Nós obtemos o hamiltoniano associado ao modelo de oito vértices simétrico, tomando o limite de tempo contínuo em um modelo equivalente (modelo de Ashkin-Teller). O resultado é um hamiltoniano de Heisenberg com coeficientes Jx , Jy e Jz idênticos àqueles encontrados por Sutherland, na região crítica. A mudança nos operadores é acompanhada explicitamente e a relação entre o operador \"crossover\" do modelo de Ashkin-Teller e o operador energia do modelo de Baxter é obtida de forma transparente. / We obtain the associated Harniltonian for the symmetric eight-vertex model by taking the time-continuous limit in an equivalent Ashkin-Teller model. The result is a Heisenberg Hamiltonian with coefficients Jx , Jy e Jz identical to those found by Sutherland for choices of the parameters a, b, c and d that bring the model close to the transition. The change in the operators is accomplished explicitly, the relation between the crossover operator for the Ashkin-Teller model and the energy operator for the eight-vertex model being obtained in a transparent form.

Nós obtemos o hamiltoniano associado ao modelo de oito vértices simétrico, tomando o limite de tempo contínuo em um modelo equivalente (modelo de Ashkin-Teller). O resultado é um hamiltoniano de Heisenberg com coeficientes Jx , Jy e Jz idênticos àqueles encontrados por Sutherland, na região crítica. A mudança nos operadores é acompanhada explicitamente e a relação entre o operador \"crossover\" do modelo de Ashkin-Teller e o operador energia do modelo de Baxter é obtida de forma transparente. / We obtain the associated Harniltonian for the symmetric eight-vertex model by taking the time-continuous limit in an equivalent Ashkin-Teller model. The result is a Heisenberg Hamiltonian with coefficients Jx , Jy e Jz identical to those found by Sutherland for choices of the parameters a, b, c and d that bring the model close to the transition. The change in the operators is accomplished explicitly, the relation between the crossover operator for the Ashkin-Teller model and the energy operator for the eight-vertex model being obtained in a transparent form.

Made available in DSpace on 2014-12-17T15:14:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 FranciscoAPP.pdf: 1034371 bytes, checksum: b3ff17842c3ee8ab8282b0e829786698 (MD5) Previous issue date: 2007-12-14 / The usual Ashkin-Teller (AT) model is obtained as a superposition of two Ising models coupled through a four-spin interaction term. In two dimension the AT model displays a line of fixed points along which the exponents vary continuously. On this line the model becomes soluble via a mapping onto the Baxter model. Such richness of multicritical behavior led Grest and Widom to introduce the N-color Ashkin-Teller model (N-AT). Those authors made an extensive analysis of the model thus introduced both in the isotropic as well as in the anisotropic cases by several analytical and computational methods. In the present work we define a more general version of the 3-color Ashkin-Teller model by introducing a 6-spin interaction term. We investigate the corresponding symmetry structure presented by our model in conjunction with an analysis of possible phase diagrams obtained by real space renormalization group techniques. The phase diagram are obtained at finite temperature in the region where the ferromagnetic behavior is predominant. Through the use of the transmissivities concepts we obtain the recursion relations in some periodical as well as aperiodic hierarchical lattices. In a first analysis we initially consider the two-color Ashkin-Teller model in order to obtain some results with could be used as a guide to our main purpose. In the anisotropic case the model was previously studied on the Wheatstone bridge by Claudionor Bezerra in his Master Degree dissertation. By using more appropriated computational resources we obtained isomorphic critical surfaces described in Bezerra's work but not properly identified. Besides, we also analyzed the isotropic version in an aperiodic hierarchical lattice, and we showed how the geometric fluctuations are affected by such aperiodicity and its consequences in the corresponding critical behavior. Those analysis were carried out by the use of appropriated definitions of transmissivities. Finally, we considered the modified 3-AT model with a 6-spin couplings. With the inclusion of such term the model becomes more attractive from the symmetry point of view. For some hierarchical lattices we derived general recursion relations in the anisotropic version of the model (3-AAT), from which case we can obtain the corresponding equations for the isotropic version (3-IAT). The 3-IAT was studied extensively in the whole region where the ferromagnetic couplings are dominant. The fixed points and the respective critical exponents were determined. By analyzing the attraction basins of such fixed points we were able to find the three-parameter phase diagram (temperature ? 4-spin coupling ? 6-spin coupling). We could identify fixed points corresponding to the universality class of Ising and 4- and 8-state Potts model. We also obtained a fixed point which seems to be a sort of reminiscence of a 6-state Potts fixed point as well as a possible indication of the existence of a Baxter line. Some unstable fixed points which do not belong to any aforementioned q-state Potts universality class was also found / O modelo Ashkin-Teller (AT) usual consiste na superposi??o de dois modelos de Ising acoplados por um termo de intera??o de quatro spins. Em duas dimens?es o modelo AT apresenta uma linha de pontos fixos com expoentes cr?ticos variando continuamente, sobre a qual ele se torna sol?vel atrav?s de um mapeamento no modelo Baxter. Motivado por esta riqueza de comportamento multicr?tico em duas dimens?es, Grest e Widom introduziram e estudaram o modelo Ashkin-Teller de N cores (AT-N), nas vers?es anisotr?pica (AAT-N) e isotr?pica (IAT-N), atrav?s de v?rios m?todos anal?ticos e computacionais. Neste trabalho apresentamos uma vers?o mais geral do modelo Ashkin-Teller de 3 cores (AT-3) onde e introduzido um acoplamento de 6 spins. Estudamos o modelo atrav?s da an?lise da estrutura de suas simetrias, seguido de an?lises de poss?veis diagramas de fases determinados por t?cnicas de grupo de renormaliza??o no espa?o real. Esses diagramas s?o obtidos em temperatura finita na regi?o onde predomina o comportamento ferromagn?tico. Com o aux?lio do conceito de transmissividade obtemos as rela??es de recorr?ncia em redes hier?rquicas com liga??es peri?dicas e quasi-peri?dicas. Numa an?lise preliminar, consideramos inicialmente o modelo Ashkin-Teller de duas cores, a fim de obter resultados que possam servir de guia ao nosso objetivo principal. No caso anisotr?pico (AAT-2), o modelo foi tratado na Ponte de Wheatstone, conforme j? havia sido estudado por Claudionor Bezerra na sua disserta??o de mestrado. Usando ferramentas computacionais mais adequadas, encontramos superf?cies cr?ticas isomorfas previstas no trabalho citado, mas ainda n?o identificadas explicitamente. Al?m disso, analisamos a vers?o isotr?pica (IAT-2), em uma rede hier?rquica aperi?dica. Mostramos,neste caso, como a aperiodicidade da rede afeta as flutua??es geom?tricas, causando mudan?as no comportamento cr?tico do modelo. Essas an?lises foram feitas utilizando defini??es apropriadas de transmissividade. Em seguida passamos ao estudo do modelo Ashkin-Teller de 3 cores onde, al?m do acoplamento de 4 spins, introduzimos um acoplamento de 6 spins, que torna o modelo mais atraente do ponto de vista das simetrias que ele passa a apresentar. Calculamos rela??es de recorr?ncias gerais para o modelo na vers?o anisotr?pica (AAT-3), de onde podemos obter o caso particular do sistema isotr?pico (IAT-3), em certas redes hier?rquicas. A vers?o IAT-3 do modelo foi estudada detalhadamente na regi?o onde predominam as intera??es ferromagn?ticas. Determinamos os pontos fixos e respectivos expoentes cr?ticos. Analisando as bacias de atra??o desses pontos fixos, conseguimos obter o diagrama de fases tri-dimensional (temperatura ? acoplamento de quatro spins ? acoplamento de seis spins). Identificamos pontos fixos do tipo Ising e de Potts de 4 e de 8 estados, al?m de ind?cios de um ponto fixo reminiscente do Potts de 6 estados e uma possibilidade de uma linha de Baxter. Identificamos tamb?m pontos fixos cr?ticos inst?veis que n?o pertencem a nenhuma classe de universalidade identificada com o modelo de Potts q estados

A teoria de campo médio para o modelo de Ashkin-Teller com interações ferromagnéticas de longo alcance na presença de campos magnéticos aleatórios foi desenvolvida. Isso foi conseguido através do uso do truque de réplicas para a obtenção da energia livre e do estudo analítico das equações integrais acopladas dos parâmetros de ordem, da estabilidade de suas soluções e das suas expansões para T &#8804 Tc. Inicialmente, foram determinadas as expressões gerais das funções termodinâmicas do modelo no caso em que existiam três campos magnéticos aleatórios com distribuições gaussianas. Em seguida, foi examinado o caso particular do modelo com um só campo magnético aleatório na direção de Z = &#8249 &#948 S &#8250. A estratégia adotada se mostrou poderosa pois possibilitou a caracterização detalhada do diagrama de fases com várias superfícies de coexistência e das linhas de pontos críticos. As equações integrais das funções termodinâmicas desse caso particular foram discutidas e resolvidas numericamente para valores especiais das constantes de interação e da variância. Para o caso particular do modelo na presença de campos magnéticos aleatórios nas direções &#8249 S &#8250 e &#8249 &#948 &#8250, foram determinadas e discutidas as expressões das funções termodinâmicas. Foram também obtidas as equações das superfícies de instabilidade da solução paramagnética. Foi provado que a transição entre as fases paramagnética e de Baxter é sempre de primeira ordem. Outro resultado original da tese foi a verificação da existência da simetria de dilatação e contração do modelo de Potts na presença de campos magnéticos aleatórios. Essa simetria permite que o estudo da energia livre no intervalo q&#8712 (1,2) forneça o comportamento termodinâmico do sistema para todo q>2. / The meanfield theory of the long range Ashkin-Teller model in random fields was developed. This was obtained by using the replica trick and the study of the coupled integral equations for the order parameters, the stability of their solutions, and their expansions for T &#8804 Tc. Inicially, the expressions of the thermodynamic functions for the model in three random fields with Gaussian distributiuons were determined. After this, it was examined the particular case of the model with only one random field in the Z = &#8249 &#948 S &#8250 direction. The strategy revealed itself powerful by the detailed characterization of the phase diagram with several coexistence surfaces and lines of critical points. The integral equations of the thermodynamic functions for this particular case were discussed and numerically solved for special values of the interaction constants and field distribution variance. For the particular case of the model with random fields in the &#8249 S &#8250 and &#8249 &#948 &#8250, directions, the expressions were also determined and discussed. The equations of the instability surfaces for the paramagnetic solution were obtained, and it was proved that the para-Baxter transition line is always of first order. Another original result of the thesis was the verification of the the existence of the dilatation and contration symmetry in the Potts model with random fields. This symmetry permits that the study of the free energy in the q&#8712(1,2) interval supplies the thermodynamics behavior of the system for q>2.

Made available in DSpace on 2014-12-17T15:14:51Z (GMT). No. of bitstreams: 1 RobertoTGO_DISSERT.pdf: 394069 bytes, checksum: fbb8faf7e24cc92335302e442b92ec43 (MD5) Previous issue date: 2010-02-22 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient?fico e Tecnol?gico / In this work we study the phase transitions of the ferromagnetic three-color Ashkin-Teller Model in the hierarquical lattice generated by the Wheatstone bridge using real space renormalization group approach. With such technique we obtain the phase diagram and its critical points with respective critical exponents v. This model presents four phases: ferromagnetic, paramagnetic and two intermediates. Nine critical points were found, three of which are of Ising model type, three are of four states Potts model type, one is of eight states Potts model type and the last two which do not correspond to any Potts model with integer number of states. iv / Neste trabalho estudamos as transi??es de fase do modelo de Ashkin-Teller de tr?s cores ferromagn?tico na rede hier?rquica ponte de Wheatstone utilizando o m?todo de grupo de renormaliza??o no espa?o real. Com a utiliza??o desta t?cnica obtemos o diagrama de fases e seus pontos cr?ıticos com respectivos expoentes cr?ticos v. O modelo apresenta quatro fases: ferromagn?tica, paramagn?tica e duas intermedi?rias. Nove pontos cr?ıticos foram encontrados, sendo tr?s de classe de universalidade Ising, tr?s Potts de quatro estados, um Potts de oito estados e dois com classe de universalidade n?o correspondente a nenhum Potts com n?mero inteiro de estados

A teoria de campo médio para o modelo de Ashkin-Teller com interações ferromagnéticas de longo alcance na presença de campos magnéticos aleatórios foi desenvolvida. Isso foi conseguido através do uso do truque de réplicas para a obtenção da energia livre e do estudo analítico das equações integrais acopladas dos parâmetros de ordem, da estabilidade de suas soluções e das suas expansões para T &#8804 Tc. Inicialmente, foram determinadas as expressões gerais das funções termodinâmicas do modelo no caso em que existiam três campos magnéticos aleatórios com distribuições gaussianas. Em seguida, foi examinado o caso particular do modelo com um só campo magnético aleatório na direção de Z = &#8249 &#948 S &#8250. A estratégia adotada se mostrou poderosa pois possibilitou a caracterização detalhada do diagrama de fases com várias superfícies de coexistência e das linhas de pontos críticos. As equações integrais das funções termodinâmicas desse caso particular foram discutidas e resolvidas numericamente para valores especiais das constantes de interação e da variância. Para o caso particular do modelo na presença de campos magnéticos aleatórios nas direções &#8249 S &#8250 e &#8249 &#948 &#8250, foram determinadas e discutidas as expressões das funções termodinâmicas. Foram também obtidas as equações das superfícies de instabilidade da solução paramagnética. Foi provado que a transição entre as fases paramagnética e de Baxter é sempre de primeira ordem. Outro resultado original da tese foi a verificação da existência da simetria de dilatação e contração do modelo de Potts na presença de campos magnéticos aleatórios. Essa simetria permite que o estudo da energia livre no intervalo q&#8712 (1,2) forneça o comportamento termodinâmico do sistema para todo q>2. / The meanfield theory of the long range Ashkin-Teller model in random fields was developed. This was obtained by using the replica trick and the study of the coupled integral equations for the order parameters, the stability of their solutions, and their expansions for T &#8804 Tc. Inicially, the expressions of the thermodynamic functions for the model in three random fields with Gaussian distributiuons were determined. After this, it was examined the particular case of the model with only one random field in the Z = &#8249 &#948 S &#8250 direction. The strategy revealed itself powerful by the detailed characterization of the phase diagram with several coexistence surfaces and lines of critical points. The integral equations of the thermodynamic functions for this particular case were discussed and numerically solved for special values of the interaction constants and field distribution variance. For the particular case of the model with random fields in the &#8249 S &#8250 and &#8249 &#948 &#8250, directions, the expressions were also determined and discussed. The equations of the instability surfaces for the paramagnetic solution were obtained, and it was proved that the para-Baxter transition line is always of first order. Another original result of the thesis was the verification of the the existence of the dilatation and contration symmetry in the Potts model with random fields. This symmetry permits that the study of the free energy in the q&#8712(1,2) interval supplies the thermodynamics behavior of the system for q>2.