<p>In Black-Scholes model, the parameters -a volatility and an interest rate were assumed as constants. In this thesis we concentrate on behaviour of the volatility as</p><p>a function and we find more realistic models for the volatility, which elimate a risk</p><p>connected with behaviour of the volatility of an underlying asset. That is</p><p>the reason why we will study the Uncertain Volatility Model. In Chapter</p><p>1 we will make some theoretical introduction to the Uncertain Volatility Model</p><p>introduced by Avellaneda, Levy and Paras and study how it behaves in the different scenarios. In</p><p>Chapter 2 we choose one of the scenarios. We also introduce the BSB equation</p><p>and try to make some modification to narrow the uncertainty bands using</p><p>the idea of a static hedging. In Chapter 3 we try to construct the proper</p><p>portfolio for the static hedging and compare the theoretical results with the real</p><p>market data from the Stockholm Stock Exchange.</p>

In Black-Scholes model, the parameters -a volatility and an interest rate were assumed as constants. In this thesis we concentrate on behaviour of the volatility as a function and we find more realistic models for the volatility, which elimate a risk connected with behaviour of the volatility of an underlying asset. That is the reason why we will study the Uncertain Volatility Model. In Chapter 1 we will make some theoretical introduction to the Uncertain Volatility Model introduced by Avellaneda, Levy and Paras and study how it behaves in the different scenarios. In Chapter 2 we choose one of the scenarios. We also introduce the BSB equation and try to make some modification to narrow the uncertainty bands using the idea of a static hedging. In Chapter 3 we try to construct the proper portfolio for the static hedging and compare the theoretical results with the real market data from the Stockholm Stock Exchange.

In this thesis, we study the nonlinear diffusion equation especially Porous Medium Equation (PME). u_t= \Delta(u^m) + f(u), Parameter m>1 in the case of slow diffusion, m=1 means linear model and $0

En adoptant un principe de moindre énergie, une énergie de surface de type Dugdale-Barenblatt et une condition d'irréversibilité, on construit un modèle de propagation de fissure opérant aussi bien sous chargement monotone que sous chargement cyclique. Plus précisément, à travers l'exemple du décollement d'un film mince, on montre tout d'abord qu'en utilisant une énergie de surface de Griffith, il est impossible de rendre compte du phénomène de fatigue. Par contre, avec une énergie de surface de type Barenblatt, on prouve que la solution du problème incrémental correspond au décollement progressif du film, cycle après cycle. Le nombre de cycles jusqu'à décollement total du film dépend des paramètres du problème. On étudie ensuite le décollement en fatigue lorsque la longueur caractéristique du modèle de Barenblatt est petite devant celle du film. On obtient alors une loi de fatigue limite qui contient à la fois la loi de propagation de Griffith sous chargement monotone et une loi de fatigue de type Paris sous chargement cyclique. Cette loi déduite de la minimisation d'énergie dépend à la fois de la structure, du matériau et du chargement. Lorsque l'on modifie la condition d'irréversibilité, l'énergie potentielle ou le type de chargement, on obtient d'autres lois de fatigue limites même si elles sont toujours du même type. Il s'agit enfin de mettre en évidence les propriétés de telles lois et de les étendre à des problèmes plus généraux.

L'objectif de ce travail est l'étude du problème non linéaire de type pseudo parabolique suivant : trouver une fonction mesurable $u$ de $Q:=]0,T[\times \Omega$ solution de \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l@{\quad}l} f\left(t,x,u_t\right)-Div \left\{a\left(x,u,u_t\right)\nabla u+b\left(x,u,u_t\right)\nabla u_t \right\}=g(t,x), \; (t,x)\in Q, \\ u(x,t)=0,\; (t,x)\in ]0,T[\times \partial \Omega, \\ u(0,x)=u_0, \; x\in \Omega,\\ \end{array} \right. \end{equation*} où l'opérateur de Nemestki associé à la fonction $f$ est monotone.\\ Un premier chapitre est conscré à l'étude de l'existence d'une solution pour le problème ci-dessus. Pour cela, on utilise une méthode de semi-discrétisation implicite en temps. L'existence des itérés repose sur le théorème de point fixe de Schauder-Tikhonov et la convergence du schéma sur une outil de compacité adapté à la situation. À la fin du chapitre, on propose des applications à l'équation de Barenblatt et au cas d'un $f$ multivoque. \\ Dans le second chapitre, on s'intéresse au problème de Barenblatt pseudo-parabolique : rechercher une fonction mesurable $u$ de $Q$ à valeur réelle telle que \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l@{\quad}l} f\left(u_t\right(t,x))-\Delta u(t,x)-\epsilon \Delta u_t(t,x)=g(t,x), \; (t,x)\in Q, \\ u(x,t)=0,\; (t,x)\in ]0,T[\times \partial \Omega, \\ u(0,x)=u_0, \; x\in \Omega,\\ \end{array} \right. \end{equation*} où $f$ n'est pas nécessairement monotone.\\ Pour $\epsilon> \epsilon_0>0 $, où $\epsilon_0$ est une valeur critique, on montre que le problème est bien posé en utilisant une méthode similaire à celle du premier chapitre. Pour la valeur critique de $\epsilon=\epsilon_0$, le problème admet au plus une solution ; cette dernière existe moyennant une hypothèse supplémentaire sur $f$. Enfin, si $0<\epsilon<\epsilon_0$, la solution n'est pas unique en général. On propose enfin d'une approche stochastique de l'équation pseudo-parabolique de Barenblatt-Sobolev. Le dernier chapitre propose des simulations numériques monodimensionnelles ; notamment, on s'intéresse à la perturbation singulière pseudo-parabolique lorsque la diffusion moléculaire change de signe.