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Minimal possible counterexamples to the two-dimensional Jacobian ConjectureHorruitiner Mendoza, Rodrigo Manuel 12 June 2019 (has links)
Let K be an algebraically closed field of characteristic zero. The Jacobian Conjecture (JC) in dimension two stated by Keller in [8] says that any pair of polynomials P;Q ∈ L := K[x; y] with [P;Q] := axPayQ - axQayP ∈ Kx (a Jacobian pair )
defines an automorphism of L via x-> P and y -> Q. It turns out that the Newton polygons of such a pair of polynomials are closely related, and by analyzing them, much information can be obtained on conditions that a Jacobian pair must satisfy. Specifically, if there exists a Jacobian pair that does not define an automorphism (a counterexample) then their Newton polygons have to satisfy very restrictive geometric conditions. Based mostly on the work in [1], we present an algorithm to give precise geometrical descriptions of possible counterexamples. This means that, assuming (P;Q) is a counterexample to the Jacobian Conjecture with gcd(deg(P); deg(Q)) = k, we can generate the possible shapes of the Newton Polygon of P and Q and how it transforms under certain linear automorphisms. By analyzing the minimal possible counterexamples, we sketch a path to increase the lower bound of max(deg(P); deg(Q)) to 125 for a minimal possible counterexample to the Jacobian Conjecture. / Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado de característica zero. La Conjetura del
Jacobiano en dimensión dos postulada por Keller en [8] dice que cualquier par de
polinomios P;Q ∈ L := K[x; y] with [P;Q] := axPayQ - axQayP ∈ Kx (un par
Jacobiano) define un automofismo de L via x-> P and y -> Q.
Resulta que los polígonos de Newton de tal par de polinomios están relacionados
íntimamente, y al analizarlos, mucha información puede ser obtenida sobre condiciones
que un par Jacobiano debe satisfacer. Específicamente, si existe un par Jacobiano
que no define un automorfismo (un contraejemplo) entonces sus polígonos de Newton
deben satisfacer condiciones geométricas bastante restrictivas.
Basado en gran parte en el trabajo en [1], presentamos un algoritmo para
dar una descripción geométrica precisa de posibles contraejemplos. Esto significa
que, asumiendo que (P;Q) es un contraejemplo a la Conjetura del Jacobiano con
gcd(deg(P); deg(Q)) = k, podemos generar las posibles formas del Polígono de
Newton de P y Q y cómo se transforman bajo ciertos automorfismos lineales.
Al analizar los posibles contraejemplos minimales, esbozamos un camino para
incrementar la cota inferior de max(deg(P); deg(Q)) a 125 para un posible
contraejemplo minimal a la Conjetura del Jacobiano. / Tesis
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Dominios de Fatou Bieberbach generados por automorfismosPuchoc Quispe, Jose Luis 15 December 2022 (has links)
En la presente tesis se estudia una forma de encontrar dominios de Fatou-Bieberbach, a partir de un automorfismo de Cn. Específicamente estos dominios serán las cuencas de atracción hacia un punto fijo del automorfismo. El trabajo está basado en la investigación desarrollada por Jean Pierre Rosay y Walter Rudin en [RR88]. En el primer capítulo se desarrolla los preliminares que necesitamos para la demostración de los teoremas de los capítulos posteriores: básicamente, el estudio de aplicaciones holomorfas y teoría espectral de operadores lineales. En el segundo capítulo se prueba una versión débil del teorema principal de este trabajo. Este teorema nos brinda varios ejemplos interesantes de dominios de Fatou-Bieberbach en C2. Finalmente, en el capítulo 3 se desarrolla el teorema principal de la tesis. Se prueba que si un automorfismo tiene un punto fijo y en ese punto fijo su radio espectral es menor que uno, entonces la cuenca de atracción del punto fijo vía el autotomorfismo es un dominio de Fatou-Bieberbach. / In this thesis we study a way to find Fatou-Bieberbach domains from an automorphism of Cn. Specifically, these domains will be the basins of attraction towards a fixed point of the automorphism. The work is based on the research developed by Jean Pierre Rosay and Walter Rudin in [RR88]. In the first chapter the preliminaries that we need for the proof of the theorems of the later chapters are developed: basically, the study of holomorphic applications and spectral theory of linear operators. In the second chapter a weak version of the main theorem of this work is proved. This theorem gives us several interesting examples of Fatou-Bieberbach domains in C2. Finally, in chapter 3 the main theorem of the thesis is developed. It is shown that if an automorphism has a fixed point and at that fixed point its spectral radius is less than one, then the basin of attraction of the fixed point via the automorphism is a Fatou-Bieberbach domain.
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Half-Isomorfismos de loops automórficos / Half-isomorphisms of automorphic loopsAnjos, Giliard Souza dos 09 March 2018 (has links)
Loops automórficos, ou A-loops, são loops nos quais todas as aplicações internas são automorfismos. Esta variedade de loops inclui grupos e loops de Moufang comutativos. Loops automórficos diedrais formam uma classe de A-loops construda a partir da duplicação de grupos abelianos finitos, generalizando a construção do grupo diedral. Outra classe de A-loops é a dos loops automórficos de Lie, construda a partir de anéis de Lie, definindo-se uma nova operação entre seus elementos. Um half-isomorfismo é uma bijeção f entre loops L e L\' onde, para quaisquer x e y pertencentes a L, temos que f(xy) pertence ao conjunto . Dizemos que o half-isomorfismo f é não trivial quando f não é um isomorfismo e nem um anti-isomorfismo. Nesta tese descrevemos propriedades de half-isomorfismos de loops, classificamos os half-isomorfismos entre loops automórficos diedrais e obtivemos o grupo de half-automorfismos nesta classe. Para os loops automórficos de Lie de ordem mpar, mostramos que todo half-automorfismo é trivial. / Automorphic loops, or A-loops, are loops in which every inner mapping is an automorphism. This variety of loops includes groups and commutative Moufang loops. Dihedral automorphic loops form a class of A-loops, constructed from the duplication of finite abelian groups, that generalizes the construction of the dihedral group. Another class of A-loops is the Lie automorphic loops, constructed from Lie rings, where a new operation between its elements is defined. A half-isomorphism is a bijection f between loops L and L\' where, for any x and y belong to L, we have that f(xy) belongs to the set {f(x)f(y),f(y)f(x)}. We say that half-isomorphism f is non trivial when f is neither an isomorphism nor an anti-isomorphism. In this thesis, we describe properties of half-isomorphisms of loops, we classify the half-isomorphisms between dihedral automorphic loops and we obtain the group of half-automorphisms in this class. For the Lie automorphic loops of odd order, we show that every half-automorphism is trivial.
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Half-Isomorfismos de loops automórficos / Half-isomorphisms of automorphic loopsGiliard Souza dos Anjos 09 March 2018 (has links)
Loops automórficos, ou A-loops, são loops nos quais todas as aplicações internas são automorfismos. Esta variedade de loops inclui grupos e loops de Moufang comutativos. Loops automórficos diedrais formam uma classe de A-loops construda a partir da duplicação de grupos abelianos finitos, generalizando a construção do grupo diedral. Outra classe de A-loops é a dos loops automórficos de Lie, construda a partir de anéis de Lie, definindo-se uma nova operação entre seus elementos. Um half-isomorfismo é uma bijeção f entre loops L e L\' onde, para quaisquer x e y pertencentes a L, temos que f(xy) pertence ao conjunto . Dizemos que o half-isomorfismo f é não trivial quando f não é um isomorfismo e nem um anti-isomorfismo. Nesta tese descrevemos propriedades de half-isomorfismos de loops, classificamos os half-isomorfismos entre loops automórficos diedrais e obtivemos o grupo de half-automorfismos nesta classe. Para os loops automórficos de Lie de ordem mpar, mostramos que todo half-automorfismo é trivial. / Automorphic loops, or A-loops, are loops in which every inner mapping is an automorphism. This variety of loops includes groups and commutative Moufang loops. Dihedral automorphic loops form a class of A-loops, constructed from the duplication of finite abelian groups, that generalizes the construction of the dihedral group. Another class of A-loops is the Lie automorphic loops, constructed from Lie rings, where a new operation between its elements is defined. A half-isomorphism is a bijection f between loops L and L\' where, for any x and y belong to L, we have that f(xy) belongs to the set {f(x)f(y),f(y)f(x)}. We say that half-isomorphism f is non trivial when f is neither an isomorphism nor an anti-isomorphism. In this thesis, we describe properties of half-isomorphisms of loops, we classify the half-isomorphisms between dihedral automorphic loops and we obtain the group of half-automorphisms in this class. For the Lie automorphic loops of odd order, we show that every half-automorphism is trivial.
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