been reported in experiments and simulations in the literature in the last twenty years. The results found are, nevertheless, controversial. When simulating cell segregation one may obtain a power law or a logaritmic dependency for their evolution. On the other hand, within a limited range, the experiments suggest a power law, however the exponents differ from those obtained by simulations, leaving the problem undefined. In order to understand the physical origin of this phenomenon we have extended the simulations models based on differential adhesion to include the hypotheses of diferential velocities, cell recognition and diferential group motilities. We have verified that different cell type proportions determine different final cell spatial distribution and mapped this in a diagram. In order to study the evolution of cluster growth we have used two methods: the mean cluster approach and the Smoluchowski coagulation-fragmetation equation approach. In both cases we suppose that the cells form spherical clusters and that the primary aggregating mechanism is through binary cluster fusion. Using the first method we obtain analytic results showing the effects produced by the finite size of the individual cells and of the finite syze of the system on the evolution laws. Besides, from the experimental data fitting, we have shown that the correct exponent for the power laws is obtained only if we redefine the difusion constant dependency with the cluster mass. In order to consider the cluster size fluctuation effect, a generalized Smoluchowski equation is proposed. The system cluster size distribution is obtained integrating this equation and, then, this result is compared with experiments and simulations.

Partículas auto-propelentes são usadas para simular agregados celulares em um modelo onde as forças de adesão entre as células são homogêneas e apenas as diferenças de motilidade celular são usadas como indutores da segregação. Na formulação do modelo também é incluída a tendência das células orientarem sua velocidade na direção do movimento das células vizinhas. Duas variantes do modelo são exploradas e as condições sob as quais diferenças de motilidade celular podem produzir segregação são mapeadas em um diagrama de parâmetros. Nos casos onde há segregação, ajustam-se formas funcionais para os parâmetros que medem o crescimento dos agregados com intuito de estabelecer comparação com os modelos baseados em adesão diferencial. / Self-propelled particles are used to simulated cell aggregates in a model considering homogeneous adhesion forces between cells and using only motility differences as segregation drivers. The tendency of cells to follow their neighbors is also included in the formulation. Two model variants are explored and the conditions on which motility differences may produce segregation are mapped in a parameter diagram. In the cases where segregation happens, the functional form of the parameters measuring cluster growth are determined in order to establish comparison with models based on differential adhesion.

Partículas auto-propelentes são usadas para simular agregados celulares em um modelo onde as forças de adesão entre as células são homogêneas e apenas as diferenças de motilidade celular são usadas como indutores da segregação. Na formulação do modelo também é incluída a tendência das células orientarem sua velocidade na direção do movimento das células vizinhas. Duas variantes do modelo são exploradas e as condições sob as quais diferenças de motilidade celular podem produzir segregação são mapeadas em um diagrama de parâmetros. Nos casos onde há segregação, ajustam-se formas funcionais para os parâmetros que medem o crescimento dos agregados com intuito de estabelecer comparação com os modelos baseados em adesão diferencial. / Self-propelled particles are used to simulated cell aggregates in a model considering homogeneous adhesion forces between cells and using only motility differences as segregation drivers. The tendency of cells to follow their neighbors is also included in the formulation. Two model variants are explored and the conditions on which motility differences may produce segregation are mapped in a parameter diagram. In the cases where segregation happens, the functional form of the parameters measuring cluster growth are determined in order to establish comparison with models based on differential adhesion.

O fenômeno de segregação celular ocorre tanto na estruturação inicial dos organismos (morfogênese) quanto durante a regeneração de tecidos danificados. O reordenamento celular ocorre através do agrupamento de células de um mesmo tipo. A evolução do tamanho destes agregados é objeto de experimentos e de simulações relatados na literatura há mais de vinte anos. Os resultados encontrados, no entanto, são controversos. Ao simular a segregação celular pode-se obter uma lei de potência ou uma dependência logarítmica para a evolução do tamanho desses agregados. Por outro lado, dentro de certos intervalos, os experimentos podem ser ajustados com leis de potência, mas os expoentes obtidos diferem dos sugeridos nas simulações, deixando obscura a compreensão do problema. Para entender a origem física deste fenômeno estendemos os modelos de simulações baseados em diferença de adesão para incluir as hipóteses: de diferença de velocidades, de reconhecimento celular e de motilidade de grupo. Verificamos que as proporções de células de cada tecido são determinantes na distribuição espacial final do agregado e mapeamos isto em um diagrama. Para estudar a evolução do crescimento de agregados utilizamos dois métodos: a aproximação de agregado médio e a abordagem através da equação de coagulação-fragmentação de Smoluchowski. Em ambas abordagens supomos que as células formam agregados com simetria esférica e que o mecanismo principal responsável pela segregação é a fusão binária de agregados. Usando o primeiro método obtivemos resultados analíticos que mostram os efeitos de tamanho finito tanto das células individuais quanto do tamanho do sistema sobre as leis de evolução temporal. Além disso, a partir do ajuste de dados experimentais, mostramos que os expoentes corretos das leis de potência só podem ser obtidos redefinindo-se a dependência da constante de difusão dos agregados com sua massa. Para levar em conta o efeito da flutuação de tamanho dos agregados, uma equação de Smoluchowski generalizada é proposta. A distribuição de tamanhos de agregados é obtida integrando-se esta equação e, após, esse resultado é comparado com experimentos e simulações. / The celular segregation happens both in the initial organism structuration (morphogenesis) and in tissue regeneration. Cell sorting happens by grouping of cells of the same kind. The size evolution of these cluters has been reported in experiments and simulations in the literature in the last twenty years. The results found are, nevertheless, controversial. When simulating cell segregation one may obtain a power law or a logaritmic dependency for their evolution. On the other hand, within a limited range, the experiments suggest a power law, however the exponents differ from those obtained by simulations, leaving the problem undefined. In order to understand the physical origin of this phenomenon we have extended the simulations models based on differential adhesion to include the hypotheses of diferential velocities, cell recognition and diferential group motilities. We have verified that different cell type proportions determine different final cell spatial distribution and mapped this in a diagram. In order to study the evolution of cluster growth we have used two methods: the mean cluster approach and the Smoluchowski coagulation-fragmetation equation approach. In both cases we suppose that the cells form spherical clusters and that the primary aggregating mechanism is through binary cluster fusion. Using the first method we obtain analytic results showing the effects produced by the finite size of the individual cells and of the finite syze of the system on the evolution laws. Besides, from the experimental data fitting, we have shown that the correct exponent for the power laws is obtained only if we redefine the difusion constant dependency with the cluster mass. In order to consider the cluster size fluctuation effect, a generalized Smoluchowski equation is proposed. The system cluster size distribution is obtained integrating this equation and, then, this result is compared with experiments and simulations.

Este trabalho apresenta uma generalização do modelo mínimo de movimento coletivo de Vicsek-Gregoire adaptado para a descrição da dinâmica celular de organismos pluricelulares de dois tipos de tecidos, como encontrado na Hydra Vulgaris. O trabalho se divide em duas partes. Na primeira é feita uma revisão histórica dos experimentos biológicos sobre o assunto assim como dos principais modelos matemáticos usados para descrever o problema. Ao final é apresentado o novo modelo mínimo de movimento coletivo (modelo de animóides) que será usado no restante da dissertação. Na segunda parte é feita uma exploração dos aspectos do modelo. Primeiro é construído um diagrama de fases para uma população homogênea de animóides (partículas), na qual se encontrou quatro fases distintas: gasosa, líquida, sólida e a de movimento coletivo. Também foi feito um estudo mais detalhado da difusão interna dos animóides dentro de um agregado, incluindo casos heterogêneos, onde se encontrou a existência de uma aparente superdifusão, assim como tempos de confinamento, para certos conjuntos de parâmetros. Finalmente ao final da segunda parte o modelo foi aplicado à simulação da segregação celular a partir de dois tecidos misturados. Além de se obter resultados que concordam perfeitamente com a principal hipótese biológica sobre o fenômeno, também foi estudado o papel que o movimento coletivo das células desempenha na segregação dos tecidos. / This work presents a generalization of the minimal collective movement model of Vicsek-Gregoire adapted for the description of the dynamics of multi-cellular organisms with two kinds of tissues, like Hydra Vulgaris. This work is composed of two main parts. In the first one an historical review is made about the biological experiments concerning the subject and also about the main mathematical models used for de description of the problem. At the end a new minimal collective movement model (boids model), which will be used in the rest of this dissertation, is presented. In the second part the model is explored in a more systematically way. First a phase diagram is build for an homogeneous population of boids (particles) where is found the existence of four distinct phases: gas, liquid, solid and also the collective movement phase. A study of the internal diffusion of boids inside a cluster is also made for both homogeneous and heterogeneous cases. An apparent super-diffusion, as also a trap time, is founded for certain sets of parameters. Finally, at the end of the second part the model is used for the simulation of the tissue segregation phenomena. The results obtained are in perfect agreement with the main biological hypothesis, and a study of the role of the collective movement in the segregation dynamics is also made.

Este trabalho apresenta uma generalização do modelo mínimo de movimento coletivo de Vicsek-Gregoire adaptado para a descrição da dinâmica celular de organismos pluricelulares de dois tipos de tecidos, como encontrado na Hydra Vulgaris. O trabalho se divide em duas partes. Na primeira é feita uma revisão histórica dos experimentos biológicos sobre o assunto assim como dos principais modelos matemáticos usados para descrever o problema. Ao final é apresentado o novo modelo mínimo de movimento coletivo (modelo de animóides) que será usado no restante da dissertação. Na segunda parte é feita uma exploração dos aspectos do modelo. Primeiro é construído um diagrama de fases para uma população homogênea de animóides (partículas), na qual se encontrou quatro fases distintas: gasosa, líquida, sólida e a de movimento coletivo. Também foi feito um estudo mais detalhado da difusão interna dos animóides dentro de um agregado, incluindo casos heterogêneos, onde se encontrou a existência de uma aparente superdifusão, assim como tempos de confinamento, para certos conjuntos de parâmetros. Finalmente ao final da segunda parte o modelo foi aplicado à simulação da segregação celular a partir de dois tecidos misturados. Além de se obter resultados que concordam perfeitamente com a principal hipótese biológica sobre o fenômeno, também foi estudado o papel que o movimento coletivo das células desempenha na segregação dos tecidos. / This work presents a generalization of the minimal collective movement model of Vicsek-Gregoire adapted for the description of the dynamics of multi-cellular organisms with two kinds of tissues, like Hydra Vulgaris. This work is composed of two main parts. In the first one an historical review is made about the biological experiments concerning the subject and also about the main mathematical models used for de description of the problem. At the end a new minimal collective movement model (boids model), which will be used in the rest of this dissertation, is presented. In the second part the model is explored in a more systematically way. First a phase diagram is build for an homogeneous population of boids (particles) where is found the existence of four distinct phases: gas, liquid, solid and also the collective movement phase. A study of the internal diffusion of boids inside a cluster is also made for both homogeneous and heterogeneous cases. An apparent super-diffusion, as also a trap time, is founded for certain sets of parameters. Finally, at the end of the second part the model is used for the simulation of the tissue segregation phenomena. The results obtained are in perfect agreement with the main biological hypothesis, and a study of the role of the collective movement in the segregation dynamics is also made.

Este trabalho apresenta uma generalização do modelo mínimo de movimento coletivo de Vicsek-Gregoire adaptado para a descrição da dinâmica celular de organismos pluricelulares de dois tipos de tecidos, como encontrado na Hydra Vulgaris. O trabalho se divide em duas partes. Na primeira é feita uma revisão histórica dos experimentos biológicos sobre o assunto assim como dos principais modelos matemáticos usados para descrever o problema. Ao final é apresentado o novo modelo mínimo de movimento coletivo (modelo de animóides) que será usado no restante da dissertação. Na segunda parte é feita uma exploração dos aspectos do modelo. Primeiro é construído um diagrama de fases para uma população homogênea de animóides (partículas), na qual se encontrou quatro fases distintas: gasosa, líquida, sólida e a de movimento coletivo. Também foi feito um estudo mais detalhado da difusão interna dos animóides dentro de um agregado, incluindo casos heterogêneos, onde se encontrou a existência de uma aparente superdifusão, assim como tempos de confinamento, para certos conjuntos de parâmetros. Finalmente ao final da segunda parte o modelo foi aplicado à simulação da segregação celular a partir de dois tecidos misturados. Além de se obter resultados que concordam perfeitamente com a principal hipótese biológica sobre o fenômeno, também foi estudado o papel que o movimento coletivo das células desempenha na segregação dos tecidos. / This work presents a generalization of the minimal collective movement model of Vicsek-Gregoire adapted for the description of the dynamics of multi-cellular organisms with two kinds of tissues, like Hydra Vulgaris. This work is composed of two main parts. In the first one an historical review is made about the biological experiments concerning the subject and also about the main mathematical models used for de description of the problem. At the end a new minimal collective movement model (boids model), which will be used in the rest of this dissertation, is presented. In the second part the model is explored in a more systematically way. First a phase diagram is build for an homogeneous population of boids (particles) where is found the existence of four distinct phases: gas, liquid, solid and also the collective movement phase. A study of the internal diffusion of boids inside a cluster is also made for both homogeneous and heterogeneous cases. An apparent super-diffusion, as also a trap time, is founded for certain sets of parameters. Finally, at the end of the second part the model is used for the simulation of the tissue segregation phenomena. The results obtained are in perfect agreement with the main biological hypothesis, and a study of the role of the collective movement in the segregation dynamics is also made.