Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Le processus de Mumford bidimensionnel est un processus gaussien réel à accroissements stationnaires généralisé qui a été introduit par Mumford et Gidas, en vue de modéliser certaines images naturelles comme les nuages. Nous nous propposons d'étudier la généralisation d'un tel processus.

Texte remanié de : Ph. D : Mathématiques : University of Chicago : 1999. / Notes bibliogr.

Thèse diffusée initialement dans le cadre d'un projet pilote des Presses de l'Université de Montréal/Centre d'édition numérique UdeM (1997-2008) avec l'autorisation de l'auteur.

La vélocimétrie Doppler par ultrasons pulsés permet d'obtenir, le profil de vitesses d'un écoulement de fluide. L'estimation de la vitesse est réalisée, pour chaque volume de mesure, à partir du signal Doppler, obtenu à partir du signal rétrodiffusé démodulé et échantillonné, dont la fréquence est proportionnelle à la vitesse des particules. On démontre, dans le cas d'un transducteur plan et circulaire, pour un écoulement homogène et uniforme dans le volume de mesure, que la densité spectrale de puissance (DSP) de ce signal peut être modélisée par une gaussienne. Un algorithme de suppression du bruit blanc, basée sur l'identification paramétrique de la DSP est proposée et validée. Elle consiste à identifier, en temps réel, les différentes composantes de la DSP du signal Doppler en utilisant la méthode de Levenberg-Marquardt avec un modèle général gaussien. Le bruit blanc identifié est soustrait à la densité afin de permettre un calcul de moment non-biaisé par celui-ci.<br /><br />Le signal Doppler étant échantillonné par nature, il est soumis au théorème de Shannon qui impose une vitesse maximale mesurable nommée vitesse de Nyquist. Celle-ci est directement proportionnelle à la fréquence de répétition des trains d'ondes (PRF pour Pulse Repetition Frequency). La profondeur d'exploration est également liée au PRF. Ceci impose la principale limite de cette méthode, à savoir la relation inverse liant la profondeur d'exploration et la vitesse maximale mesurable. Une méthode permettant des mesures de vitesses au-delà de la limite de Nyquist est proposée. Elle se base sur l'utilisation de plusieurs fréquences de répétition des trains d'ondes. Le repliement différent pour chaque PRF permet l'apport d'information nécessaire à la résolution de l'ambiguïté sur les vitesses. Un algorithme original de reconstruction spectrale est proposé. Il permet de recombiner les DSP repliés obtenus pour chaque PRF afin de reproduire la DSP du signal Doppler.

Le problème étudié dans cette thèse est celui du débruitage d'images numériques cor- rompues par un bruit blanc gaussien. Les méthodes utilisées pour récupérer une meilleure image reposent sur les patchs et sont des variantes des Non-Local Means. Les contributions de la thèse sont à la fois pratiques et théoriques. Tout d'abord, on étudie précisément l'influence des divers paramètres de la méthode. On met ensuite en lumière une lim- ite observée sur le traitement des bords par les méthodes à patchs habituelles. On donne alors une meilleure façon de combiner l'information fournie à partir des patchs pour estimer pixel par pixel. D'un point de vue théorique, on présente un cadre non asymptotique pour contrôler notre estimateur. On donne alors des résultats de type inégalités oracles pour des estimateurs vérifiant des propriétés plus restrictives. Les techniques utilisées reposent sur l'agrégation d'estimateurs, et plus particulièrement sur l'agrégation à poids exponentiels. La méthode requiert typiquement une mesure du risque, obtenue à travers un estimateur sans biais de celui-ci, par exemple par la méthode de Stein. Les méthodes de débruitage étudiées sont analysées numériquement par simulations.

Nous présentons quelques contributions à l'estimation fonctionnelle par méthodes d'ondelettes.<br />Deux axes de recherches orientent notre travail. Premier axe: étude de modèles statistiques complexes. Le point de départ de notre étude est le modèle de bruit blanc gaussien généralisé et le modèle de régression à pas aléatoires.<br />Ceux-ci font intervenir une fonction perturbant l'estimation de la fonction inconnue.<br />Notre objectif est de montrer l'influence exacte de cette fonction parasite via l'approche minimax sous le risque Lp. Dans un premier temps,<br />nous utilisons des méthodes en ondelettes pour cerner les limites de cette approche lorsque l'on se place sur des boules de Besov standards. Dans un deuxième temps, nous étudions l'alternative des boules de Besov pondérées et des méthodes en ondelettes déformées.<br />Deuxième axe: estimation adaptative. Nous étudions les performances de plusieurs estimateurs de seuillage par blocs en ondelettes sous le risque Lp.<br />Nous montrons leurs excellentes propriétés minimax et maxisets pour un large panel de modèles statistiques. En guise d'applications, nous traitons le modèle de régression à pas aléatoires et le modèle de convolution en bruit blanc gaussien.

Thèse diffusée initialement dans le cadre d'un projet pilote des Presses de l'Université de Montréal/Centre d'édition numérique UdeM (1997-2008) avec l'autorisation de l'auteur.

La vélocimétrie Doppler par ultrasons pulsés permet d'obtenir, le profil de vitesses d'un écoulement de fluide. L'estimation de la vitesse est réalisée, pour chaque volume de mesure, à partir du signal Doppler, obtenu à partir du signal rétrodiffusé démodulé et échantillonné, dont la fréquence est proportionnelle à la vitesse des particules. On démontre, dans le cas d'un transducteur plan et circulaire, pour un écoulement homogène et uniforme dans le volume de mesure, que la densité spectrale de puissance (DSP) de ce signal peut être modélisée par une gaussienne. Un algorithme de suppression du bruit blanc, basée sur l'identification paramétrique de la DSP est proposée et validée. Elle consiste à identifier, en temps réel, les différentes composantes de la DSP du signal Doppler en utilisant la méthode de Levenberg-Marquardt avec un modèle général gaussien. Le bruit blanc identifié est soustrait à la densité afin de permettre un calcul de moment non-biaisé par celui-ci. Le signal Doppler étant échantillonné par nature, il est soumis au théorème de Shannon qui impose une vitesse maximale mesurable nommée vitesse de Nyquist. Celle-ci est directement proportionnelle à la fréquence de répétition des trains d'ondes (PRF pour Pulse Repetition Frequency). La profondeur d'exploration est également liée au PRF. Ceci impose la principale limite de cette méthode, à savoir la relation inverse liant la profondeur d'exploration et la vitesse maximale mesurable. Une méthode permettant des mesures de vitesses au-delà de la limite de Nyquist est proposée. Elle se base sur l'utilisation de plusieurs fréquences de répétition des trains d'ondes. Le repliement différent pour chaque PRF permet l'apport d'information nécessaire à la résolution de l'ambiguïté sur les vitesses. Un algorithme original de reconstruction spectrale est proposé. Il permet de recombiner les DSP repliés obtenus pour chaque PRF afin de reproduire la DSP du signal Doppler.

L'activité de notre cerveau est intrinsèquement rythmique : des oscillations sont observées à tous les niveaux de son organisation. Cette rythmicité de l'activité cérébrale influence notre perception. En effet, au lieu de superviser continuellement notre environnement, notre cerveau effectue de brèves " clichés " du monde extérieur (entre 5 et 15 par seconde). Cela crée des cycles perpétuels : notre perception visuelle fluctue en fonction de la phase de l'oscillation sous- jacente. De nombreuses données témoignent du fait que les oscillations cérébrales à différentes fréquences sont fondamentales à la formation de notre perception visuelle. Lors de cette thèse, nous avons utilisé le Paradigme de Bruit Blanc comme outil pour comprendre l'influence des oscillations sur la perception visuelle et qui par extension pourra être utilisé pour contrôler cette perception. Le paradigme de bruit blanc visuel utilise des séquences de flashs dont la luminance varie aléatoirement (créant ainsi du " bruit blanc "), comme stimuli, qui contraignent l'activité cérébrale de manière prédictible. Les réponses impulsionnelles à ces séquences de bruit blanc sont caractérisées par une composante oscillatoire forte dans la bande alpha (~10Hz), similaire à un écho perceptuel. Puisque les réponses impulsionnelles sont un modèle de la réponse de notre cerveau à un flash dans la séquence de bruit blanc, elles peuvent être utilisées pour reconstruire (plutôt qu'enregistrer) l'activité cérébrale en réponse à de nouvelles séquences de stimulation. Par ailleurs, des cibles ont été introduites au sein des séquences de bruit blanc à un niveau proche du seuil de perception, et le décours temporel de cette activité reconstruite autour de la présentation des cibles a été extrait. Ainsi, l'EEG reconstruit peut être utilisé pour étudier l'influence de ces oscillations contraintes sur la perception visuelle, indépendamment des autres types de signaux généralement enregistrés dans l'EEG. Dans un premier temps, nous avons validé le paradigme de bruit blanc en montrant que : 1) les séquences de bruits blancs influencent bien la détection des cibles, 2) les échos perceptuels évoqués par les séquences de bruit blancs sont stables dans le temps, 3) ces échos sont un bon modèle de l'activité cérébrale enregistrée par EEG, et 4) leurs bases neuronales se situent dans les aires visuelles primaires. Dans un second temps, nous avons étudié la relation entre ces oscillations cérébrales contrôlées par la séquence de bruit blanc et la détection des cibles. Ici, nous montrons que l'activité EEG reconstruite nous aide à déterminer la véritable latence à laquelle la phase de l'oscillation (thêta) influence la perception. De plus, nous avons aussi montré que l'amplitude de l'oscillation (alpha) influence la détection des cibles et ce, indépendamment des fluctuations des facteurs endogènes (tel que l'attention). Enfin, tirant parti de ce lien entre oscillation et perception, nous construisons deux algorithmes qui permettent de contrôler la perception des sujets. Tout d'abord, nous mettons au point un modèle " universel " de la perception qui permet de prédire, pour n'importe quel observateur, si une cible dans une séquence de bruit blanc sera vue ou non. Ensuite, nous construisons un modèle individuel qui utilise l'écho perceptuel de chaque sujet comme clé de cryptage et nous permet de présenter des cibles à des moments où la cible sera détectée par un sujet seulement au détriment de tous les autres sujets, créant ainsi une sorte de système de cryptage neuronal (" Neuro-Encryption "). / Our brain activity is inherently rhythmic: oscillations can be found at all levels of organization. This rhythmicity in brain activity gives a rhythm to what we see: instead of continuously monitoring the environment, our brains take "snapshots" of the external world from 5 to 15 times a second. This creates perceptual cycles: depending on the phase of the underlying oscillation, our perceptual abilities fluctuate. Accumulating evidence shows that brains oscillations at various frequencies are instrumental in shaping visual perception. At the heart of this thesis lies the White Noise Paradigm, which we designed as a tool to better understand the influence of oscillations on visual perception and which ultimately could be used to control visual perception. The White Noise Paradigm uses streams of flashes with random luminance (i.e. white noise) as stimuli, which have been shown to constrain brain oscillations in a predictable manner. The impulse response to WN sequences has a strong (subject specific) oscillatory component at ~10Hz akin to a perceptual echo. Since the impulse response is a model of how our brains respond to one single flash in the sequence, they can be used to reconstruct (rather than record) the brain activity to new stimulation sequences. We then present near-perceptual threshold targets embedded within the WN sequences and extract the time course of these predicted/reconstructed background oscillations around target presentation. Thus, the reconstructed EEG can be used to study the influence of the oscillatory components on visual perception, independently of other types of signals usually recorded in the EEG. First, we validate the White Noise Paradigm by showing that: 1) the WN sequences do modulate behaviour, 2) the perceptual echoes evoked by these WN sequences are stable in time, 3) they are a (relatively) good model of the subject's recorded brain activity and 4) their neuronal basis can be found in the early visual areas. Second, we investigate the relationship between these constrained brain oscillations and visual perception. Specifically, we show that the reconstructed EEG can help us recover the true latency at which (theta) phase influences perception. Moreover, it can help us uncover a causal influence of (alpha) power on target detection, independently from any fluctuation in endogenous factors. Finally, capitalizing on the link between oscillations and perception, we build two algorithms used to control the perception of subjects. First, we build a "universal" forward model which can predict for any observer whether a particular target will be seen or not. Second, we build a subject-dependent model which can predict whether a particular subject (for whom EEG was recorded previously) will perceive a given target or not. Critically, this can be used to present targets optimized to be perceived by one subject only, to the detriment of all other subjects, creating a sort of "Neuro-Encryption" system.