Der Einsatz der Finite-Element-Methode bei linearen piezoelektrischen Problemen führt auf eine Systemmatrix der Struktur \[\left( \begin{array}{lr} C & B \\ B^T & -K \end{array} \right)\] mit positiv definiten Blockmatrizen C und K. Zur Lösung indefiniter Gleichungssysteme, die diese symmetrische Blockstruktur besitzen, kann der Bramble--Pasciak--CG eingesetzt werden. Entscheidend für eine schnelle Lösung ist es dabei, gute Vorkonditionierer für den Block C sowie für ein inexaktes Schurkomplement zu finden. Nachfolgend wird das Schurkomplement auf Spektraläquivalenz zur Blockmatrix K untersucht, für welche gute Vorkonditionierer bekannt sind. / Using the Finite-Element-Method with linear piezoelectric problems leads to a linear system of the structure \[\left( \begin{array}{lr} C & B \\ B^T & -K \end{array} \right)\] with symmetric positive definite matrix blocks C and K. The Bramble--Pasciak--CG is a possible solver for indefinite linear systems of equations with this special symmetric block structure. Essential for fast solving are good preconditioners for the block C as well as for an inexact Schur complement. In the following, the Schur complement is examined to spectral equivalence with the matrix K. For K quite good preconditioners are known.

Variants on the choice of nessecary control parameters in the generalized Bramble-Pasciak-CG method are discussed.

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die numerische Simulation piezoelektrischen Materialverhaltens, sowie spezieller Probleme aus der Mechanik (inkompressibles Materialverhalten) unter Anwendung der Methode der finiten Elemente. Hierbei wird die Strategie der adaptiven Netzsteuerung angewendet, welche mit Hilfe einer lokalisierten a-posteriori Fehlerschätzung erlaubt, den lokalen Feinheitsgrad der Diskretisierung den Besonderheiten der Aufgabenstellung anzupassen. Beide betrachteten Problemklassen führen nach der Diskretisierung und FEM auf Gleichungssysteme in spezieller Blockstruktur, die insgesamt symmetrisch, aber nicht positiv definit ist. Als Löser kann nicht der gewöhnliche CG verwendet werden, stattdessen wird eine Variante des Bramble-Pasciak-CGs benutzt, welcher als Speziallöser die Matrizenstruktur ausnutzt. Für diesen Löser wird eine Strategie zur Parameterwahl vorgeschlagen sowie die Wirksamkeit einer Vorkonditionierung im piezoelektrischen Fall theoretisch nachgewiesen. Weiterhin wird die FEM einschließlich Adaptivität für Piezomaterialien auf rotationssymmetrische Probleme erweitert, so daß diese spezielle Problemklasse zweidimensional gerechnet werden kann. Numerische Vergleiche mit echter 3D-Rechnung illustrieren enorme Vorteile in Genauigkeit und Rechenaufwand. Im letzten Kapitel werden in piezoelektrische Materialien hineinwachsende Risse betrachtet und entsprechende Anpassungen vorgenommen. Mit Wahl geeigneter Datenstrukturen und einer passenden Vorkonditionierung ist es möglich, eine Simulationssoftware bereitzustellen welche als Grundlage zum Test von Bruchkriterien verwendet werden kann. Die beschriebenen numerischen Methoden wurden in ein bestehendes adaptives 2D-FEM-Programm implementiert, und an ausgewählten Beispielen ein Vergleich mit einer analytischen Lösung durchgeführt sowie die Effektivität der Rechnung getestet.

Variants on the choice of nessecary control parameters in the generalized Bramble-Pasciak-CG method are discussed.

Der Einsatz der Finite-Element-Methode bei linearen piezoelektrischen Problemen führt auf eine Systemmatrix der Struktur \[\left( \begin{array}{lr} C & B \\ B^T & -K \end{array} \right)\] mit positiv definiten Blockmatrizen C und K. Zur Lösung indefiniter Gleichungssysteme, die diese symmetrische Blockstruktur besitzen, kann der Bramble--Pasciak--CG eingesetzt werden. Entscheidend für eine schnelle Lösung ist es dabei, gute Vorkonditionierer für den Block C sowie für ein inexaktes Schurkomplement zu finden. Nachfolgend wird das Schurkomplement auf Spektraläquivalenz zur Blockmatrix K untersucht, für welche gute Vorkonditionierer bekannt sind. / Using the Finite-Element-Method with linear piezoelectric problems leads to a linear system of the structure \[\left( \begin{array}{lr} C & B \\ B^T & -K \end{array} \right)\] with symmetric positive definite matrix blocks C and K. The Bramble--Pasciak--CG is a possible solver for indefinite linear systems of equations with this special symmetric block structure. Essential for fast solving are good preconditioners for the block C as well as for an inexact Schur complement. In the following, the Schur complement is examined to spectral equivalence with the matrix K. For K quite good preconditioners are known.

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die numerische Simulation piezoelektrischen Materialverhaltens, sowie spezieller Probleme aus der Mechanik (inkompressibles Materialverhalten) unter Anwendung der Methode der finiten Elemente. Hierbei wird die Strategie der adaptiven Netzsteuerung angewendet, welche mit Hilfe einer lokalisierten a-posteriori Fehlerschätzung erlaubt, den lokalen Feinheitsgrad der Diskretisierung den Besonderheiten der Aufgabenstellung anzupassen. Beide betrachteten Problemklassen führen nach der Diskretisierung und FEM auf Gleichungssysteme in spezieller Blockstruktur, die insgesamt symmetrisch, aber nicht positiv definit ist. Als Löser kann nicht der gewöhnliche CG verwendet werden, stattdessen wird eine Variante des Bramble-Pasciak-CGs benutzt, welcher als Speziallöser die Matrizenstruktur ausnutzt. Für diesen Löser wird eine Strategie zur Parameterwahl vorgeschlagen sowie die Wirksamkeit einer Vorkonditionierung im piezoelektrischen Fall theoretisch nachgewiesen. Weiterhin wird die FEM einschließlich Adaptivität für Piezomaterialien auf rotationssymmetrische Probleme erweitert, so daß diese spezielle Problemklasse zweidimensional gerechnet werden kann. Numerische Vergleiche mit echter 3D-Rechnung illustrieren enorme Vorteile in Genauigkeit und Rechenaufwand. Im letzten Kapitel werden in piezoelektrische Materialien hineinwachsende Risse betrachtet und entsprechende Anpassungen vorgenommen. Mit Wahl geeigneter Datenstrukturen und einer passenden Vorkonditionierung ist es möglich, eine Simulationssoftware bereitzustellen welche als Grundlage zum Test von Bruchkriterien verwendet werden kann. Die beschriebenen numerischen Methoden wurden in ein bestehendes adaptives 2D-FEM-Programm implementiert, und an ausgewählten Beispielen ein Vergleich mit einer analytischen Lösung durchgeführt sowie die Effektivität der Rechnung getestet.