We solve a one-sided Cauchy problem with zero right hand side modulo smooth errors for the wave operator associated to a smooth symmetric 2-tensor which is Lorentz on the interior and degenerate at the boundary. The degeneracy of the metric at the boundary gives rise to singularities in the wave operator. The initial data prescribed at the boundary must be modified from the classical Cauchy problem to suit the problem at hand. The problem is posed on the interior and the local solution is constructed using microlocal analysis and the techniques of Fourier Integral Operators. / Mathematics

[EN] At present, different methods for magnetostatic force densities in a continuous medium are used. Some of them are based on models of interaction of matter with an external field and others are derived from Maxwell's tensors in matter. All of these densities are different. Current models of magnetomechanical interactions are conditioned by the choice of one of these densities. In this dissertation a new model of magnetomechanical interaction that is independent on force density adopted is proposed. The Cauchy stress tensor obtained is constituted by the addition of three components: elastic, magnetic and magnetoelastic tensors. The magnetic component is the only one dependent on force density adopted. It is found that the magnetoelastic Cauchy stress tensor is not in general symmetric and an extended magnetostatic force density that takes into account the effects of elastic interaction is defined. / [ES] En la actualidad, se emplean diferentes métodos para obtener las densidades de fuerza magnetostáticas en un medio continuo. Algunos de ellos se fundamentan en modelos de interacción de la materia con un campo externo y otros se derivan de tensores de Maxwell en la materia. Todas estas densidades son diferentes. Los modelos actuales de interacción magnetomecánica están condicionados por la elección de una de estas densidades. En esta Tesis se propone un nuevo modelo de interacción independiente de la densidad de fuerza adoptada. El tensor de Cauchy obtenido está constituido por un tensor elástico, otro magnético y otro magnetoelástico. La componente magnética es la única que depende del tensor de Maxwell o densidad de fuerza adoptada. Se constata que el tensor de Cauchy no es en general simétrico y se define una densidad de fuerza magnetostática extendida que tiene en cuenta los efectos de interacción elástica. / [CA] En l'actualitat, s'utilitzen diferents mètods per a obtenir les densitats de forces magnetostàtiques en un medi continu. Alguns d'ells tenen els seus fonaments en models d'interacció de la matèria amb un camp extern y d'altres es deriven de tensors de Màxwell en la matèria. Totes les densitats son diferents. Els models actuals d'interacció magnetomecànica estan condicionats per l'elecció d'una d'aquestes densitats. En la present Tesi es propasa un nou model d'interacció independent de la densitat de força adoptada. El tensor de Cauchy obtingut està constituït per un tensor elàstic, un magnètic i un magnetoelàstic. La component magnètica és l'única que depend del tensor de Màxwell o densitat de força adoptada. Es constata que el tensor de Cauchy no és en general simètric i es defineix una densitat de força magnetostàtica estesa que té en compte els efectes d'interacció elàstica. / Usieto Galve, A. (2016). Modelización de la interacción magnetomecánica bajo un tensor de Cauchy de tensiones magnéticas obtenido por procedimientos energéticos [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/63240

The Cauchy problem associated with the scalar wave equation in free space is used as a vehicle for a critical examination and assessment of the bidirectional and unidirectional spectral representations. These two novel methods for synthesizing wave signals are distinct from the superposition principle underlying the conventional Fourier method and they can effectively be used to derive a large class of localized solutions to the scalar wave equation. The bidirectional spectral representation is presented as an extension of Brittingham's ansatz and Ziolkowski's Focus Wave Mode spectral representations. On the other hand, the unidirectional spectral representation is motivated through a group-theoretic similarity reduction of the scalar wave equation. / Master of Science

Secure multiparty computation refers to the problem where a number of users wish to securely compute a function on their inputs without revealing any unnecessary information. This dissertation focuses on the fundamental limits of secure summation under different constraints. We first focus on the minimal model of secure computation, in which two users each hold an input and wish to securely compute a function of their inputs at the server. We propose a novel scheme base on the algebraic structure of finite field and modulo ring of integers. Then we extend the minimal model of secure computation, in which K users wish to securely compute the sum of their inputs at the server. We prove a folklore result on the limits of communication cost and randomness cost. Then we characterized the optimal communication cost with user dropouts constraint, when some users may lose connection to the server and the server wishes to compute the sum of remaining inputs. Next, we characterize the optimal communication and randomness cost for symmetric groupwise keys and find the feasibility condition for arbitrary groupwise keys. Last, we study the secure summation with user selection, such that the server may select any subset of users to compute the sum of their inputs. This leads us to the MDS variable generation problem. We characterize the optimal individual key rate and the result is interestingly the harmonic number.

L'objectif de ce travail est la résolution des équations intégrales singulières à noyau Cauchy. On y traite les équations singulières de Cauchy de première espèce par la méthode des approximations successives. On s'intéresse aussi aux équations intégrales à noyau de Cauchy de seconde espèce, en utilisant les polynômes trigonométriques et les techniques de Fourier. Dans la même perspective, on utilise les polynômes de Tchebychev de quatrième degré pour résoudre une équation intégro différentielle à noyau de Cauchy. Ensuite, on s'intéresse à une autre équation intégro-différentielle à noyau de Cauchy, en utilisant les polynômes de Legendre, ce qui a donné lieu à développer deux méthodes basées sur une suite de projections qui converge simplement vers l'identité. En outre, on exploite les méthodes de projection pour les équations intégrales avec des opérateurs intégraux bornés non compacts et on a appliqué ces méthodes à l'équation intégrale singulière à noyau de Cauchy de deuxième espèce / The purpose of this thesis is to develop and illustrate various new methods for solving many classes of Cauchy singular integral and integro-differential equations. We study the successive approximation method for solving Cauchy singular integral equations of the first kind in the general case, then we develop a collocation method based on trigonometric polynomials combined with a regularization procedure, for solving Cauchy integral equations of the second kind. In the same perspective, we use a projection method for solving operator equation with bounded noncompact operators in Hilbert spaces. We apply a collocation and projection methods for solving Cauchy integro-differential equations, using airfoil and Legendre polynomials

A Teoria das equações integrais, desde a segunda metade do século XX, tem assumido um papel cada vez maior no âmbito de problemas aplicados. Com isso, surge a necessidade do desenvolvimento de métodos numéricos cada vez mais eficazes para a resolução deste tipo de equação. Isso tem como consequência a possibilidade de resolução de uma gama cada vez maior de problemas. Nesse sentido, outros tipos de equações integrais estão sendo objeto de estudos, dentre elas as chamadas equações integro-diferenciais. O presente trabalho tem como objetivo o estudo das equações integro-diferenciais singulares lineares e não-lineares. Mais especificamente, no caso linear, apresentamos os principais resultados necessários para a obtenção de um método numérico e a formulação de suas propriedades de convergência. O caso não-linear é apresentado através de um modelo matemático para tubulações em um tipo específico de reator nuclear (LMFBR) no qual origina-se a equação integro-diferencial. A partir da equação integro-diferencial um modelo numérico é proposto com base nas condições físicas do problema / The theory of the integral equations, since the second half of the 20th century, has been assuming an ever more important role in the modelling of applied problems. Consequently, the development of new numerical methods for integral equations is called for and a larger range of problems has been possible to be solved by these new techniques. In this sense, many types of integral equations have been derived from applications and been the object of studies, among them the so called singular integro-differential equation. The present work has, as its main objective, the study of singular integrodifferential equations, both linear and non-linear. More specifically, in the linear case, we present our main results regarding the derivation of a numerical method and its uniform convergence properties. The non-linear case is introduced through the mathematical model of boiler tubes in a specific type of nuclear reactor (LMFBR) from which the integro-differential equation originates. For this integro-differential equation a numerical method is proposed based on the physical conditions of the problem

Neste trabalho investigamos, dos pontos de vistas analítico e numérico, o comportamento assintótico da solução da equação do aerofólio, com uma singularidade do tipo Cauchy, de nida sobre um intervalo com uma pequena abertura. Exibimos um modelo matemático com uma solução f" para o intervalo disjunto G" = (−1,−ε) ∪ (ε, 1) e uma solução f0 que corresponde ao limite de f" quando (ε → 0), relacionando esta última com a solução da equação do aerofólio f no intervalo (−1, 1). Além do mais, demonstramos casos particulares de funções ψ = Tm e ψ = Un(onde Tm e Un são os polinômios de Tchebychev do primeiro e segundo tipo respectivamente) em que temos a igualdade f = f0 e conseqüentemente f" ≈ f. Apresentamos e comparamos numericamente as soluções f", f0 e f para diferentes funções ψ e valores de ε no intervalo G". Mostramos ainda soluções quase polinomiais analíticas da equação do aerofólio, e propomos um método espectral para a equação do aerofólio generalizada. Por m, obtemos soluções analíticas das equações do aerofólio para os intervalos G", (−1, 1)\ {0} e (−1, 1) para diferentes funções ψ(t) através da expansão em série da densidade da integral singular com núcleo Cauchy. / In this work we investigate, of the analytical and numerical points of views, the asymptotic behavior of the airfoil equation solution with a singularity of the Cauchy type, de ned over a interval with a small opening. We display a mathematical model with a f" solution to the disjoint interval G" = (−1,−ε)∪(ε, 1) and a f0 solution corresponding to limit of f" when (ε → 0), linking the latter with the solution of the airfoil equation f in the interval (−1, 1). Furthermore, we demonstrate particular cases of functions ψ = Tm and ψ = Un (where Tm and Un are the Chebyshev polynomials of the rst and second type respectively) where we have equality f = f0 and then f" ≈ f. We present and compare numerically the solutions f", f0 and f for di erent functions ψ and values of ε in G". We also show almost polynomial analytical solutions for the airfoil equation, and we propose a spectral method for the generalized airfoil equation. Finally, we obtain analytical solutions of the airfoil equations to the interval G", (−1, 1)\ {0} and (−1, 1) for various functions ψ(t) by expanding in series the density of the Cauchy singular integral.

Neste trabalho investigamos, dos pontos de vistas analítico e numérico, o comportamento assintótico da solução da equação do aerofólio, com uma singularidade do tipo Cauchy, de nida sobre um intervalo com uma pequena abertura. Exibimos um modelo matemático com uma solução f" para o intervalo disjunto G" = (−1,−ε) ∪ (ε, 1) e uma solução f0 que corresponde ao limite de f" quando (ε → 0), relacionando esta última com a solução da equação do aerofólio f no intervalo (−1, 1). Além do mais, demonstramos casos particulares de funções ψ = Tm e ψ = Un(onde Tm e Un são os polinômios de Tchebychev do primeiro e segundo tipo respectivamente) em que temos a igualdade f = f0 e conseqüentemente f" ≈ f. Apresentamos e comparamos numericamente as soluções f", f0 e f para diferentes funções ψ e valores de ε no intervalo G". Mostramos ainda soluções quase polinomiais analíticas da equação do aerofólio, e propomos um método espectral para a equação do aerofólio generalizada. Por m, obtemos soluções analíticas das equações do aerofólio para os intervalos G", (−1, 1)\ {0} e (−1, 1) para diferentes funções ψ(t) através da expansão em série da densidade da integral singular com núcleo Cauchy. / In this work we investigate, of the analytical and numerical points of views, the asymptotic behavior of the airfoil equation solution with a singularity of the Cauchy type, de ned over a interval with a small opening. We display a mathematical model with a f" solution to the disjoint interval G" = (−1,−ε)∪(ε, 1) and a f0 solution corresponding to limit of f" when (ε → 0), linking the latter with the solution of the airfoil equation f in the interval (−1, 1). Furthermore, we demonstrate particular cases of functions ψ = Tm and ψ = Un (where Tm and Un are the Chebyshev polynomials of the rst and second type respectively) where we have equality f = f0 and then f" ≈ f. We present and compare numerically the solutions f", f0 and f for di erent functions ψ and values of ε in G". We also show almost polynomial analytical solutions for the airfoil equation, and we propose a spectral method for the generalized airfoil equation. Finally, we obtain analytical solutions of the airfoil equations to the interval G", (−1, 1)\ {0} and (−1, 1) for various functions ψ(t) by expanding in series the density of the Cauchy singular integral.

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Neste trabalho investigamos, dos pontos de vistas analítico e numérico, o comportamento assintótico da solução da equação do aerofólio, com uma singularidade do tipo Cauchy, de nida sobre um intervalo com uma pequena abertura. Exibimos um modelo matemático com uma solução f" para o intervalo disjunto G" = (−1,−ε) ∪ (ε, 1) e uma solução f0 que corresponde ao limite de f" quando (ε → 0), relacionando esta última com a solução da equação do aerofólio f no intervalo (−1, 1). Além do mais, demonstramos casos particulares de funções ψ = Tm e ψ = Un(onde Tm e Un são os polinômios de Tchebychev do primeiro e segundo tipo respectivamente) em que temos a igualdade f = f0 e conseqüentemente f" ≈ f. Apresentamos e comparamos numericamente as soluções f", f0 e f para diferentes funções ψ e valores de ε no intervalo G". Mostramos ainda soluções quase polinomiais analíticas da equação do aerofólio, e propomos um método espectral para a equação do aerofólio generalizada. Por m, obtemos soluções analíticas das equações do aerofólio para os intervalos G", (−1, 1)\ {0} e (−1, 1) para diferentes funções ψ(t) através da expansão em série da densidade da integral singular com núcleo Cauchy. / In this work we investigate, of the analytical and numerical points of views, the asymptotic behavior of the airfoil equation solution with a singularity of the Cauchy type, de ned over a interval with a small opening. We display a mathematical model with a f" solution to the disjoint interval G" = (−1,−ε)∪(ε, 1) and a f0 solution corresponding to limit of f" when (ε → 0), linking the latter with the solution of the airfoil equation f in the interval (−1, 1). Furthermore, we demonstrate particular cases of functions ψ = Tm and ψ = Un (where Tm and Un are the Chebyshev polynomials of the rst and second type respectively) where we have equality f = f0 and then f" ≈ f. We present and compare numerically the solutions f", f0 and f for di erent functions ψ and values of ε in G". We also show almost polynomial analytical solutions for the airfoil equation, and we propose a spectral method for the generalized airfoil equation. Finally, we obtain analytical solutions of the airfoil equations to the interval G", (−1, 1)\ {0} and (−1, 1) for various functions ψ(t) by expanding in series the density of the Cauchy singular integral.