The main goal of this dissertation is to present some results on minimal hypersurfaces in the Euclidean space related to the stability operator. Initially, we will present the demonstrations of the formulas of first and second variations of area and also the demonstration of the Simons inequality. These results (which are basic results of the theory) will be used later. Next we will present the proof of the do Carmo-Peng s theorem showing that a complete stable minimal hypersurface immersed in the Euclidean space with finite L2 norm of the second fundamental form is a hyperplane. We will include in this dissertation a similar result with the L3 norm of the second fundamental form. This last result was proved by Li-Wei in the case where the hypersurface has dimension 3, but we note that proof applies to 3≤n≤7. We will conclude by presenting some results on non-stable minimal hypersurfaces in R^3 due to Fischer-Colbrie and Lopez-Ros. In particular, we will show that the catenoid and Enneper s surface are the only minimal complete orientable surfaces with index equal to one. / O objetivo principal desta dissertação é apresentar alguns resultados importantes sobre hipersuperfícies mínimas no espaço Euclidiano relacionados com o operador de estabilidade. Inicialmente, apresentaremos as demonstrações das fórmulas da primeira e da segunda variações da área bem como a demonstração da desigualdade de Simons. Estes resultados, que são básicos da teoria, serão usados posteriormente. Em seguida, apresentaremos a demonstração do teorema de do Carmo-Peng, o qual assegura que uma hipersuperfície mínima completa estável imersa no espaço Euclidiano com a norma L2 da segunda forma fundamental finita é um hiperplano. Incluiremos na dissertação um resultado análogo com a norma L3 da segunda forma fundamental. Este último resultado foi provado por Li-Wei no caso em que a hipersuperfície tem dimensão 3, mas notamos que a demonstração se aplica para 3≤n≤7. Concluiremos apresentando alguns resultados sobre hipersuperfícies mínimas não estáveis no R^3 obtido por Fischer-Colbrie e López-Ros. Em particular, mostraremos que o catenóide e a superfície de Enneper são as únicas superfícies mínimas completas e orientadas com índice igual a um.

In this dissertation, we study a characterization of the flat equatorial disk and the critical catenoid in the unitary ball B3 of R3 in terms of its second fundamental form. The work developed here is based on the article “A gap theorem for free boundary minimal surfaces in the three-ball” by Lucas Ambrozio and Ivaldo Nunes. / Nesta dissertação, estudamos uma caracterização do disco equatorial plano e do catenóide crítico na bola unitária B3 do R3 em termos da sua segunda forma fundamental. O trabalho aqui desenvolvido baseia-se no artigo “A gap theorem for free boundary minimal surfaces in the three-ball” de Lucas Ambrozio e Ivaldo Nunes.