Nous étudions les mots de poids minimal des codes correcteurs d'erreurs cycliques. Les fonctions symétriques élémentaires et les fonctions puissances des localisateurs de ces mots vérifient les identités de Newton. Dans le premier chapitre celles-ci sont étudiées comme un système d'équations algébriques, dont les solutions sont étudiées par transformation de Fourier. Dans le chapitre II, le lien est fait avec les codes correcteurs d'erreurs cycliques. Sur quelques exemples, il est montré comment étudier les mots de poids minimal sur la donnée d'une base standard de l'idéal engendré par les équations de Newton. Dans le chapitre III, les relations de Newton sont utilisées d'un point de vue théorique, et des résultats sur les mots de poids minimal de certains codes BCH sont obtenus. Ces calculs se placent dans le contexte de la théorie des corps finis. Dans le chapitre IV, un algorithme est développé pour calculer une base normale sur un corps fini. Un point de vue d'algèbre linéaire est choisi, et d'autres problèmes sont abordés (calcul du polynôme minimal, de la forme de Frobenius d'une matrice, lorsque la factorisation du polynôme caractéristique est connue).

El objetivo de la tesis es el calculo efectivo de la monodromía geométrica y en el grupo fundamental, de familias de superficies de Riemann compactas conexas (curvas algebraicas complejas) de género 4. Este estudio se extiende a otros desarrollados hasta la fecha en los marcos de la Geometría Algebraica, Topología Diferencial y Simpléctica, que estudian esta monodromía geométrica y en el grupo fundamental para familias de superficies de Riemann de hasta género 2, usando la estructura elíptica/hiperelíptica de tales familias. El salto de género 2 a género 4 se realiza para aprovechar la estructura trigonal (de recubrimiento triple de la esfera de Riemann) que tienen las curvas en género 4. Tal curva genérica tiene dos estructuras trigonales, en una familia genérica se puede hacer un cambio de base 2:1 para conseguir pegar las estructuras de recubrimiento trigonal de las fibras y obtener una familia de recubrimientos trigonales de la esfera de Riemann. El recubrimiento trigonal genérico para curvas de género 4 tiene 12 puntos de ramificación simple. Esto significa, en una familia de recubrimientos trigonales hay un divisor de grado relativo 12 en la familia de esferas de Riemann recubiertas, denominado divisor de ramificación, tal que la monodromía de trenzas de este divisor determina la monodromía geométrica y en el grupo fundamental de la familia. El resultado teórico principal de esta memoria es la construcción de una familia universal de curvas trigonales de género 4, bajo el esquema de recubrimientos trigonales de Hurwitz, pero de dimensión más reducida, monodromía geométrica calculable, y que mantiene una propiedad de universalidad topológica: toda familia de recubrimientos trigonales de género 4 se obtiene por pullback de una aplicación de la base a la de esta familia universal, más deformación. Completa el resultado teórico principal el cálculo de la monodromía geométrica y en el grupo fundamental de esta familia. Este cálculo se hace siguiendo la monodromía de trenzas del divisor de ramificación de la familia, y levantando esta monodromía de las esferas de Riemann a sus cubiertas triples. El cálculo de la monodromía en el grupo fundamental de la familia no ha podido ser completado desde el punto de vista lógico, debido a una conjetura sobre el estabilizador de una acción del grupo de trenzas en el esquema de Hurwitz de cubiertas triples. Sin embargo, los cálculos realizados permanecen válidos sea cual sea la respuesta; en caso de ser cierta implica que el cálculo realizado es toda la monodromía de la familia universal y lo contrario significaría que hay que añadir algunos cálculos de monodromía análogos a los aquí realizados. Los resultados teóricos de la tesis se completan con trabajo de computación para realizar cálculos efectivos de monodromía geométrica en el grupo fundamental en las familias de curvas de género 4. Primero, se desarrolla una librería de funciones para el programa Singular que hallan la estructura trigonal de curvas de género 4 a partir de su ecuación canónica y con la ayuda de un cálculo auxiliar en Pari-GP, determinan el divisor de ramificación relativo de una familia de curvas de género 4 canónicas (no hiperelípticas). En la tesis se aplica esta librería al cálculo de estructuras trigonales y divisores de ramificación en familias de curvas de género 4, tanto ejemplos académicos como familias de interés geométrico: - la familia de curvas de género 4 que describe un pincel de Lefschetz en la superficie K3 de género 4 (cuya monodromía geométrica es necesaria para demostrar la versión de Paul Seidel de la conjetura de la 'Mirror Symmetry'), - una familia de curvas de género 4 deformación de la curva de Bring (la única curva de género 4 que tiene grupo de simetrías de orden 5). Segundo, se desarrolla una librería de funciones para el programa MATLAB que calculan la monodromía de trenzas de un divisor en C^2. Este cálculo se inicia en la integración de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias a valores complejos, que sigue la evolución de las ramas del divisor, para el que se ha desarrollado un integrador numérico de paso variable combinando un método de Runge-Kutta con el uso de la ecuación del divisor como integral primera de las soluciones para el control del paso. Este sistema de ecuaciones se integra sobre un sistema de generadores del grupo fundamental de la base obtenido a partir de una descomposición celular de Voronoi asociada a los valores de ramificación de la familia, y finalmente se identifica la monodromía de trenzas a partir del análisis de la posición de las ramas del divisor a lo largo de los caminos escogidos en la base. Esta librería funciona correctamente para divisores de grados hasta 6-8 en el plano. Se ilustra en la tesis mediante su aplicación a ejemplos académicos, completa con representación e identificación de las monodromías de trenzas en estos ejemplos. / The objetive of the thesis is the actual calculation of the geometric monodromy and the fundamental group of families of related compact Riemann surfaces (complex algebraic curves) of genus 4. This study extends to other developed so far within the framework of algebraic geometry, differential and symplectic topology, studying this geometric monodromy and fundamental group for families of Riemann surfaces of genus 2, using the elliptical structure / hyperelliptic of such families. The jump from genre 2 to genre 4 is performed to take advantage of the trigonal structure (triple coating of the Riemann sphere) with the curves in genus 4. Such a generic curve has two trigonal structures in a generic family can make a base change 2:1 to get hit trigonal structures coating the fibers and obtain a family of trigonal coverings of the Riemann sphere. The coating generic trigonal curves of genus 4 has 12 simple branch points. This means, in a family of trigonal coverings is a divisor of relative degree 12 in the family of Riemann spheres coated, called branching divisor, such that the braid monodromy of this divisor determines the geometric monodromy on the fundamental group of family. The main theoretical result of this report is to construct a universal family of trigonal curves of genus 4, under the scheme trigonal Hurwitz coatings, but smaller scale, geometric monodromy calculable, and maintains a topological property of universality: all family of coatings gender trigonal 4 is obtained by pullback of an application to the base of this universal family, the more distortion. Complete the main theoretical result calculating the geometric monodromy and the fundamental group of this family. This calculation is made following the braid monodromy of the branch divisor of the family, and raising the monodromy of the Riemann spheres of their triple decks. The calculation of the monodromy on the fundamental group of the family has not been completed from the logical point of view, due to a conjecture about the stabilizer of a braid group action in the Hurwitz scheme covers triples. However, the calculations remain valid whatever the answer should be true implies that the calculation is all the monodromy of the universal family and it would mean we must add some monodromy calculations similar to those made here. The theoretical results of the thesis is completed with computer work for geometric monodromy effective calculations in the fundamental group in families of curves of genus 4. First, we developed a library of functions for the program Singular which are the structure of trigonal curves of genus 4 from its canonical equation and with the help of an auxiliary calculation Pari-GP, determine the relative branching divisor of a family of canonical curves of genus 4 (not hyperelliptic). The thesis applies this library to the trigonal structure calculation and branching divisors in families of curves of genus 4, both academic and family examples of geometric interest: - The family of curves of genus 4 which describes a Lefschetz brush on the surface K3 genus 4 (whose geometric monodromy is needed to prove Paul Seidel version of the conjecture of the 'Mirror Symmetry') - A family of curves of genus 4 curve deformation Bring (the only curve of genus 4 having symmetry group of order 5). Second, develop a library of functions for the MATLAB program to compute the braid monodromy of a divisor in C ^ 2. This calculation starts on the integration of a system of ordinary differential equations with complex values, which follows the evolution of the branches of the splitter, for which we have developed a numerical integrator by combining a variable step Runge-Kutta method with the equation using the first integral divisor of solutions for pitch control. This system of equations is integrated on a system of generators of the fundamental group of the base obtained from a Voronoi cell decomposition associated with the values of branching of the family, and finally identifies the braid monodromy from the analysis of the position of the branches of the divider along the paths chosen in the base. This library works well for divisors up to 6-8 degrees in the plane. The thesis is illustrated by application to academic examples, complete with representation and identification of the braid monodromy in these examples

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this work, we present a special class of linear codes: parameterized affine codes. We show that these codes are easy to construct and that given a parameterized affine code one can easily obtain an equivalent projective parameterized code equivalent to it. We also studied some topics which served as the theoretical foundations for the work, such as the theory of Groebner Bases, the footprint of an ideal and some topics of algebraic geometry and commutative algebra. This work has as main goal to obtain the basic parameters (length, dimension and minimum distance) of parameterized codes related and also to relate them to the projective parameterized codes, as done in [7]. We finish by applying the theory of Groebner Bases to the footprint of a certain ideal in order to obtain the basic parameters of the parameterized code over an affine torus. / Neste trabalho apresentamos uma classe especial de códigos lineares: os códigos parametrizados afins. Mostramos que esses códigos são de fácil construção e que, dado um código parametrizado afim, pode-se facilmente obter um código parametrizado projetivo equivalente a ele. Também estudamos algumas teorias que nos serviram como base teórica tais como: a teoria de Bases de Groebner e a Pegada de um ideal e alguns tópicos de geometria algébrica e álgebra comutativa. Este trabalho tem por objetivo principal obter os parâmetros básicos (comprimento, dimensão e distância mínima) dos códigos parametrizados afins e relacioná-los com os códigos parametrizados projetivos, assim como na referência [7]. Encerramos aplicando a teoria de Bases de Groebner a Pegada de um ideal para obter os parâmetros básicos do código parametrizado no toro afim. / Mestre em Matemática

Le problème d’´équivalence de code joue un rôle important dans la théorie de code et la cryptographie basée sur le code. Cela est dû à son importance dans la classification des codes ainsi que dans la construction et la cryptanalyse des cryptosystèmes à base de codes. Il est également lié à un problème ouvert d’isomorphisme de graphes, un problème bien connu dans le domaine de la théorie de la complexité. Nous prouvons pour les codes ayant un hull trivial qu’il existe une réduction polynomiale de l’équivalence par permutation de codes à l’isomorphisme de graphes. Cela montre que cette sous-classe d’équivalence de permutation n’est pas plus dure que l’isomorphisme de graphes. Nous introduisons une nouvelle méthode pour résoudre le problème d’équivalence de code. Nous développons des approches algébriques pour résoudre le problème dans ses deux versions : en permutation et en diagonale. Nous construisons un système algébrique en établissant des relations entre les matrices génératrices et les matrices de parité des codes équivalents. Nous nous retrouvons avecun système plusieurs variables d’équations linéaires et quadratiques qui peut être résolu en utilisant des outils algébriques tels que les bases de Groebner et les techniques associées. Il est possible en théorie de résoudre l’équivalence de code avec des techniques utilisant des bases de Groebner. Cependant, le calcul en pratique devient complexe à mesure que la longueur du code augmente. Nous avons introduit plusieurs améliorations telles que la linéarisation par bloc et l’action de Frobenius. En utilisant ces techniques, nous identifions de nombreux cas où le problème d’équivalence de permutation peut être résolu efficacement. Notre méthode d’équivalence diagonale résout efficacement le problème dans les corps de petites tailles, à savoir F3 et F4. L’augmentation de la taille du corps entraîne une augmentation du nombre de variables dans notre système algébrique, ce qui le rend difficile à résoudre. Nous nous intéressons enfin au problème d’isomorphisme de graphes en considérant un système algébrique quadratique pour l’isomorphisme de graphes. Pour des instances tirées aléatoirement, le système possède des propriétés intéressantes en termes de rang de la partie linéaire et du nombre de variables. Nousrésolvons efficacement le problème d’isomorphisme de graphes pour des graphes aléatoires avec un grand nombre de sommets, et également pour certains graphes réguliers tels que ceux de Petersen, Cubical et Wagner.123 / Code equivalence problem plays an important role in coding theory and code based cryptography.That is due to its significance in classification of codes and also construction and cryptanalysis of code based cryptosystems. It is also related to the long standing problem of graph isomorphism, a well-known problem in the world of complexity theory. We introduce new method for solving code equivalence problem. We develop algebraic approaches to solve the problem in its permutation and diagonal versions. We build algebraic system by establishing relations between generator matrices and parity check matrices of the equivalent codes. We end up with system of multivariables of linear and quadratic equations which can be solved using algebraic tools such as Groebner basis and related techniques. By using Groebner basis techniques we can solve the code equivalence but the computation becomes complex as the length of the code increases. We introduced several improvements such as block linearization and Frobenius action. Using these techniques we identify many cases where permutation equivalence problem can be solved efficiently. Our method for diagonal equivalence solves the problem efficiently in small fields, namely F3 and F4. The increase in the field size results in an increase in the number of variables in our algebraic system which makes it difficult to solve. We introduce a new reduction from permutation code equivalence when the hull is trivial to graph isomorphism. This shows that this subclass of permutation equivalence is not harder than graph isomorphism.Using this reduction we obtain an algebraic system for graph isomorphism with interesting properties in terms of the rank of the linear part and the number of variables. We solve the graph isomorphism problem efficiently for random graphs with large number of vertices and also for some regular graphs such as Petersen, Cubical and Wagner Graphs.

[ES] Uno de los elementos más importantes en el sistema de control de un robot es su Modelo Cinemático Inverso (IKM, por sus siglas en inglés), el cual calcula las referencias de posición y velocidad requeridas para que dicho robot pueda seguir una trayectoria. Los métodos más comúnmente empleados para la síntesis del IKM de sistemas robotizados de cadena cinemática abierta dependen fuertemente de la geometría del robot, por lo que no son procedimientos sistemáticos que puedan ser aplicados uniformemente en todas las situaciones. Este proyecto presenta el desarrollo de un procedimiento sistemático para la síntesis del IKM completo de sistemas robotizados no redundantes de cadena cinemática abierta usando la teoría de Bases de Groebner, el cual no depende de la geometría del robot. Las entradas del procedimiento desarrollado son los parámetros de Denavit-Hartenberg del robot y el rango de movimiento de sus actuadores, mientras que la salida es el IKM sintetizado, listo para ser usado en el sistema de control del robot o en una simulación de su funcionamiento. El desempeño del procedimiento desarrollado fue demostrado sintetizando los IKMs de un manipulador PUMA y un hexápodo caminante. Los tiempos de ejecución de ambos IKMs son comparables con los requeridos por los modelos cinemáticos calculados por procedimientos tradicionales, y los errores de las referencias que ofrecen como salida son totalmente despreciables. Los IKMs sintetizados son completos, porque no sólo ofrecen las referencias de posición para todos los actuadores del robot, sino que también calculan las correspondientes referencias de velocidades y aceleraciones de dichos actuadores, por lo que el procedimiento desarrollado puede ser empleado en una amplia variedad de sistemas robotizados. / [CA] Un dels elements més importants en el sistema de control d'un robot és el seu Model Cinemàtic Invers (IKM, per les seues sigles en anglés), el qual calcula les referències de posició i velocitat requerides perquè aquest robot puga seguir una trajectòria. Els mètodes més comunament emprats per a la síntesi del IKM de sistemes robotitzats de cadena cinemàtica oberta depenen fortament de la geometria del robot analitzat, per la qual cosa no són procediments sistemàtics que puguen ser aplicats uniformement en totes les situacions. Aquest projecte presenta el desenvolupament d'un procediment sistemàtic per a la síntesi del IKM complet de sistemes robotitzats no redundants de cadena cinemàtica oberta usant la teoria de Bases de Groebner, el qual no depén de la geometria del robot. Les entrades del procediment desenvolupat són els paràmetres de Denavit-Hartenberg del robot i el rang de moviment dels seus actuadors, mentre que l'eixida és el IKM sintetitzat, llest per a ser usat en el sistema de control del robot o en una simulació del seu funcionament. L'acompliment del procediment desenvolupat va ser demostrat sintetitzant els IKMs d'un manipulador PUMA i un robot caminante. Els temps d'execució de tots dos IKMs són comparables amb els requerits pels models cinemàtics calculats per procediments tradicionals, i els errors de les referències que ofereixen com a eixida són totalment menyspreables. Els IKMs sintetitzats són complets, perquè no sols ofereixen les referències de posició per a tots els actuadors del robot, sinó que també calculen les corresponents referències de velocitats i acceleracions d'aquests actuadors, per la qual cosa el procediment desenvolupat pot ser emprat en una àmplia varietat de sistemes robotitzats. / [EN] One of the most important elements of a robot's control system is its Inverse Kinematic Model (IKM), which calculates the position and velocity references required by the robot's actuators to follow a trajectory. The methods that are commonly used to synthesize the IKM of open-chain robotic systems strongly depend on the geometry of the analyzed robot, so they are not systematic procedures that can be applied equally in all situations. This project presents the development of a systematic procedure to synthesize the complete IKM of non-redundant open-chain robotic systems using Groebner Basis theory, which does not depend on the robot's geometry. The inputs to the developed procedure are the robot's Denavit-Hartenberg parameters and the movement range of its actuators, while the output is the IKM, ready to be used in the robot's control system or in a simulation of its behavior. This procedure's performance was proved synthesizing the IKMs of a PUMA manipulator and a walking hexapod robot. The computation times of both IKMs are comparable to those required by the kinematic models calculated by traditional methods, while the errors of their computed references were absolutely negligible. The synthesized IKMs are complete in the sense that they not only supply the position reference for all the robot's actuators, but also the corresponding references for their velocities and accelerations, so the developed procedure can be used in a wide range of robotic systems. / Guzmán Giménez, J. (2022). Synthesis of the Complete Inverse Kinematic Model of Non-Redundant Open-Chain Robotic Systems using Groebner Basis Theory [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/181632 / TESIS