This thesis concerns dimensions and projections of sets that could be described as fractals. The background is applied problems regarding analysis of human tissue. One way to characterize such complicated structures is to estimate the dimension. The existence of different types of dimensions makes it important to know about their properties and relations to each other. Furthermore, since medical images often are constructed by x-ray, it is natural to study projections. This thesis consists of an introduction and a summary, followed by three papers. Paper I, Anders Nilsson, Dimensions and Projections: An Overview and Relevant Examples, 2006. Manuscript. Paper II, Anders Nilsson and Peter Wingren, Homogeneity and Non-coincidence of Hausdorff- and Box Dimensions for Subsets of ℝn, 2006. Submitted. Paper III, Anders Nilsson and Fredrik Georgsson, Projective Properties of Fractal Sets, 2006. To be published in Chaos, Solitons and Fractals. The first paper is an overview of dimensions and projections, together with illustrative examples constructed by the author. Some of the most frequently used types of dimensions are defined, i.e. Hausdorff dimension, lower and upper box dimension, and packing dimension. Some of their properties are shown, and how they are related to each other. Furthermore, theoretical results concerning projections are presented, as well as a computer experiment involving projections and estimations of box dimension. The second paper concerns sets for which different types of dimensions give different values. Given three arbitrary and different numbers in (0,n), a compact set in ℝn is constructed with these numbers as its Hausdorff dimension, lower box dimension and upper box dimension. Most important in this construction, is that the resulted set is homogeneous in the sense that these dimension properties also hold for every non-empty and relatively open subset. The third paper is about sets in space and their projections onto planes. Connections between the dimensions of the orthogonal projections and the dimension of the original set are discussed, as well as the connection between orthogonal projection and the type of projection corresponding to realistic x-ray. It is shown that the estimated box dimension of the orthogonal projected set and the realistic projected set can, for all practical purposes, be considered equal.

Master of Science / Department of Mathematics / Hrant Hakobyan / When studying geometrical objects less regular than ordinary ones, fractal analysis becomes a valuable tool. Over the last 40 years, this small branch of mathematics has developed extensively. Fractals can be defined as those sets which have non-integer Hausdorff or Minkowski dimension. In this report, we introduce certain definitions of fractal dimensions, which can be used to measure a set’s fractal degree. We introduce Minkowski dimension and Hausdorff dimension and explore some examples where they coincide, as well as other examples where they do not.

<p>This thesis concerns dimensions and projections of sets that could be described as fractals. The background is applied problems regarding analysis of human tissue. One way to characterize such complicated structures is to estimate the dimension. The existence of different types of dimensions makes it important to know about their properties and relations to each other. Furthermore, since medical images often are constructed by x-ray, it is natural to study projections.</p><p>This thesis consists of an introduction and a summary, followed by three papers.</p><p>Paper I, Anders Nilsson, Dimensions and Projections: An Overview and Relevant Examples, 2006. Manuscript.</p><p>Paper II, Anders Nilsson and Peter Wingren, Homogeneity and Non-coincidence of Hausdorff- and Box Dimensions for Subsets of ℝ<i>n</i>, 2006. Submitted.</p><p>Paper III, Anders Nilsson and Fredrik Georgsson, Projective Properties of Fractal Sets, 2006. To be published in Chaos, Solitons and Fractals.</p><p>The first paper is an overview of dimensions and projections, together with illustrative examples constructed by the author. Some of the most frequently used types of dimensions are defined, i.e. Hausdorff dimension, lower and upper box dimension, and packing dimension. Some of their properties are shown, and how they are related to each other. Furthermore, theoretical results concerning projections are presented, as well as a computer experiment involving projections and estimations of box dimension.</p><p>The second paper concerns sets for which different types of dimensions give different values. Given three arbitrary and different numbers in (0,<i>n</i>), a compact set in ℝ<i>n</i> is constructed with these numbers as its Hausdorff dimension, lower box dimension and upper box dimension. Most important in this construction, is that the resulted set is homogeneous in the sense that these dimension properties also hold for every non-empty and relatively open subset.</p><p>The third paper is about sets in space and their projections onto planes. Connections between the dimensions of the orthogonal projections and the dimension of the original set are discussed, as well as the connection between orthogonal projection and the type of projection corresponding to realistic x-ray. It is shown that the estimated box dimension of the orthogonal projected set and the realistic projected set can, for all practical purposes, be considered equal.</p>

Efter att FN:s konferens om hållbar utveckling genomfördes i Rio 1992, stod det klart att utbildningsväsendet har en viktig roll i att skapa nya traditioner kring utbildning för hållbar utveckling, då det i nuläget inte existerar någon sådan. Problematiken bottnar i att ämnet hållbar utveckling anses vara relativt komplext och brett, vilket medför svårigheter för lärare och förskollärare att hitta en allmän och övergripande balans. Att det dessutom finns lite forsking kring utbildning för hållbar utveckling för de yngre barnen visar på problematiken ytterligare.De resultat som har framkommit i analysen är att den miljömässiga dimensionen med återvinning som tema, är det innehåll som är mest framträdande och synlig i fyra av fem barnböcker. Då de tre dimensionerna inte uttalas i barnböckerna har dessa fått läsas fram mellan raderna och resultatet blev att den sociala dimensionen är ständigt närvarande och har en övergripande roll i samtliga barnböcker. Den sociala dimensionen gestaltas i barnböckerna via solidaritet, tillit, samarbete, ansvar och uppfostran mfl.Denna studie ämnar att undersöka hur de tre dimensionerna inom hållbar utveckling förhåller sig till fem utvalda barnböcker. Barnböckerna kan ses som ett underlag utifrån ett tema- och ämnesövergripande arbetssätt för verksamheten i förskolan. Barnböckerna som används i studien är alla är utgivna under 2000-talet och vänder sig till barn mellan 3 till 6 år. Metoden som används är kvalitativ textanalys med grund i idé- och ideologisanalys.Ämnesord:

Ce mémoire présente les travaux que j'ai effectués, tout d'abord, à<br />l'Institut de Mathématiques de l'Université de Dijon, pendant ma thèse de<br />1998 à 2000, puis dans l'équipe d'Analyse Numérique et Equations aux<br />Dérivées Partielles du Département de Mathématiques de l'Université<br />d'Orsay, depuis 2001.<br />Ces travaux sont regroupés en deux parties, la première traitant de<br />problèmes de contrôle en dimension finie, et la seconde, en dimension<br />infinie. Ces deux parties sont elles-mêmes séparées en deux<br />sous-parties~: les résultats théoriques, et les résultats<br />numériques. A la fin de chaque partie, des projets de recherche sont<br />présentés.<br /><br /><br />Dans la première partie, on s'intéresse à <br />la régularité de la fonction valeur associée à un problème de contrôle<br />optimal non linéaire en dimension finie. Il s'avère<br />que cette régularité est liée à l'existence de \textit{trajectoires<br />singulières minimisantes}.<br />Rappelons qu'une trajectoire \textit{singulière} est une singularité<br />de l'ensemble des solutions du système de contrôle.<br />Selon le principe du maximum de Pontryagin, les trajectoires<br />singulières sont projections d'\textit{extrémales anormales}, par<br />opposition aux \textit{extrémales normales} qui constituent le cadre<br />classique du calcul des variations.<br />Pour des systèmes affines à coût quadratique,<br />on montre que, s'il n'existe aucune trajectoire singulière<br />minimisante, alors la fonction valeur associée est<br />\textit{sous-analytique} (cela s'étend à des situations<br />plus générales). <br /><br />Ces résultats ont des conséquences dans les théories d'Hamilton-Jacobi<br />et de stabilisation. Tout d'abord, on montre que<br />la \textit{solution de viscosité} de certaines<br />classes d'\textit{équations d'Hamilton-Jacobi}<br />est sous-analytique, ce qui implique en particulier<br />que l'ensemble de ses singularités est une sous-variété stratifiée de<br />codimension au moins un. Ensuite, on montre un résultat de<br />\textit{stabilisation hybride semi-globale} pour des<br />systèmes de contrôle affines sans dérive.<br /><br />S'il existe des trajectoires singulières minimisantes, la fonction<br />valeur n'est pas sous-analytique en général. Une étude<br />asymptotique est faite sur le cas modèle sous-Riemannien de Martinet.<br />Dans le cas intégrable, on montre que la fonction valeur appartient à<br />la classe \textit{log-exp}, qui est une extension de la classe<br />sous-analytique avec des fonctions logarithme et exponentielle.<br /><br />Ces résultats motivent donc l'étude des propriétés des<br />trajectoires singulières.<br /><br />Tout d'abord, concernant leur optimalité, ces trajectoires ont,<br />sous des conditions génériques, la propriété de<br />\textit{rigidité}, c'est-à-dire qu'elles sont localement isolées<br />parmi toutes les solutions du système ayant les mêmes extrémités, et<br />donc, elles sont localement optimales, jusqu'à un premier temps dit<br />\textit{conjugué} que l'on peut caractériser.<br /><br />On s'intéresse alors à l'occurence des trajectoires singulières<br />minimisantes.<br />Des résultats de type \textit{Morse-Sard} sont présentés dans le cadre<br />de la géométrie sous-Riemannienne, qui montrent qu'elles ne<br />remplissent que peu d'espace.<br />En particulier, on montre que l'image de l'application exponentielle<br />(qui paramétrise les extrémales normales) est partout dense, et même<br />de mesure de Lebesgue pleine dans le cas de corang un.<br /><br />On prend ensuite le point de vue inverse, en s'intéressant aux<br />propriétés de généricité des trajectoires singulières, pour des<br />systèmes de contrôle affines. On montre que, génériquement au sens de<br />Whitney, elles sont \textit{d'ordre minimal} et \textit{de corang un},<br />ce qui a des corollaires en contrôle optimal.<br />Par exemple, pour des systèmes de contrôle affines génériques ayant<br />plus de trois champs de vecteurs, avec coût quadratique, il n'existe<br />aucune trajectoire singulière minimisante~;<br />en particulier, la fonction valeur associée est donc sous-analytique.<br /><br /><br /><br />Dans le deuxième chapitre de la première partie, on s'intéresse aux<br />méthodes numériques en<br />contrôle optimal. Il existe deux types principaux de méthodes~: les<br />\textit{méthodes directes} d'une part, qui reposent sur une discrétisation<br />totale du problème de contrôle optimal, et conduisent à des problèmes<br />de programmation non linéaire~; les \textit{méthodes indirectes}<br />d'autre part,<br />basées sur le principe du maximum, qui réduisent le problème à un<br />problème aux valeurs limites se résolvant numériquement par une<br />\textit{méthode de tir}. Ces dernières sont<br />particulièrement adaptées aux applications en aéronautique présentées<br />ici. Le principe du maximum étant une condition nécessaire<br />d'optimalité, il convient de s'assurer a posteriori que les<br />extrémales calculées par la méthode de tir sont bien optimales.<br />Pour cela, on rappelle le concept de \textit{temps<br />conjugué}, c'est-à-dire le temps au-delà duquel une extrémale n'est<br />plus localement optimale, et on décrit des algorithmes de calcul,<br />basés sur des développements théoriques récents en théorie du<br />contrôle optimal géométrique, qui couvrent le cas normal et le cas<br />anormal. Ces algorithmes, ainsi que la méthode de tir, sont<br />implémentés dans le logiciel \textit{COTCOT}<br />(Conditions of Order Two and COnjugate times), disponible sur le web.<br /><br />Des applications en aéronautique sont ensuite présentées~: le problème<br />de rentrée atmosphérique d'une navette spatiale tout d'abord, où le<br />but est de déterminer une trajectoire optimale jusqu'à une cible<br />donnée, le contrôle étant l'angle de g\^\i te, et le coût étant<br />le flux thermique total (facteur d'usure). La navette est de plus<br />soumise à des contraintes sur l'état~: flux thermique,<br />accélération normale, et pression dynamique. Ces contraintes<br />rendent le problème de contrôle optimal difficile, et nécessitent<br />une étude préliminaire théorique et géométrique sur les synthèses<br />optimales locales avec contraintes.<br />Ensuite, on présente le problème de transfert orbital d'un satellite à<br />poussée faible, où le but est de transférer l'engin d'une orbite basse<br />à une orbite géostationnaire, en temps minimal, sachant que la force de<br />propulsion est très faible. Le problème de temps optimal est important<br />lorsque la poussée est faible (par exemple, une propulsion<br />ionique), car le transfert orbital peut prendre plusieurs mois.<br />Pour ces deux problèmes, des simulations numériques,<br />utilisant les méthodes précédentes, sont présentées.<br /><br /><br /><br /><br /><br />Dans la deuxième partie, on s'intéresse à des problèmes de contrôle des<br />équations aux dérivées partielles.<br />On présente tout d'abord une méthode de contrôlabilité et de<br />stabilisation, qui consiste à stabiliser un système de contrôle le<br />long d'un chemin d'états stationnaires. Pour mettre en évidence l'idée<br />principale, cette méthode est présentée en dimension finie. Elle<br />permet de construire un contrôle feedback sous forme explicite, ainsi<br />qu'une fonction de Lyapunov, et par ailleurs, elle est facilement<br />implémentable. Cette méthode de déformation quasi-statique permet<br />d'établir des résultats de contrôlabilité exacte et de stabilisation<br />pour des équations de la chaleur et des ondes semi-linéaires en<br />dimension un, où la non-linéarité est quelconque. Notons que<br />l'existence de fonctions barrières et/ou de<br />phénomènes d'explosion limitent les résultats de contrôlabilité.<br />Pour ces deux équations, on montre que l'on peut passer, avec un<br />contrôle frontière, en temps éventuellement grand, d'un état<br />stationnaire à tout autre, pourvu qu'ils appartiennent à une même<br />composante connexe de l'ensemble des états stationnaires (cette<br />condition étant vérifiée dans un grand nombre de cas). La procédure<br />consiste en fait à stabiliser un système de contrôle linéaire<br />instationnaire de dimension finie, et on peut construire un contrôle<br />sous forme de boucle fermée, en calculant un nombre fini de composantes<br />de la solution, dans une décomposition sur une base Hilbertienne (pour<br />l'équation de la chaleur) ou sur une base de Riesz (pour l'équation<br />des ondes). Des simulations numériques sont effectuées.<br /><br />On présente ensuite un résultat de contrôlabilité exacte<br />sur les flots de Couette, qui sont des solutions stationnaires<br />particulières des équations de Navier-Stokes d'un fluide<br />incompressible entre deux cylindres<br />concentriques infinis en rotation. On montre qu'il est possible de passer d'un<br />flot de Couette à tout autre, en agissant juste sur la rotation du<br />cylindre extérieur.<br /><br /><br />Dans le dernier chapitre,<br />on s'intéresse à la semi-discrétisation (en espace) des<br />équations aux dérivées partielles linéaires contrôlées.<br />La discrétisation d'une EDP contrôlable, en utilisant par exemple une<br />méthode de Galerkin, conduit à une<br />famille de systèmes de contrôle linéaires, et on se pose la question<br />de savoir si on peut déterminer des contrôles pour ces systèmes<br />semi-discrétisés, convergeant, lorsque le pas de discrétisation tend<br />vers zéro, vers un contrôle pour le modèle continu, permettant<br />d'atteindre un certain point. Pour des EDP<br />linéaires contrôlables, il existe de nombreuses<br />méthodes pour réaliser la contrôlabilité~; parmi elles, la méthode HUM<br />(\textit{Hilbert Uniqueness Method})<br />consiste à minimiser la norme $L^2$ du<br />contrôle pour atteindre une cible fixée. Pour des systèmes<br />paraboliques exactement contrôlables à zéro, sous des conditions<br />standards sur le procédé de semi-discrétisation (vérifiées pour la<br />plupart des méthodes habituelles), lorsque l'opérateur de contrôle<br />n'est que faiblement non borné, on montre un résultat de<br />\textit{contrôlabilité uniforme} des systèmes de contrôles<br />discrétisés. De plus, on donne un procédé de minimisation pour<br />calculer des contrôles sur les modèles approchés, qui convergent<br />vers le contrôle HUM du modèle continu permettant d'atteindre une<br />certaine cible.<br />La condition sur l'opérateur de contrôle est vérifiée, par exemple,<br />pour l'équation de la chaleur avec contrôle frontière de type Neumann,<br />et des simulations numériques sont présentées dans ce cadre.

In this lecture we introduce a new transfinite dimension function for metric spaces which utilizes Henderson's topological D-dimension and ascribes to any metric space either an ordinal number or the symbol Ω. The construction of our function is motivated by that of Urbański's transfinite Hausdorff dimension, tHD. Henderson's dimension is a topological invariant, however, like Hausdorff dimension and tHD the function presented will be invariant under bi-Lipschitz continuous maps and generally not under homeomorphisms. We present some original results on D-dimension and build the general theory for the D-variant of transfinite Hausdorff dimension, \mathrm{t}_D\mathrm{HD}. In particular, we will show for any ordinal number α, existence of a metrizable space which has \mathrm{t}_D\mathrm{HD} greater than or equal to α and less than or equal to \omega_\tau, where τ is the least ordinal which satisfies α < \omega_\tau.

No description available.

The effects of environmental factors were investigated in fractal dimension (D) of Gracilaria tenuistpitata. G. tenuistipitata was cultured indoors under various factors for 30 days. Algal thalli were pressed on flat surface for photopraph with optical or digital camera to measure fractal dimension based on the relationship between levels and numbers of algal branch. Environment factors in this study were including illumination (L¡F 45~365£gmol¡Em-2¡Es-1), water flow (F¡F 80~900L¡Eh-1), temperature (T¡F 10~35¢J) and salinity (S¡F 10~50 ppt). The results of ANOVA and General linear models showed that illumination, temperature and salinity but water flow significantly affected thallus fractal dimension with the maximum at 255£gmol¡Em-2¡Es-1, 19¢J and 24 ppt respectively, The cross reactions between environment factors did not significantly affect the fractal dimension, reflecting that environment factors affect the appearance of G. tenuistpitata independently. The effect of environment factors on biomass of G. tenuistpitata was studied in each experiment and the results showed that all environment factors tested in this study significantly affected the biomass of G. tenuistpitata.

Diss.--Mathematik--Darmstadt--Technische Universität, 2002. / Bibliogr. p. [150]-153.

Thesis (M.S.)--Oregon State University, 2010. / Printout. Includes bibliographical references (leaves 67-71). Also available on the World Wide Web.