This thesis investigates the numerical simulation of three-dimensional, mechanical deformation problems in the context of large deformations. The main focus lies on the prediction of non-linearly elastic, incompressible material. Based on the equilibrium of forces, we present the weak formulation of the large deformation problem. The discrete version can be derived by using linearisation techniques and an adaptive mixed finite element method. This problem turns out to be a saddle point problem that can, among other methods, be solved via the Bramble-Pasciak conjugate gradient method or the minimal residual algorithm. With some modifications the resulting simulation can be improved but we also address remaining limitations. Some numerical examples show the capability of the final FEM software. In addition, we briefly discuss the special case of linear elasticity with small deformations. Here we directly derive a linear weak formulation with a saddle point structure and apply the adaptive mixed finite element method. It is shown that the presented findings can also be used to treat the nearly incompressible case.

This thesis investigates the numerical simulation of three-dimensional, mechanical deformation problems in the context of large deformations. The main focus lies on the prediction of non-linearly elastic, incompressible material. Based on the equilibrium of forces, we present the weak formulation of the large deformation problem. The discrete version can be derived by using linearisation techniques and an adaptive mixed finite element method. This problem turns out to be a saddle point problem that can, among other methods, be solved via the Bramble-Pasciak conjugate gradient method or the minimal residual algorithm. With some modifications the resulting simulation can be improved but we also address remaining limitations. Some numerical examples show the capability of the final FEM software. In addition, we briefly discuss the special case of linear elasticity with small deformations. Here we directly derive a linear weak formulation with a saddle point structure and apply the adaptive mixed finite element method. It is shown that the presented findings can also be used to treat the nearly incompressible case.

This thesis gives an overview over mathematical modeling of complex fluids with the discussion of underlying mechanical principles, the introduction of the energetic variational framework, and examples and applications. The purpose is to present a formal energetic variational treatment of energies corresponding to the models of physical phenomena and to derive PDEs for the complex fluid systems. The advantages of this approach over force-based modeling are, e.g., that for complex systems energy terms can be established in a relatively easy way, that force components within a system are not counted twice, and that this approach can naturally combine effects on different scales. We follow a lecture of Professor Dr. Chun Liu from Penn State University, USA, on complex fluids which he gave at the University of Wuerzburg during his Giovanni Prodi professorship in summer 2012. We elaborate on this lecture and consider also parts of his work and publications, and substantially extend the lecture by own calculations and arguments (for papers including an overview over the energetic variational treatment see [HKL10], [Liu11] and references therein). / Die vorliegende Masterarbeit beschaeftigt sich mit der mathematischen Modellierung komplexer Fluessigkeiten. Nach einer Einfuehrung in das Thema der komplexen Fluessigkeiten werden grundlegende mechanische Prinzipien im zweiten Kapitel vorgestellt. Im Anschluss steht eine Einfuehrung in die Modellierung mit Hilfe von Energien und eines variationellen Ansatzes. Dieser wird im vierten Kapitel auf konkrete Beispiele komplexer Fluessigkeiten angewendet. Dabei werden zunaechst viskoelastische Materialien (z.B. Muskelmasse) angefuehrt und ein Modell fuer solche beschrieben, bei dem Eigenschaften von Festkoerpern und Fluessigkeiten miteinander kombiniert werden. Anschliessend untersuchen wir den Ursprung solcher Eigenschaften und die Auswirkungen von bestimmten Molekuelstrukturen auf das Verhalten der umgebenden Fluessigkeit. Dabei betrachten wir zunaechst ein Mehrskalen-Modell fuer Polymerfluessigkeiten und damit eine Kopplung mikroskopischer und makroskopischer Groessen. In einem dritten Beispiel beschaeftigen wir uns dann mit einem Model fuer nematische Fluessigkristalle, die in technischen Bereichen, wie beispielsweise der Displaytechnik, Anwendung finden. Geschlossen wird mit einem Ausblick auf weitere Anwendungsgebiete und mathematische Probleme. Wir folgen einer Vorlesung von Professor Dr. Chun Liu von der Penn State University, USA, die er im Sommer 2012 im Rahmen einer Giovanni-Prodi Gastprofessur an der Universitaet Wuerzburg ueber komplexe Fluessigkeiten gehalten hat. Bei der Ausarbeitung werden ebenfalls Teile seiner Veroeffentlichungen aufgegriffen und die Vorlesung durch eigene Rechnungen und Argumentationsschritte deutlich erweitert.

In dieser Publikation werden ein numerisches Verfahren zur Kalibrierung von Materialmodellen für die Simulation großer, nahezu inkompressibler hyperelastischer Verzerrungen sowie dessen numerische Realiserung im Rahmen einer gemischten Finite Elemente Formulierung vorgestellt. Dabei werden die Parameter der konstitutiven Beziehungen auf der Grundlage experimentell erfasster Verschiebungsfelder (vorzugsweise inhomogener) bzw. globaler Informationen ermittelt. Dieses inkorrekte, inverse Problem wird mit Hilfe eines deterministischen Optimierungsverfahrens vom trust-region-Typ gelöst. Wesentlicher Bestandteil ist dabei die halbanalytische Sensitivitätsanalyse, die ein effizientes und hochgenaues Verfahren zur Ermittlung des Gradienten der Zielfunktion darstellt. Sie erfordert die einmalige Lösung eines zur direkten Aufgabe analogen Gleichungssystems pro Parameter und Lastschritt und basiert auf der impliziten Differentiation der schwachen Formulierung des gemischten Randwertproblems nach den Materialparametern. Genauigkeit und Konvergenzverhalten der numerischen Algorithmen werden an illustrativen Beispielen mit synthetischen Messwerten demonstriert. Im Mittelpunkt stehen dabei Untersuchungen zur Abhängigkeit des Optimierungsergebnisses von den Startwerten für unterschiedliche konstitutive Ansätze der kompressiblen und nahezu inkompressiblen Elastizität.

Ziel dieser Arbeit ist die Simulation der Deformation von Bauteilen, welche aus nahezu inkompressiblem Material bestehen. Dabei soll sich das Material sowohl linear als auch nichtlinear elastisch verhalten können. Zusätzlich soll die Belastung des Bauteils beliebig gewählt werden können, das heißt, es sollen kleine als auch große Deformationen möglich sein.

In dieser Publikation werden ein numerisches Verfahren zur Kalibrierung von Materialmodellen für die Simulation großer, nahezu inkompressibler hyperelastischer Verzerrungen sowie dessen numerische Realiserung im Rahmen einer gemischten Finite Elemente Formulierung vorgestellt. Dabei werden die Parameter der konstitutiven Beziehungen auf der Grundlage experimentell erfasster Verschiebungsfelder (vorzugsweise inhomogener) bzw. globaler Informationen ermittelt. Dieses inkorrekte, inverse Problem wird mit Hilfe eines deterministischen Optimierungsverfahrens vom trust-region-Typ gelöst. Wesentlicher Bestandteil ist dabei die halbanalytische Sensitivitätsanalyse, die ein effizientes und hochgenaues Verfahren zur Ermittlung des Gradienten der Zielfunktion darstellt. Sie erfordert die einmalige Lösung eines zur direkten Aufgabe analogen Gleichungssystems pro Parameter und Lastschritt und basiert auf der impliziten Differentiation der schwachen Formulierung des gemischten Randwertproblems nach den Materialparametern. Genauigkeit und Konvergenzverhalten der numerischen Algorithmen werden an illustrativen Beispielen mit synthetischen Messwerten demonstriert. Im Mittelpunkt stehen dabei Untersuchungen zur Abhängigkeit des Optimierungsergebnisses von den Startwerten für unterschiedliche konstitutive Ansätze der kompressiblen und nahezu inkompressiblen Elastizität.

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die numerische Simulation piezoelektrischen Materialverhaltens, sowie spezieller Probleme aus der Mechanik (inkompressibles Materialverhalten) unter Anwendung der Methode der finiten Elemente. Hierbei wird die Strategie der adaptiven Netzsteuerung angewendet, welche mit Hilfe einer lokalisierten a-posteriori Fehlerschätzung erlaubt, den lokalen Feinheitsgrad der Diskretisierung den Besonderheiten der Aufgabenstellung anzupassen. Beide betrachteten Problemklassen führen nach der Diskretisierung und FEM auf Gleichungssysteme in spezieller Blockstruktur, die insgesamt symmetrisch, aber nicht positiv definit ist. Als Löser kann nicht der gewöhnliche CG verwendet werden, stattdessen wird eine Variante des Bramble-Pasciak-CGs benutzt, welcher als Speziallöser die Matrizenstruktur ausnutzt. Für diesen Löser wird eine Strategie zur Parameterwahl vorgeschlagen sowie die Wirksamkeit einer Vorkonditionierung im piezoelektrischen Fall theoretisch nachgewiesen. Weiterhin wird die FEM einschließlich Adaptivität für Piezomaterialien auf rotationssymmetrische Probleme erweitert, so daß diese spezielle Problemklasse zweidimensional gerechnet werden kann. Numerische Vergleiche mit echter 3D-Rechnung illustrieren enorme Vorteile in Genauigkeit und Rechenaufwand. Im letzten Kapitel werden in piezoelektrische Materialien hineinwachsende Risse betrachtet und entsprechende Anpassungen vorgenommen. Mit Wahl geeigneter Datenstrukturen und einer passenden Vorkonditionierung ist es möglich, eine Simulationssoftware bereitzustellen welche als Grundlage zum Test von Bruchkriterien verwendet werden kann. Die beschriebenen numerischen Methoden wurden in ein bestehendes adaptives 2D-FEM-Programm implementiert, und an ausgewählten Beispielen ein Vergleich mit einer analytischen Lösung durchgeführt sowie die Effektivität der Rechnung getestet.

The main focus of this work lies in the simulation of the deformation of mechanical components which consist of nonlinear elastic, incompressible material and that are subject to large deformations. Starting from a nonlinear formulation one can derive a discrete problem by using linearisation techniques and an adaptive mixed finite element method. This turns out to be a saddle point problem that can be solved via a Bramble-Pasciak conjugate gradient method. With some modifications the simulation can be improved.

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die numerische Simulation piezoelektrischen Materialverhaltens, sowie spezieller Probleme aus der Mechanik (inkompressibles Materialverhalten) unter Anwendung der Methode der finiten Elemente. Hierbei wird die Strategie der adaptiven Netzsteuerung angewendet, welche mit Hilfe einer lokalisierten a-posteriori Fehlerschätzung erlaubt, den lokalen Feinheitsgrad der Diskretisierung den Besonderheiten der Aufgabenstellung anzupassen. Beide betrachteten Problemklassen führen nach der Diskretisierung und FEM auf Gleichungssysteme in spezieller Blockstruktur, die insgesamt symmetrisch, aber nicht positiv definit ist. Als Löser kann nicht der gewöhnliche CG verwendet werden, stattdessen wird eine Variante des Bramble-Pasciak-CGs benutzt, welcher als Speziallöser die Matrizenstruktur ausnutzt. Für diesen Löser wird eine Strategie zur Parameterwahl vorgeschlagen sowie die Wirksamkeit einer Vorkonditionierung im piezoelektrischen Fall theoretisch nachgewiesen. Weiterhin wird die FEM einschließlich Adaptivität für Piezomaterialien auf rotationssymmetrische Probleme erweitert, so daß diese spezielle Problemklasse zweidimensional gerechnet werden kann. Numerische Vergleiche mit echter 3D-Rechnung illustrieren enorme Vorteile in Genauigkeit und Rechenaufwand. Im letzten Kapitel werden in piezoelektrische Materialien hineinwachsende Risse betrachtet und entsprechende Anpassungen vorgenommen. Mit Wahl geeigneter Datenstrukturen und einer passenden Vorkonditionierung ist es möglich, eine Simulationssoftware bereitzustellen welche als Grundlage zum Test von Bruchkriterien verwendet werden kann. Die beschriebenen numerischen Methoden wurden in ein bestehendes adaptives 2D-FEM-Programm implementiert, und an ausgewählten Beispielen ein Vergleich mit einer analytischen Lösung durchgeführt sowie die Effektivität der Rechnung getestet.

Ziel dieser Arbeit ist die Simulation der Deformation von Bauteilen, welche aus nahezu inkompressiblem Material bestehen. Dabei soll sich das Material sowohl linear als auch nichtlinear elastisch verhalten können. Zusätzlich soll die Belastung des Bauteils beliebig gewählt werden können, das heißt, es sollen kleine als auch große Deformationen möglich sein.:1. Einleitung 2. Grundlagen 3. Aufgabenstellung für linear elastisches Material unter kleinen Deformationen 4. Gemischte Methode der finiten Elemente 5. Herleitung der Fehlerschätzung 6. Aufgabenstellung für nichtlinear elastisches Material unter großen Deformationen 7. Lösungsstrategie A. Anhang