Masters of Science / Codes Related to and Derived from Hamming Graphs T.R Muthivhi M.Sc thesis, Department of Mathematics, University of Western Cape For integers n; k 1; and k n; the graph 􀀀k n has vertices the 2n vectors of Fn2 and adjacency de ned by two vectors being adjacent if they di er in k coordinate positions. In particular, 􀀀1 n is the classical n-cube, usually denoted by H1(n; 2): This study examines the codes (both binary and p-ary for p an odd prime) of the row span of adjacency and incidence matrices of these graphs. We rst examine codes of the adjacency matrices of the n-cube. These have been considered in [14]. We then consider codes generated by both incidence and adjacency matrices of the Hamming graphs H1(n; 3) [12]. We will also consider codes of the line graphs of the n-cube as in [13]. Further, the automorphism groups of the codes, designs and graphs will be examined, highlighting where there is an interplay. Where possible, suitable permutation decoding sets will be given.

>Magister Scientiae - MSc / For integers n, k 2:: 1, and k ~ n, the graph r~has vertices the 2n vectors of lF2 and adjacency defined by two vectors being adjacent if they differ in k coordinate positions. In particular, r~is the classical n-cube, usually denoted by Hl (n, 2). This study examines the codes (both binary and p-ary for p an odd prime) of the row span of adjacency and incidence matrices of these graphs. We first examine codes of the adjacency matrices of the n-cube. These have been considered in [14]. We then consider codes generated by both incidence and adjacency matrices of the Hamming graphs Hl(n,3) [12]. We will also consider codes of the line graphs of the n-cube as in [13]. Further, the automorphism groups of the codes, designs and graphs will be examined, highlighting where there is an interplay. Where possible, suitable permutation decoding sets will be given.

Quantum walks have been utilized by many quantum algorithms which provide improved performance over their classical counterparts. Quantum search algorithms, the quantum analogues of spatial search algorithms, have been studied on a wide variety of structures. We study quantum walks and searches on the Cayley graphs of finitely-generated free groups. Return properties are analyzed via Green’s functions, and quantum searches are examined. Additionally, the stopping times and success rates of quantum searches on random networks are experimentally estimated. / Mathematics

In 1911, mathematician Max Dehn posed three decision problems for finitely presented groups that have remained central to the study of combinatorial group theory. His work provided the foundation for geometric group theory, which aims to analyze groups using the topological and geometric properties of the spaces they act on. In this thesis, we study group actions on Cayley graphs and the Farey tree. We prove that a group has a solvable word problem if and only if its associated Cayley graph is constructible. Moreover, we prove that a group is finitely generated if and only if it acts geometrically on a proper path-connected metric space. As an example, we show that SL(2, Z) is finitely generated by proving that it acts geometrically on the Farey tree.

On considère R une relation d’équivalence borélienne standard de type I I1 sur un espace de probabilités (X, µ). On étudie une certaine propriété d’homogénéité pour un graphage fixé de la relation R : on suppose que les feuilles du graphage sont toutes isomorphes à un certain graphe transitif (connexe, infini, localement fini) Γ. Que peut-on dire sur la relation ? Dans ce cas, en considérant une action "à la Mackey", on montre qu’il existe (Z ,η) un revêtement standard probabilisé de (X, µ), une action libre (qui préserve η) sur Z du groupe G (localement compact, à base dénombrable d’ouverts) des automorphismes du graphe et un isomorphisme stable des groupoïdes mesurés associés. On fait le lien entre les propriétés du groupe G et celles de la relation de départ ; en particulier la propriété (T), (H) et la moyennabilité "passent" du graphe à la relation et réciproquement. On déduit aussi de la construction quelques couplages d’équivalence mesurée (ou plus généralement des "randembeddings") entre certains sous-groupes des automorphismes de Γ et tout groupe qui contient orbitalement la relation R. Dans un deuxième chapitre, on aborde le cas particulier de la propriété (T) relative pour les paires de groupes (ΓxZ^2, Z^2), où Γ est un sous-groupe non moyennable de SL(2,Z). Cette propriété a d’abord été prouvée par Marc Burger, puis "re-démontrée" plus "visuellement" quelques années plus tard dans le cas de SL(2,Z)xZ^2 par Y. Shalom, en utilisant des découpages du plan. On reprend cette technique dans le cas général du théorème de Burger afin d’obtenir par un algorithme des constantes de Kazhdan explicites pour toute paire (ΓxZ^2, Z^2). / We consider a measure preserving standard borel equivalence relation R on a standard probability space (X,µ). We study a particular property of homogeneity for a fixed graphing of the relation R : We assume that the leaves of the graphing are all isomorphic to a given transitive graph Γ (connected, infinite, locally finite). What can be known about the relation ?In this case, considering a « Mackey action », we show that there exists a standard covering of (X,µ) i.e. a standard space Z; a probability measure η; a free, measure-preserving action on Z of G the (locally compact, second countable) group of all graph automorphisms of Γ and a stable isomorphism of the associated measured groupoid with R. We investigate some links between properties of G (resp. of the graph Γ) and those of R. In particular, Kazhdan property (T), Haagerup property (H) and amenability are preserved from the graph to the relation and conversely. We also deduce from the construction some couplings of measured equivalence (more generally some randembeddings) between subgroups of G and any group orbitally containing R. In a second chapter, we deal with the relative property (T) for the pairs (ΓxZ^2,Z^2), where Γ is a non-amenable subgroup of SL(2,Z). This property was first proved by M. Burger. Later on, Y. Shalom gave a more geometrical proof in the case of SL(2,Z)xZ^2, by using partitions of the plane. Following the same techniques in the general case of Burger's theorem, we develop an algorithm producing explicit constants for all pairs (ΓxZ^2,Z^2).

Les graphes définis à partir de structures algébriques possèdent d’excellentes propriétés de symétries particulièrement intéressantes. L’exemple le plus flagrant est la notion de graphe de Cayley qui s’est révélée très riche non seulement du point de vue théorique mais aussi pratique par ses applications à de nombreux domaines incluant l’architecture des réseaux ou les machines parallèles. Néanmoins, la régularité des graphes de Cayley se révèle parfois être une limite étant donné qu’ils sont toujours sommet-transitifs et donc en particulier non pertinents pour générer des réseaux semiréguliers.Cette observation a motivé, en 2005, la définition d’une nouvelle classe de graphes définis à partir d’un groupe, appelés G-graphes. Ils possèdent aussi de nombreuses propriétés de régularité mais de manière moins restrictive.Cette thèse propose un nouveau regard sur cette classe de graphes par une approche plutôt orientée recherche opérationnelle alors que la grande majorité des études précédentes est dominée par des approches essentiellement algébriques. Nous-nous sommes alors intéressés à plusieurs questions :— La caractérisation des G-graphes : nous proposons des améliorations par rapport aux précédents résultats.— Identifier des classes de graphes comme des G-graphes grâce à des isomorphismes ou en utilisant le théorème de caractérisation.— Etudier la structure et les propriétés de ces graphes, en particulier pour de possibles applications aux réseaux : colorations semi-régulières, symétries et robustesse.— Une approche algorithmique pour la reconnaissance de cette classe avec notamment un premier exemple de cas polynomial lorsque le groupe est abélien. / Interactions between graph theory and group theory have already led to interesting results for both domains. Graphs defined from algebraic groups have highly symmetrical structure giving birth to interesting properties. The most famous example is Cayley graphs, which revealed to be particularly interesting both from a theoretical and a practical point of view due to their applications in several domains including network architecture or parallel machines. Nevertheless, the regularity of Cayley graphs is also a limit as they are always vertex-transitive and therefore not relevant to generate semi-regular networks. This observation motivated the definition, in 2005, of a new family of graphs defined from a group, called G-graphs. They also have many regular properties but are less restrictive. These graphs are in particular semi-regular k-partite, with a chromatic number k directly given in the group representation and they can be either transitive or not.This thesis proposes a new insight into this class of graphs using an approach based on operational research while most of previous studies have been so far dominated by algebraic approaches. Then, the thesis addresses different kind of questions:— Characterizing G-graphs: we propose improvements of previous results.— Identifying some classes of graphs as G-graphs through isomorphism or using the characterization theorem.— Studying the structure and properties of these graphs, in particular for possible applications to networks: semi-regular coloring, symmetries and robustness.— Algorithmic approach for recognizing this class with a first example of polynomial case when the group is abelian.

El objetivo de esta tesis es definir códigos perfectos sobre diferentes espacios de señal multidimensionales. Para resolver este problema, esta memoria presenta una relación original entre las Teorías de Grafos, Números y Códigos. Uno de nuestros principales resultados es la propuesta de una métrica adecuada sobre constelaciones de señal de tipo cuadrático, hexagonal y cuatro-dimensional. Esta métrica es la distancia entre los vértices de una nueva clase de grafos de Cayley definidos sobre diferentes anillos de enteros, en concreto, los enteros de Gauss, Eisenstein-Jacobi y Lipschitz. Así, resolvemos el problema de Teoría de Grafos conocido como el cálculo del conjunto perfecto dominante sobre las familias de grafos definidas en esta memoria. Para cada caso, daremos una condición suficiente para obtener dicho conjunto. La obtención de estos conjuntos de dominación implica directamente la construcción de códigos perfectos sobre los alfabetos que se consideran.Además, se obtendrán algunos resultados de isomorfía y embebimiento de grafos. En particular, se establecerán las relaciones entre grafos circulantes, toroidales y los que se presentan en este trabajo. Más concretamente, se mostrará que siempre existen órdenes para los cuales un grafo Toro puede ser embebido en un grafo Gaussiano, de Esenstein-Jacobi o de Lipschitz. Esto implica que la conocida distancia de Lee es un caso particular de las métricas presentadas en este trabajo. / The aim of this work is to define perfect codes for different multidimensional signal spaces. To solve this problem, this thesis presents an original relationship among the fields of Graph Theory, Number Theory and Coding Theory. One of our main findings is the proposal of a suitable metric over quadratic, hexagonal and four-dimensional constellations of signal points. This metric is the distance among vertices of a new class of Cayley graphs defined over integer rings, namely Gaussian integers, the Eisenstein-Jacobi integers and the Lipschitz integers.A problem in Graph Theory known as the perfect dominating set calculation is solved over the families of graphs defined in this memory. A sufficient condition for obtaining such a set is given for each case. The obtention of these sets of domination directly yields to the construction of perfect codes for the alphabets under consideration. In addition, some isomorphism and graph embedding results are going to be obtained. Specially, the relations between circulant, toroidal and the graphs presented in this work are stated. In particular, there always exist orders for which a Torus graph can be embedded in Gaussian, Eisenstein-Jacobi and Lipschitz graphs. This implies that the well-known Lee distance is a subcase of the metrics presented in this research.

Réalisé avec le support financier du Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada (CRSNG) et du Fonds de Recherche du Québec – Nature et technologies (FRQNT). / Ce mémoire étudie le jeu de policiers-voleur et contient trois articles, chacun portant sur une classe de graphes spécifique. Dans le premier chapitre, la notation et les définitions de base de la théorie de graphe qui nous serons utiles sont introduites. Bien que chaque article comporte une introduction citant les concepts et résultats pertinents, le premier chapitre de ce mémoire contient aussi une introduction générale au jeu de policiers-voleur et présente certains des résultats majeurs sur ce jeu. Le deuxième chapitre contient l’article écrit avec Seyyed Aliasghar Hosseini et Peter Bradshaw portant sur le jeu de policiers-voleurs sur les graphes de Cayley abéliens. Nous améliorons la borne supérieure sur le cop number de ces graphes en raffinant les méthodes utilisées précédemment par Hamidoune, Frankl et Bradshaw. Le troisième chapitre présente l’article concernant le cop number des graphes 2K2-libres. Plus précisément, il est prouvé que 2 policiers peuvent toujours capturer le voleur sur ces graphes, prouvant ainsi la conjecture de Sivaraman et Testa. Finalement, le quatrième chapitre est l’article écrit avec Samuel Yvon et porte sur les graphes qui ont cop number 4. Nous montrons que tous ces graphes ont au moins 19 sommets. En d’autres mots, 3 policiers peuvent toujours capturer le voleur sur tout graphe avec au plus 18 sommets, ce qui répond par la négative à une question de Andreae formulée en 1986. Un pan important de la preuve est faite par ordinateur; ce mémoire contient donc une annexe comprenant le code utilisé. / This thesis studies the game of cops and robbers and consists of three articles, each considering a specific class of graphs. In the first chapter, notation and basic definitions of graph theory are introduced. Al- though each article has an introduction citing the relevant concepts and results, the first chapter of this thesis also contains a general introduction to the game of cops and robbers and presents some of its major results. The second chapter contains the paper written with Seyyed Aliasghar Hosseini and Peter Bradshaw on the game of cops and robbers on abelian Cayley graphs. We improve the upper bound on the cop number of these graphs by refining the methods used previously by Hamidoune, Frankl and Bradshaw. The third chapter presents the paper concerning the cop number of 2K2-free graphs. More precisely, it is proved that 2 cops can always catch the robber on these graphs, proving a conjecture of Sivaraman and Testa. Finally, the fourth chapter is the paper written with Samuel Yvon which deals with graphs of cop number 4. We show that such graphs have at least 19 vertices. In other words, 3 cops can always catch the robber on any graph with at most 18 vertices, which answers in the negative a question by Andreae from 1986. An important part of the proof is by computer; this thesis thus has an appendix containing the code used.