Dans cette thèse nous présentons la formalisation de trois résultats principaux que sont la forme normale de Jordan d’une matrice, le théorème de Bolzano-Weierstraß et le théorème de Perron-Frobenius. Pour la formalisation de la forme normale de Jordan nous introduisons différents concepts d’algèbre linéaire tel que les matrices diagonales par blocs, les matrices compagnes, les facteurs invariants, ... Ensuite nous définissons et développons une théorie sur les espaces topologiques et métriques pour la formalisation du théorème de Bolzano-Weierstraß. La formalisation du théorème de Perron-Frobenius n’est pas terminée. La preuve de ce théorème utilise des résultats d’algèbre linéaire, mais aussi de topologie. Nous montrerons comment les précédents résultats seront réutilisés. / In this thesis we present the formalization of three principal results that are the Jordan normal form of a matrix, the Bolzano-Weierstraß theorem, and the Perron-Frobenius theorem. To formalize the Jordan normal form, we introduce many concepts of linear algebra like block diagonal matrices, companion matrices, invariant factors, ... The formalization of Bolzano-Weierstraß theorem needs to develop some theory about topological space and metric space. The Perron-Frobenius theorem is not completly formalized. The proof of this theorem uses both algebraic and topological results. We will show how we reuse the previous results.

Ce document donne un panorama de la représentation des définitions inductives dans différents assistants de preuve en logique d'ordre supérieur, théorie des ensembles et théorie des types. Il présente, étudie et justifie les choix faits dans le système Coq.

Dans le domaine des systèmes informatisés où la fiabilité est la première priorité, les méthodes formelles ont prouvé leur efficacité pour la conception de logiciels sûrs. La dépendance à de tels systèmes augmente, et les contraintes rencontrées se font plus diverses et précises, en particulier les contraintes temporelles. Certaines méthodes formelles, notamment la méthode B, rendent la conception malaisée sous de telles contraintes, puisqu'elles n'ont pas été prévues pour cela à l'origine.<br /><br />Nous nous proposons donc d'étendre la méthode B pour lui permettre de spécifier et valider des systèmes à contraintes temporelles complexes. Nous utilisons pour ce faire des calculs de durées pour exprimer la sémantique du langage B et en déduire une extension conservative qui permet de l'utiliser à la fois dans son cadre d'origine et dans le cadre de systèmes à contraintes temporelles.<br /><br />Nous nous penchons également sur le problème de l'utilisation d'un outil de preuve générique pour valider des formules de calcul des durées. La généricité de ce type d'outil répond à la multiplication des méthodes formelles, mais pose le problème de l'intégration des fondations mathématiques de ces méthodes à un outil générique. Nous proposons donc d'étudier la mise en oeuvre en plongement léger du calcul des durées dans l'assistant de preuve Coq. Nous en déduisons un retour sur expérience de la définition d'une logique modale particulière dans un outil à vocation générique.

Dans cette thèse nous présentons la formalisation de trois résultats principaux que sont la forme normale de Jordan d'une matrice, le théorème de Bolzano-Weierstraß et le théorème de Perron-Frobenius. Pour la formalisation de la forme normale de Jordan nous introduisons différents concepts d'algèbre linéaire tel que les matrices diagonales par blocs, les matrices compagnes, les facteurs invariants, ... Ensuite nous définissons et développons une théorie sur les espaces topologiques et métriques pour la formalisation du théorème de Bolzano-Weierstraß. La formalisation du théorème de Perron-Frobenius n'est pas terminée. La preuve de ce théorème utilise des résultats d'algèbre linéaire, mais aussi de topologie. Nous montrerons comment les précédents résultats seront réutilisés.

Concevoir et implanter des programmes parallèles est une tâche complexe, sujette aux erreurs. La vérification des programmes parallèles est également plus difficile que celle des programmes séquentiels. Pour permettre le développement et la preuve de correction de programmes parallèles, nous proposons de combiner le langage parallèle fonctionnel quasi-synchrone BSML, les squelettes algorithmiques - qui sont des fonctions d’ordre supérieur sur des structures de données réparties offrant une abstraction du parallélisme – et l’assistant de preuve Coq, dont le langage de spécification est suffisamment riche pour écrire des programmes fonctionnels purs et leurs propriétés. Nous proposons un plongement des primitives BSML dans la logique de Coq sous une forme modulaire adaptée à l’extraction de programmes. Ainsi, nous pouvons écrire dans Coq des programmes BSML, raisonner dessus, puis les extraire et les exécuter en parallèle. Pour faciliter le raisonnement sur ceux-ci, nous formalisons le lien entre programmes parallèles, manipulant des structures de données distribuées, et les spécifications, manipulant des structures séquentielles. Nous prouvons ainsi la correction d’une implantation du squelette algorithmique BH, un squelette adapté au traitement de listes réparties dans le modèle de parallélisme quasi synchrone. Pour un ensemble d’applications partant d’une spécification d’un problème sous forme d’un programme séquentiel simple, nous dérivons une instance de nos squelettes, puis nous extrayons un programme BSML avant de l’exécuter sur des machines parallèles. / Parallel program design and implementation is a complex, error prone task. Verifying parallel programs is also harder than verifying sequential ones. To ease the development and the proof of correction of parallel programs, we propose to combine the functional bulk synchronous parallel language BSML; the algorithmic skeleton, that are higher order function on distributed data structures which offer an abstraction of the parallelism ; and the Coq proof assistant, who’s specification language is rich enough to write purely functional programs together with their properties. We propose an embedding of BSML primitives in the Coq logic in a modular form, adapted to program extraction. So we can write BSML programs in Coq, reason on them, extract them and then execute them in parallel. To ease the specification of these programs, we formalise the relation between parallel programs using distributed data structures and specification using sequential data structure. We prove the correctness of an implementation of the BH skeleton. This skeleton is devoted to the treatment of distributed lists in the BSP model. For a set of application, starting from a sequential specification of a problem, we derive an instance of our skeletons, then extract a BSML program which is executed on parallel machines.

Le test à base de modèle, en particulier test basé sur des assistants à la preuve, réduit de façon transparente l'écart entre la théorie, le modèle formel, et l’implémentation d'un système informatique. Actuellement, les techniques de tests offrent une possibilité d'interagir directement avec de "vrais" systèmes : via différentes propriétés formelles, les tests peuvent être dérivés et exécutés sur le système sous test. Convenablement, l'ensemble du processus peut être entièrement automatisé. Le but de cette thèse est de créer un environnement de test de séquence à base de modèle pour les programmes séquentiels et concurrents. Tout d'abord une théorie générique sur les monades est présentée, qui est indépendante de tout programme ou système informatique. Il se trouve que notre théorie basée sur les monades est assez expressive pour couvrir tous les comportements et les concepts de tests. En particulier, nous considérons ici : les exécutions séquentielles, les exécutions concurrentes, les exécutions synchronisées, les exécutions avec interruptions. Sur le plan conceptuel, la théorie apporte des notions comme la notion raffinement de test, les cas de tests abstraits, les cas de test concrets, les oracles de test, les scénarios de test, les données de tests, les pilotes de tests, les relations de conformités et les critères de couverture dans un cadre théorique et pratique. Dans ce cadre, des règles de raffinement de comportements et d'exécution symbolique sont élaborées pour le cas générique, puis affinées et utilisées pour des systèmes complexes spécifique. Comme application pour notre théorie, nous allons instancier notre environnement par un modèle séquentiel d'un microprocesseur appelé VAMP développé au cours du projet Verisoft. Pour le cas d'étude sur la concurrence, nous allons utiliser notre environnement pour modéliser et tester l'API IPC d'un système d'exploitation industriel appelé PikeOS.Notre environnement est implémenté en Isabelle / HOL. Ainsi, notre approche bénéficie directement des modèles, des outils et des preuves formelles de ce système. / Formal methods can be understood as the art of applying mathematical reasoningto the modeling, analysis and verification of computer systems. Three mainverification approaches can be distinguished: verification based on deductive proofs,model checking and model-based testing.Model-based testing, in particular in its radical form of theorem proving-based testingcite{brucker.ea:2012},bridges seamlessly the gap between the theory, the formal model, and the implementationof a system. Actually,theorem proving based testing techniques offer a possibility to directly interactwith "real" systems: via differentformal properties, tests can be derived and executed on the system under test.Suitably supported, the entire process can fully automated.The purpose of this thesis is to create a model-based sequence testing environmentfor both sequential and concurrent programs. First a generic testing theory basedon monads is presented, which is independent of any concrete program or computersystem. It turns out that it is still expressive enough to cover all common systembehaviours and testing concepts. In particular, we consider here: sequential executions,concurrent executions, synchronised executions, executions with abort.On the conceptual side, it brings notions like test refinements,abstract test cases, concrete test cases,test oracles, test scenarios, test data, test drivers, conformance relations andcoverage criteria into one theoretical and practical framework.In this framework, both behavioural refinement rules and symbolic executionrules are developed for the generic case and then refined and used for specificcomplex systems. As an application, we will instantiate our framework by an existingsequential model of a microprocessor called VAMP developed during the Verisoft-Project.For the concurrent case, we will use our framework to model and test the IPC API of areal industrial operating system called PikeOS.Our framework is implemented in Isabelle/HOL. Thus, our approach directly benefitsfrom the existing models, tools, and formal proofs in this system.

L’intérêt porté aux algorithmes probabilistes est, entre autres,dû à leur simplicité. Cependant, leur analyse peut devenir très complexeet ce particulièrement dans le domaine du distribué. Nous mettons en évidencedes algorithmes, optimaux en terme de complexité en bits résolvantles problèmes du MIS et du couplage maximal dans les anneaux, qui suiventle même schéma. Nous élaborons une méthode qui unifie les résultatsde bornes inférieures pour la complexité en bits pour les problèmes duMIS, du couplage maximal et de la coloration. La complexité de ces analysespouvant facilement mener à l’erreur et l’existence de nombreux modèlesdépendant d’hypothèses implicites nous ont motivés à modéliserde façon formelle les algorithmes distribués probabilistes correspondant ànotre modèle (par passage de messages, anonyme et synchrone), en vuede prouver formellement des propriétés relatives à leur analyse. Pour cela,nous développons une bibliothèque, RDA, basée sur l’assistant de preuveCoq. / Probabilistic algorithms are simple to formulate. However, theiranalysis can become very complex, especially in the field of distributedcomputing. We present algorithms - optimal in terms of bit complexityand solving the problems of MIS and maximal matching in rings - that followthe same scheme.We develop a method that unifies the bit complexitylower bound results to solve MIS, maximal matching and coloration problems.The complexity of these analyses, which can easily lead to errors,together with the existence of many models depending on implicit assumptionsmotivated us to formally model the probabilistic distributed algorithmscorresponding to our model (message passing, anonymous andsynchronous). Our aim is to formally prove the properties related to theiranalysis. For this purpose, we develop a library, called RDA, based on theCoq proof assistant.

Comme tout logiciel, les compilateurs, et tout particulièrement les compilateurs optimisant, peuvent être défectueux. Il est donc possible qu'ils changent la sémantique du programme compilé, et par conséquent ses propriétés. Dans le cadre de développement de logiciels critiques, où des méthodes formelles sont utilisées pour s'assurer qu'un programme satisfait certaines propriétés, et cela avant qu'il soit compilé, cela pose un problème de fond. Une solution à ce problème est de vérifier le compilateur en s'assurant qu'il préserve la sémantique des programmes compilés. Dans cette thèse, nous évaluons une méthode nouvelle pour développer des passes de compilations sûres: la vérification formelle de validateurs de traduction. D'une part, cette méthode utilise la vérification formelle à l'aide d'assistant de preuve afin d'offrir le maximum de garanties de sûreté sur le compilateur. D'autre part, elle repose sur l'utilisation de la validation de traduction, où chaque exécution du compilateur est validée a posteriori, une méthode de vérification plus pragmatique qui a permis de vérifier des optimisations avancées. Nous montrons que cette approche nouvelle du problème de la vérification de compilateur est viable, et même avantageuse dans certains cas, à travers quatre exemples d'optimisations réalistes et agressives: le list scheduling, le trace scheduling, le lazy code motion et enfin le software pipelining.

Nous proposons deux caractérisations des arbres réguliers. La première est sémantique et s'appuie sur les types co-inductifs. La seconde est syntaxique et repose sur une représentation des arbres réguliers par des termes cycliques. Nous prouvons que ces deux caractérisations sont isomorphes.Ensuite, nous étudions le problème de la définition de morphisme d'arbres préservant la propriété de régularité. Nous montrons en utilisant le formalisme des transducteurs d'arbres, l'existence d'un critère syntaxique garantissant la préservation de cette propriété. Enfin, nous considérons des applications de la théorie des arbres réguliers comme la définition de l'opérateur de composition parallèle d'une algèbre de processus ou encore, les problèmes de décidabilité sur les arbres réguliers via une mécanisation d'un vérificateur de modèles pour un mu-calcul coalgébrique. Tous les résultats ont été mécanisés et prouvés corrects dans l'assistant de preuve Coq. / We propose two characterizations of regular trees. The first one is semantic and is based on coinductive types. The second one is syntactic and represents regular trees by means of cyclic terms. We prove that both of these characterizations are isomorphic. Then, we study the problem of defining tree morphisms preserving the regularity property. We show, by using the formalism of tree transducers, the existence of syntactic criterion ensuring that this property is preserved. Finally, we consider applications of the theory of regular trees such as the definition of the parallel composition operator of a process algebra or, the decidability problems on regular trees through a mechanization of a model-checker for a coalgebraic mu-calculus. All the results were mechanized and proved correct in the Coq proof assistant.

L'analyse réelle a de nombreuses applications car c'est un outil approprié pour modéliser de nombreux phénomènes physiques et socio-économiques. En tant que tel, sa formalisation dans des systèmes de preuve formelle est justifié pour permettre aux utilisateurs de vérifier formellement des théorèmes mathématiques et l'exactitude de systèmes critiques. La bibliothèque standard de Coq dispose d'une axiomatisation des nombres réels et d'une bibliothèque de théorèmes d'analyse réelle. Malheureusement, cette bibliothèque souffre de nombreuses lacunes. Par exemple, les définitions des intégrales et des dérivées sont basées sur les types dépendants, ce qui les rend difficiles à utiliser dans la pratique. Cette thèse décrit d'abord l'état de l'art des différentes bibliothèques d'analyse réelle disponibles dans les assistants de preuve. Pour pallier les insuffisances de la bibliothèque standard de Coq, nous avons conçu une bibliothèque facile à utiliser : Coquelicot. Une façon plus facile d'écrire les formules et les théorèmes a été mise en place en utilisant des fonctions totales à la place des types dépendants pour écrire les limites, dérivées, intégrales et séries entières. Pour faciliter l'utilisation, la bibliothèque dispose d'un ensemble complet de théorèmes couvrant ces notions, mais aussi quelques extensions comme les intégrales à paramètres et les comportements asymptotiques. En plus, une hiérarchie algébrique permet d'appliquer certains théorèmes dans un cadre plus générique comme les nombres complexes pour les matrices. Coquelicot est une extension conservative de l'analyse classique de la bibliothèque standard de Coq et nous avons démontré les théorèmes de correspondance entre les deux formalisations. Nous avons testé la bibliothèque sur plusieurs cas d'utilisation : sur une épreuve du Baccalauréat, pour les définitions et les propriétés des fonctions de Bessel ainsi que pour la solution de l'équation des ondes en dimension 1. / Real analysis is pervasive to many applications, if only because it is a suitable tool for modeling physical or socio-economical systems. As such, its support is warranted in proof assistants, so that the users have a way to formally verify mathematical theorems and correctness of critical systems. The Coq system comes with an axiomatization of standard real numbers and a library of theorems on real analysis. Unfortunately, this standard library is lacking some widely used results. For instance, the definitions of integrals and derivatives are based on dependent types, which make them cumbersome to use in practice. This thesis first describes various state-of-the-art libraries available in proof assistants. To palliate the inadequacies of the Coq standard library, we have designed a user-friendly formalization of real analysis: Coquelicot. An easier way of writing formulas and theorem statements is achieved by relying on total functions in place of dependent types for limits, derivatives, integrals, power series, and so on. To help with the proof process, the library comes with a comprehensive set of theorems that cover not only these notions, but also some extensions such as parametric integrals and asymptotic behaviors. Moreover, an algebraic hierarchy makes it possible to apply some of the theorems in a more generic setting, such as complex numbers or matrices. Coquelicot is a conservative extension of the classical analysis of Coq's standard library and we provide correspondence theorems between the two formalizations. We have exercised the library on several use cases: in an exam at university entry level, for the definitions and properties of Bessel functions, and for the solution of the one-dimensional wave equation.