Os padrões de fratura são objeto de intensas investigações em várias áreas do conhecimento. Além disso, a busca por métodos matemáticos para simulação de mapas de fratura em meios geológicos tem sido alvo de muitas investigações. Este trabalho apresenta um estudo sobre a dimensão fractal de padrões de fraturas geológicas e a simulação de um mapa de fratura geológica através da análise fractal de áreas estruturalmente homogêneas na região Central do Brasil. As dimensões fractais são determinadas pelos métodos Box-counting e Cantor’s Dust num sistema anisotrópico de fraturas, a fim de caracterizar áreas geológicas selecionadas. A dimensão fractal obtida pelo método Box-counting possui valores entre um e dois, mas não permite analisar anisotropias de comprimento das fraturas, ou mesmo na sua distribuição espacial. A dimensão fractal obtida com o método de Cantor’s Dust, por outro lado, possui valores entre zero e um e fornece mecanismos adequados à avaliação da anisotropia das redes de fraturas geológicas. Deve-se observar, a partir dos resultados obtidos, que a dimensão fractal (Cantor’s Dust) depende das direções de fratura e que o número de interseções de fraturas aumenta com a diminuição da dimensão fractal. A dimensão fractal (Cantor’s Dust) também varia conforme a direção da rede de linhas ortogonais, indicando o caráter levemente anisotrópico dos padrões de fratura geológica sob análise. A análise estrutural dos padrões de fratura foi efetuada sobre as direções, o comprimento e a freqüência das fraturas de cada área homogênea. Assim, foi possível determinar uma relação entre a freqüência de fratura e a dimensão fractal. A simulação de um padrão de fraturas por método analítico levou em conta a direção e a freqüência de fratura e a dimensão fractal (Cantor’s Dust). Os resultados alcançados para o mapa de fraturas simulado são muito bons, principalmente pelo fato de não ter sido computado, nessa primeira versão, o comprimento das fraturas. / The fracture patterns are subject of large investigations in a number of knowledge areas. The mathematical methods research to simulate fractures patterns in geological media is also intense. This work aims to contribute for such investigations and presents the results of geological fracture pattern analysis (structural and fractal analysis) and an analytical procedure to simulate such fracture pattern. The fracture analysis was conducted in structurally homogeneous areas in Central Brazil. The fractal dimensions were computed by both Box-counting and Cantor’s Dust methods, in order to characterize each geological area. Box-counting fractal dimensions showed values in the range 1 and 2, but did not enable to evaluate fracture anisotropies, such as fracture length, frequency and orientation. On the other hand, Cantor’s Dust fractal dimensions showed values between 0 and 1, so it is able to determine fracture anisotropies, since orthogonal grid rotation defined different fractal dimensions. The structural analysis of the fracture patterns was conducted taking into account fracture directions, length and frequency. In this way, it is possible to correlate fracture frequency and Cantor’s Dust fractal dimensions. The achieved results for the fracture lineament map simulation are reasonable good, because it did not consider the fracture length according each direction.

Os padrões de fratura são objeto de intensas investigações em várias áreas do conhecimento. Além disso, a busca por métodos matemáticos para simulação de mapas de fratura em meios geológicos tem sido alvo de muitas investigações. Este trabalho apresenta um estudo sobre a dimensão fractal de padrões de fraturas geológicas e a simulação de um mapa de fratura geológica através da análise fractal de áreas estruturalmente homogêneas na região Central do Brasil. As dimensões fractais são determinadas pelos métodos Box-counting e Cantor’s Dust num sistema anisotrópico de fraturas, a fim de caracterizar áreas geológicas selecionadas. A dimensão fractal obtida pelo método Box-counting possui valores entre um e dois, mas não permite analisar anisotropias de comprimento das fraturas, ou mesmo na sua distribuição espacial. A dimensão fractal obtida com o método de Cantor’s Dust, por outro lado, possui valores entre zero e um e fornece mecanismos adequados à avaliação da anisotropia das redes de fraturas geológicas. Deve-se observar, a partir dos resultados obtidos, que a dimensão fractal (Cantor’s Dust) depende das direções de fratura e que o número de interseções de fraturas aumenta com a diminuição da dimensão fractal. A dimensão fractal (Cantor’s Dust) também varia conforme a direção da rede de linhas ortogonais, indicando o caráter levemente anisotrópico dos padrões de fratura geológica sob análise. A análise estrutural dos padrões de fratura foi efetuada sobre as direções, o comprimento e a freqüência das fraturas de cada área homogênea. Assim, foi possível determinar uma relação entre a freqüência de fratura e a dimensão fractal. A simulação de um padrão de fraturas por método analítico levou em conta a direção e a freqüência de fratura e a dimensão fractal (Cantor’s Dust). Os resultados alcançados para o mapa de fraturas simulado são muito bons, principalmente pelo fato de não ter sido computado, nessa primeira versão, o comprimento das fraturas. / The fracture patterns are subject of large investigations in a number of knowledge areas. The mathematical methods research to simulate fractures patterns in geological media is also intense. This work aims to contribute for such investigations and presents the results of geological fracture pattern analysis (structural and fractal analysis) and an analytical procedure to simulate such fracture pattern. The fracture analysis was conducted in structurally homogeneous areas in Central Brazil. The fractal dimensions were computed by both Box-counting and Cantor’s Dust methods, in order to characterize each geological area. Box-counting fractal dimensions showed values in the range 1 and 2, but did not enable to evaluate fracture anisotropies, such as fracture length, frequency and orientation. On the other hand, Cantor’s Dust fractal dimensions showed values between 0 and 1, so it is able to determine fracture anisotropies, since orthogonal grid rotation defined different fractal dimensions. The structural analysis of the fracture patterns was conducted taking into account fracture directions, length and frequency. In this way, it is possible to correlate fracture frequency and Cantor’s Dust fractal dimensions. The achieved results for the fracture lineament map simulation are reasonable good, because it did not consider the fracture length according each direction.

Os padrões de fratura são objeto de intensas investigações em várias áreas do conhecimento. Além disso, a busca por métodos matemáticos para simulação de mapas de fratura em meios geológicos tem sido alvo de muitas investigações. Este trabalho apresenta um estudo sobre a dimensão fractal de padrões de fraturas geológicas e a simulação de um mapa de fratura geológica através da análise fractal de áreas estruturalmente homogêneas na região Central do Brasil. As dimensões fractais são determinadas pelos métodos Box-counting e Cantor’s Dust num sistema anisotrópico de fraturas, a fim de caracterizar áreas geológicas selecionadas. A dimensão fractal obtida pelo método Box-counting possui valores entre um e dois, mas não permite analisar anisotropias de comprimento das fraturas, ou mesmo na sua distribuição espacial. A dimensão fractal obtida com o método de Cantor’s Dust, por outro lado, possui valores entre zero e um e fornece mecanismos adequados à avaliação da anisotropia das redes de fraturas geológicas. Deve-se observar, a partir dos resultados obtidos, que a dimensão fractal (Cantor’s Dust) depende das direções de fratura e que o número de interseções de fraturas aumenta com a diminuição da dimensão fractal. A dimensão fractal (Cantor’s Dust) também varia conforme a direção da rede de linhas ortogonais, indicando o caráter levemente anisotrópico dos padrões de fratura geológica sob análise. A análise estrutural dos padrões de fratura foi efetuada sobre as direções, o comprimento e a freqüência das fraturas de cada área homogênea. Assim, foi possível determinar uma relação entre a freqüência de fratura e a dimensão fractal. A simulação de um padrão de fraturas por método analítico levou em conta a direção e a freqüência de fratura e a dimensão fractal (Cantor’s Dust). Os resultados alcançados para o mapa de fraturas simulado são muito bons, principalmente pelo fato de não ter sido computado, nessa primeira versão, o comprimento das fraturas. / The fracture patterns are subject of large investigations in a number of knowledge areas. The mathematical methods research to simulate fractures patterns in geological media is also intense. This work aims to contribute for such investigations and presents the results of geological fracture pattern analysis (structural and fractal analysis) and an analytical procedure to simulate such fracture pattern. The fracture analysis was conducted in structurally homogeneous areas in Central Brazil. The fractal dimensions were computed by both Box-counting and Cantor’s Dust methods, in order to characterize each geological area. Box-counting fractal dimensions showed values in the range 1 and 2, but did not enable to evaluate fracture anisotropies, such as fracture length, frequency and orientation. On the other hand, Cantor’s Dust fractal dimensions showed values between 0 and 1, so it is able to determine fracture anisotropies, since orthogonal grid rotation defined different fractal dimensions. The structural analysis of the fracture patterns was conducted taking into account fracture directions, length and frequency. In this way, it is possible to correlate fracture frequency and Cantor’s Dust fractal dimensions. The achieved results for the fracture lineament map simulation are reasonable good, because it did not consider the fracture length according each direction.

A Dimensão Fractal pode ser utilizada para medir algumas características ligadas a complexidade da imagem, permitindo seu uso em análise de formas e texturas e reconhecimento de padrões. Neste trabalho é apresentado um estudo comparativo entre alguns dos principais métodos de estimativa da Dimensão Fractal. Foi realizada uma análise experimental e um estudo de casos para cada uma das técnicas, levando em consideração aspectos de implementação, precisão, variação de resultados segundo ajuste de parâmetros e tolerância a ruídos. Neste trabalho também foi desenvolvido um estudo sobre a Dimensão Fractal Multiescala, visando seu emprego como metodologia de assinatura de complexidade. Na literatura a técnica de multiescala é limitada ao método de Bouligand-Minkowski, sendo aqui ela estendida para outras metodologias de estimativa de Dimensão Fractal. Por meio de análise experimental as metodologias propostas foram comparadas e os resultados discutidos, enfatizando as vantagens e desvantagens destas técnicas. / Fractal Dimension can be used to measure some characteristics related to the image complexity, allowing its use on shape and texture analysis and pattern recognition. In this work is presented a comparative study among some of the most important methods to estimate Fractal Dimension. It was performed a experimental analysis and a case study for each one of the techniques, considering implementation aspects, precision, variation of results under parameters adjustments and noise tolerance. In this work is also performed a study about MultiScale Fractal Dimension, aiming at its use as a methodology of complexity signature. In the literature the multiscale technique is limited to Bouligand-Minkowski method, being here it extended to other methodologies of estimative of Fractal Dimension. By experimental analysis the proposed methodologies were compared and the results argued, emphasizing the advantages and disadvantages of those techniques.

A Dimensão Fractal pode ser utilizada para medir algumas características ligadas a complexidade da imagem, permitindo seu uso em análise de formas e texturas e reconhecimento de padrões. Neste trabalho é apresentado um estudo comparativo entre alguns dos principais métodos de estimativa da Dimensão Fractal. Foi realizada uma análise experimental e um estudo de casos para cada uma das técnicas, levando em consideração aspectos de implementação, precisão, variação de resultados segundo ajuste de parâmetros e tolerância a ruídos. Neste trabalho também foi desenvolvido um estudo sobre a Dimensão Fractal Multiescala, visando seu emprego como metodologia de assinatura de complexidade. Na literatura a técnica de multiescala é limitada ao método de Bouligand-Minkowski, sendo aqui ela estendida para outras metodologias de estimativa de Dimensão Fractal. Por meio de análise experimental as metodologias propostas foram comparadas e os resultados discutidos, enfatizando as vantagens e desvantagens destas técnicas. / Fractal Dimension can be used to measure some characteristics related to the image complexity, allowing its use on shape and texture analysis and pattern recognition. In this work is presented a comparative study among some of the most important methods to estimate Fractal Dimension. It was performed a experimental analysis and a case study for each one of the techniques, considering implementation aspects, precision, variation of results under parameters adjustments and noise tolerance. In this work is also performed a study about MultiScale Fractal Dimension, aiming at its use as a methodology of complexity signature. In the literature the multiscale technique is limited to Bouligand-Minkowski method, being here it extended to other methodologies of estimative of Fractal Dimension. By experimental analysis the proposed methodologies were compared and the results argued, emphasizing the advantages and disadvantages of those techniques.

Made available in DSpace on 2016-03-15T19:37:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Paulo Cesar da Costa.pdf: 4253113 bytes, checksum: 8fe9dda35243a879336e5fa6037d55cb (MD5) Previous issue date: 2014-02-18 / The concepts of fractal geometry, which were developed in 1975 by Mandelbrot, complement Euclidean geometry as they provide theoretical dimensional fundamentals for shapes whose irregularities cannot be properly interpreted by classical topological definitions. The standards of this irregular morphology, found in abundance in nature, can be recognized in the construction processes of various fractals anthropic figures, mainly when combined with computational technology. Professionals and researchers from several knowledge fields are exploring these concepts to simulate or create models of irregular shapes, with detail levels hitherto inconceivable. Earth sciences supported by geotechnologies have great potential for applying Mandelbrot s theories as a conceptual reference for analyzing phenomena presenting fractal behaviors, belonging to different application areas as geomorphology, climatology and urban and landscapes studies. In this approach, the fractal dimension of the territorial space occupied by cities is considered an indicator for understanding occupation patterns as one of the factors to be considered in urban planning policies, e.g., to propose projects for more appropriate investments distribution and development of infrastructure. In this work, these concepts were applied by using the box-counting method to calculate the fractal dimension of urban forms from eight Brazilian state capitals by using the Municipal Human Development Index (MHDI) as the selection criteria: four cities ranked among the top of the list and four cities classified among the last positions of the state capitals. The results were analyzed in order to identify possible relationships or trends among these indicators, namely, fractal dimension and MHDI, that may support future studies and urban planning. These relationships were not confirmed: the eight studied cities presented heterogeneous fractal dimension values and no trends were verified. However, it was concluded that the fractal dimension of urban form is related to its scattering pattern and occupation over the geographical territorial space and may be an indicator of the occupation density from the urban area. / Os conceitos da geometria fractal, desenvolvida em 1975 por Mandelbrot, complementam os da geometria euclidiana à medida que fornecem um arcabouço teórico de cálculo dimensional para diversas formas cujas irregularidades apresentam características que não podem ser interpretadas adequadamente pelas definições topológicas clássicas. Os padrões dessa morfologia irregular, encontrada em abundância na natureza, podem ser reproduzidos em processos de construção de figuras fractais desenvolvidas pelo homem, especialmente quando combinadas com a tecnologia computacional. Profissionais e pesquisadores de diversas áreas de conhecimento passaram a explorar esses conceitos a fim de simular ou criar modelos de formas irregulares, com níveis de detalhe até então inconcebíveis. As ciências da Terra, com o apoio de ferramentas de geotecnologia, apresentam grande potencial de se apropriar das teorias da geometria de Mandelbrot, como referência conceitual aos estudos de fenômenos que apresentam comportamento fractal, pertencentes a várias áreas de aplicação como a geomorfologia, climatologia e os estudos urbanos e de paisagens. Nessa abordagem, a dimensão fractal do espaço territorial ocupado pelas cidades vem sendo considerada indicador importante para entendimento desse padrão de ocupação, contribuindo como um dos fatores a ser considerados nas políticas de planejamento urbano e, por exemplo, propor projetos de distribuição de investimentos e desenvolvimento de infraestrutura mais adequados. Neste trabalho, esses conceitos foram aplicados por meio da utilização do método da contagem de quadrados para calcular a dimensão fractal das formas urbanas de oito capitais brasileiras, utilizando o Índice de Desenvolvimento Humano Municipal (IDHM) de 2010, publicado em julho de 2013, como critério de seleção. Foram escolhidas quatro cidades classificadas entre as primeiras da lista e outras quatro que ocupam as últimas posições entre as capitais estaduais, com o objetivo de encontrar possíveis relações ou tendências entre esses indicadores dimensão fractal e IDHM que pudessem subsidiar futuros estudos e planejamentos urbanos. Os resultados obtidos não revelaram a existência de tais relações: as oito cidades estudadas apresentaram valores dimensionais heterogêneos, sem registro de tendências. No entanto, foi possível concluir que a dimensão fractal de uma forma urbana está relacionada ao seu padrão de espalhamento e ocupação do espaço territorial geográfico e pode ser considerada um indicador da densidade de ocupação da área urbana.

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