Dans cette thèse, nous étudions l'interpolation réelle des espaces de Sobolev et ses applications. Le manuscrit est constitué de deux parties. Dans la première partie, nous démontrons au premier chapitre que les espaces de Sobolev non homogènes W^1_p (resp. homogènes ) sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré forment une échelle d'interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat à d'autres cadres géométriques. Dans un deuxième court chapitre, nous comparons différents espaces de Sobolev sur le cone Euclidien et nous regardons le lien de ces espaces avec l'interpolation. Nous montrons sur cet exemple que l'hypothèse de Poincaré n'est pas une condition nécessaire pour pouvoir interpoler les espaces de Sobolev. Dans le dernier chapitre de cette partie, nous définissons les espaces de Sobolev non homog'nes W^1_p,V (resp. homogènes ) associés à un potentiel positif V sur une variété Riemannienne. Nous démontrons que si la variété véifie la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré et si de plus V est dans une classe de Holder inverse, ces espaces forment aussi une échelle d'interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat aux cas des groupes de Lie. Dans la deuxième partie, dans un premier chapitre en collaboration avec E. Russ, nous étudions sur un graphe vérifiant la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré, la Lp bornitude de la transformée de Riesz pour p > 2 et son inégalité inverse pour p < 2. Pour notre but, nous démontrons aussi des résultats d'interpolation des espaces de Sobolev et des inégalités de Littlewood-Paley. Dans le deuxième chapitre, nous démontrons en utilisant notre résultat d'interpolation, des inégalités de Gagliardo-Nirenberg sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant le doublement, des inégalités de Poincaré et pseudo-Poincaré. Ce résultat s'applique aussi dans le cadre des groupes de Lie et des graphes.

On étudie deux modèles statistiques: le modèle de régression à pas aléatoire et le modèle de bruit blanc gaussien. Dans ces modèles, le but est d'estimer en norme sup une fonction f inconnue, à partir des observations, en supposant que f appartient à une classe de Holder. Dans le modèle de régression, pour l'estimation d'une fonction unidimensionnelle, on obtient la constante exacte et un estimateur asymptotiquement exact. Dans le modèle de bruit blanc, on s'intéresse à l'estimation sur deux classes de fonctions multidimensionnelles anisotropes dont une est une classe additive. Pour ces deux classes, on détermine la constante exacte et un estimateur asymptotiquement exact et on met en évidence leur lien avec l'"optimal recovery". La dernière partie donne des résultats d'asymptotique exacte dans un cadre adaptatif dans le modèle de bruit blanc. On détermine la constante exacte adaptative et un estimateur asymptotiquement exact adaptatif pour l'estimation sur des classes anisotropes.