PEREIRA, José Ilhano da Silva. Hipersuperfícies mínimas de R4 com curvatura de Gauss-Kronecker nula. 2017. 44 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-10-02T15:01:31Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_jispereira.pdf: 596580 bytes, checksum: 3c2c1a16d4ce273bfb7c246f7926c01a (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Boa tarde, Estou devolvendo a Dissertação de JOSÉ ILHANO DA SILVA PEREIRA, pois há alguns erros a serem corrigidos. Os mesmos seguem listados a seguir. 1- FOLHA DE APROVAÇÃO (substitua a folha de aprovação, por outra que não contenha as assinaturas dos membros da banca examinadora) 2- NUMERAÇÃO INDEVIDA (a numeração indevida de página que aparece na folha de aprovação deve ser retirada) 3- RESUMO (retire o recuo de parágrafo presente no resumo e no abstract) 4- PALAVRAS-CHAVE (apenas o primeiro elemento de cada palavra-chave deve começar com letra maiúscula, assim reescreva as palavras-chave como no exemplo a seguir: Hipersuperfícies mínimas) 5- SUMÁRIO (Os títulos dos capítulos principais, que aparecem no sumário e no interior do trabalho, devem estar em caixa alta (letra maiúscula). Ex.: 2 PRELIMINARES 2.1 Tensores 6 – REFERÊNCIAS (retire o conjunto de “citações” à autores que aparece no final das referências bibliográficas, pois elas fogem ao padrão ABNT para a página das referências) Atenciosamente, on 2017-10-04T17:50:58Z (GMT) / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-10-23T19:57:28Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_jispereira.pdf: 333124 bytes, checksum: 37989a2f3787d5914a0c0553afd4e89f (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-11-01T12:35:13Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_jispereira.pdf: 333124 bytes, checksum: 37989a2f3787d5914a0c0553afd4e89f (MD5) / Made available in DSpace on 2017-11-01T12:35:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_jispereira.pdf: 333124 bytes, checksum: 37989a2f3787d5914a0c0553afd4e89f (MD5) Previous issue date: 2017-08-25 / This work does study the complete minimal hypersurfaces in the Euclidean space R4 , with Gauss-Kronecker curvature identically zero. Our main result is to prove that if f: M3 → R4 is a complete minimal hypersurface with Gauss-Kronecker curvature identically zero, nowhere vanishing second fundamental form and scalar curvature boun-ded from below, then f(M3) splits as a Euclidean product L2 × R , where L2 is a complete minimal surface in R3 with Gaussian curvature bounded from below. Moreover, we show a result about the Gauss-Kronecker curvature of f, without any assumption on the scalar curvature. / Este trabalho tem como objetivo estudar as hipersuperfícies mínimas em R4, com curvatura de Gauss-Kronecker identicamente zero. Como resultado principal provamos que se f : M3 → R4 é uma hipersuperfície mínima com curvatura de Gauss-Kronecker identicamente zero, segunda forma fundamental não se anulando em nenhum ponto e curvatura escalar limitada inferiormente, então f(M3) se decompõe como um produto euclidiano do tipo L2 × R , onde L2 é uma superfície mínima de R3 com curvatura Gaussiana limitada inferiormente. Finalmente, apresentamos um resultado sobre a curvatura de Gauss-Kronecker de f sem nenhuma hipótese sobre a curvatura escalar.

Submitted by Aelson Maciera (aelsoncm@terra.com.br) on 2017-05-31T16:42:01Z No. of bitstreams: 1 TeseCGRF.pdf: 1149604 bytes, checksum: 8b0a42d65883e0af42693ac90b36059a (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-05-31T18:41:10Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseCGRF.pdf: 1149604 bytes, checksum: 8b0a42d65883e0af42693ac90b36059a (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-05-31T18:41:18Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseCGRF.pdf: 1149604 bytes, checksum: 8b0a42d65883e0af42693ac90b36059a (MD5) / Made available in DSpace on 2017-05-31T19:42:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 TeseCGRF.pdf: 1149604 bytes, checksum: 8b0a42d65883e0af42693ac90b36059a (MD5) Previous issue date: 2016-11-10 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / In this work we study conformally flat hypersurfaces f: M3 ^ Q4(c) with three distinct principal curvatures in a space form with constant sectional curvature c, under the assumption that either its mean curvature H or its scalar curvature S is constant. In case H is constant, first we extend to any c G R a theorem due to Defever when c = 0 and show that there is no such hypersurface if H = 0. Our main results are for the minimal case H = 0. If c = 0, we prove that f (M3) is an open subset of a generalized cone over a Clifford torus in an umbilical hypersurface Q4(c) C Q4(c), c > 0, with c > c if c > 0. For c = 0, we show that, besides the cone over the Clifford torus in S3 C R4, there exists precisely a one-parameter family of (congruence classes of) minimal isometric immersions f: M3 ^ R4 with three distinct principal curvatures of simply-connected conformally flat Riemannian manifolds. Assuming S to be constant, we only study the case c = 0. We prove that f (M3) is an open subset of a cylinder over a surface of nonzero constant Gauss curvature in R3. / Nesta tese estudamos hipersuperfícies conformemente euclidianas f : M3 ^ Q4(c), com três curvaturas principais distintas e curvatura média H ou curvatura escalar S constante, em formas espaciais com curvatura seccional c. No caso em que a curvatura média H é constante, inicialmente estendemos para c arbitrário um resultado provado por Defever [10] quando c =0 e mostramos que uma tal hipersuperfície não existe se H = 0. Nossos principais resultados são para o caso mínimo H = 0. Se c = 0, mostramos que f (M3) é um subconjunto aberto de um cone generalizado sobre um toro de Clifford em uma hipersuperfície umbílica Q3(c) C Q4(c), c > 0, com c > c se c > 0. Para c = 0, mostramos que, além do cone sobre o toro de Clifford em S3 C R4, existe precisamente uma família a 1-parâmetro de hipersuperfícies conformemente euclidianas com três curvaturas principais distintas duas a duas não congruentes, sendo o cone sobre o toro de Clifford o elemento singular da família. No caso em que a curvatura escalar é constante, estudamos apenas o caso c = 0. Mostramos, nesse caso, que f (M3) é um subconjunto aberto de um cilindro sobre uma superfície de curvatura Gaussiana constante do espaço euclidiano R3.

The main goal of this dissertation is to present some results on minimal hypersurfaces in the Euclidean space related to the stability operator. Initially, we will present the demonstrations of the formulas of first and second variations of area and also the demonstration of the Simons inequality. These results (which are basic results of the theory) will be used later. Next we will present the proof of the do Carmo-Peng s theorem showing that a complete stable minimal hypersurface immersed in the Euclidean space with finite L2 norm of the second fundamental form is a hyperplane. We will include in this dissertation a similar result with the L3 norm of the second fundamental form. This last result was proved by Li-Wei in the case where the hypersurface has dimension 3, but we note that proof applies to 3≤n≤7. We will conclude by presenting some results on non-stable minimal hypersurfaces in R^3 due to Fischer-Colbrie and Lopez-Ros. In particular, we will show that the catenoid and Enneper s surface are the only minimal complete orientable surfaces with index equal to one. / O objetivo principal desta dissertação é apresentar alguns resultados importantes sobre hipersuperfícies mínimas no espaço Euclidiano relacionados com o operador de estabilidade. Inicialmente, apresentaremos as demonstrações das fórmulas da primeira e da segunda variações da área bem como a demonstração da desigualdade de Simons. Estes resultados, que são básicos da teoria, serão usados posteriormente. Em seguida, apresentaremos a demonstração do teorema de do Carmo-Peng, o qual assegura que uma hipersuperfície mínima completa estável imersa no espaço Euclidiano com a norma L2 da segunda forma fundamental finita é um hiperplano. Incluiremos na dissertação um resultado análogo com a norma L3 da segunda forma fundamental. Este último resultado foi provado por Li-Wei no caso em que a hipersuperfície tem dimensão 3, mas notamos que a demonstração se aplica para 3≤n≤7. Concluiremos apresentando alguns resultados sobre hipersuperfícies mínimas não estáveis no R^3 obtido por Fischer-Colbrie e López-Ros. Em particular, mostraremos que o catenóide e a superfície de Enneper são as únicas superfícies mínimas completas e orientadas com índice igual a um.