Neste trabalho mostra-se que uma devida reinteração das leis da Mecânica quando formuladas como um princípio variacional define uma classe de funcionais que as satisfazem. Cada funcional define uma teoria da Mecânica, chamada Mecânica Generalizada, que descreve uma particular dinâmica. A Mecânica Clássica, que descreve uma dinâmica chamada conjuntiva, baseia-se em uma escolha chamada trivial deste funcional. Escolhas não-triviais definem teorias que descrevem dinâmicas chamadas convolutivas. Uma dessas escolhas não-triviais define uma teoria que descreve uma dinâmica convolutica que se pode chamar quântica. Essa teoria é formalmente idêntica à Mecânica Quântica mas apresenta um conteúdo epistemológico diferente. A interpretação probabilística da Mecânica Quântica surge como uma interpretação suficiente mas não necessária desse formalismo. / In this work it is shown that a proper reinterpretation of the laws of Mechanics when formulated as a variational principle defines a class of functionals wich satisfies them. Each functional defines one theory of Mechanics, called Generalized Mechanics, which describes a particular dynamics. The Classical Mechanics, which describes to so called conjunctive dynamics, is based on a trivial choice of this functiona. Non-trivial choices define theories which describe the so called convolutive dynamics. One of these non-trivial choices define a convolutive theory which may be called quantic. This theory is formally identical to Quantum Mechanics but it displays a different epistemological content. The probabilistic interpretation of Quantum Mechanics emerges as a sufficient but not necessary interpretation of this formalism.

Neste trabalho mostra-se que uma devida reinteração das leis da Mecânica quando formuladas como um princípio variacional define uma classe de funcionais que as satisfazem. Cada funcional define uma teoria da Mecânica, chamada Mecânica Generalizada, que descreve uma particular dinâmica. A Mecânica Clássica, que descreve uma dinâmica chamada conjuntiva, baseia-se em uma escolha chamada trivial deste funcional. Escolhas não-triviais definem teorias que descrevem dinâmicas chamadas convolutivas. Uma dessas escolhas não-triviais define uma teoria que descreve uma dinâmica convolutica que se pode chamar quântica. Essa teoria é formalmente idêntica à Mecânica Quântica mas apresenta um conteúdo epistemológico diferente. A interpretação probabilística da Mecânica Quântica surge como uma interpretação suficiente mas não necessária desse formalismo. / In this work it is shown that a proper reinterpretation of the laws of Mechanics when formulated as a variational principle defines a class of functionals wich satisfies them. Each functional defines one theory of Mechanics, called Generalized Mechanics, which describes a particular dynamics. The Classical Mechanics, which describes to so called conjunctive dynamics, is based on a trivial choice of this functiona. Non-trivial choices define theories which describe the so called convolutive dynamics. One of these non-trivial choices define a convolutive theory which may be called quantic. This theory is formally identical to Quantum Mechanics but it displays a different epistemological content. The probabilistic interpretation of Quantum Mechanics emerges as a sufficient but not necessary interpretation of this formalism.

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Um dos conceitos mais fundamentais na Física é a de Referencial. Isso porque, para analisar qualquer fenômeno físico, é necessária a adoção de um Referencial. No que diz respeito aos fenômenos clássicos da Física, comumente diferenciam-se dois sistemas de referência: o sistema inercial e o não inercial. Enquanto que para o primeiro são válidas e aplicáveis as leis de Newton, para o segundo ocorrem inconsistências físicas. Além disso, independentemente de um Referencial ser inercial ou não, é interessante saber o que caracteriza um Referencial. Muitas pessoas consideram que Referenciais são objetos físicos, normalmente vinculados ao seu estado de repouso em relação à Terra, por exemplo, árvores, postes, estradas, etc. Porém, um objeto por si não é um Referencial. Um Referencial é caracterizado por um ponto de origem e, sobre este, a intersecção de três retas perpendiculares entre si que darão as direções. Na Física, normalmente utiliza-se um Referencial para mensurar posição, velocidade e aceleração, que, por sua vez, são grandezas vetoriais, necessitando de módulo, direção e sentido, o que requer de um Referencial mais do que um simples ponto de origem. Assim, é interessante analisar como um sujeito que já possui um conhecimento de Física interpreta um Referencial. Neste trabalho analisei as noções de Referenciais Inerciais de sujeitos do Ensino Superior que cursam uma disciplina introdutória de Mecânica Clássica. Baseado na Epistemologia Genética, encontrei subsídios que possibilitaram compreender e analisar as noções evidenciadas pelos sujeitos. Este trabalho evidencia noções de Referencial Inercial que possibilitam ao sujeito responder a três perguntas fundamentais: o que é um Referencial? Como se diferenciam dois ou mais Referenciais? Todos os Referenciais são válidos para a Mecânica Clássica? Como resultado, foram encontradas três noções de Referencial Inercial, cada qual possibilitando ao sujeito agir sobre diversas situações da Mecânica Clássica. / One of the most fundamental concepts in physics is of Referential. That's because, to analyze any physical phenomenon, it is necessary to adopt a Referential. With regard to the classical phenomena of the Physics, commonly differentiate two reference systems: the inertial system and non inertial. Whereas for the first are valid and apply Newton's laws, to the second physical inconsistencies occur. Moreover, irrespective of a Referential be inertial or not, it is interesting to know what characterizes a Referential. Many people believe that Referential are physical objects, usually linked to their state of rest relative to Earth, for example, trees, poles, roads, etc. Howerer an object by itself is not a Referential. A Referential is characterized by a point of origin and, on this, the intersection of three mutually perpendicular lines that will give directions. In physics, normally used as a Referential to measure position, velocity and acceleration, which, in turn, are vectorial largeness, needing module, direction and sense, which requires a Referential more than a simple point of origin. Thus, it is interesting to analyze how a guy who already has knowledge of Physics interprets a Referential. This work analyzed the notions of Inertial Referential of subjects in higher education that attend a course introductory of Classical Mechanics. Based on Genetic Epistemology, found subsidies that make possible to understand and analyze the notions evidenced by the subjects. This work shows that notions of Inertial Referential that allow the subject to answer three fundamental questions: What is a Referential? How are differentiated two or more Referential? All Referential are valid for Classical Mechanics? As a result, found three notions of Inertial Referential, each allowing the individual to act on several situations of Classical Mechanics.

Um dos conceitos mais fundamentais na Física é a de Referencial. Isso porque, para analisar qualquer fenômeno físico, é necessária a adoção de um Referencial. No que diz respeito aos fenômenos clássicos da Física, comumente diferenciam-se dois sistemas de referência: o sistema inercial e o não inercial. Enquanto que para o primeiro são válidas e aplicáveis as leis de Newton, para o segundo ocorrem inconsistências físicas. Além disso, independentemente de um Referencial ser inercial ou não, é interessante saber o que caracteriza um Referencial. Muitas pessoas consideram que Referenciais são objetos físicos, normalmente vinculados ao seu estado de repouso em relação à Terra, por exemplo, árvores, postes, estradas, etc. Porém, um objeto por si não é um Referencial. Um Referencial é caracterizado por um ponto de origem e, sobre este, a intersecção de três retas perpendiculares entre si que darão as direções. Na Física, normalmente utiliza-se um Referencial para mensurar posição, velocidade e aceleração, que, por sua vez, são grandezas vetoriais, necessitando de módulo, direção e sentido, o que requer de um Referencial mais do que um simples ponto de origem. Assim, é interessante analisar como um sujeito que já possui um conhecimento de Física interpreta um Referencial. Neste trabalho analisei as noções de Referenciais Inerciais de sujeitos do Ensino Superior que cursam uma disciplina introdutória de Mecânica Clássica. Baseado na Epistemologia Genética, encontrei subsídios que possibilitaram compreender e analisar as noções evidenciadas pelos sujeitos. Este trabalho evidencia noções de Referencial Inercial que possibilitam ao sujeito responder a três perguntas fundamentais: o que é um Referencial? Como se diferenciam dois ou mais Referenciais? Todos os Referenciais são válidos para a Mecânica Clássica? Como resultado, foram encontradas três noções de Referencial Inercial, cada qual possibilitando ao sujeito agir sobre diversas situações da Mecânica Clássica. / One of the most fundamental concepts in physics is of Referential. That's because, to analyze any physical phenomenon, it is necessary to adopt a Referential. With regard to the classical phenomena of the Physics, commonly differentiate two reference systems: the inertial system and non inertial. Whereas for the first are valid and apply Newton's laws, to the second physical inconsistencies occur. Moreover, irrespective of a Referential be inertial or not, it is interesting to know what characterizes a Referential. Many people believe that Referential are physical objects, usually linked to their state of rest relative to Earth, for example, trees, poles, roads, etc. Howerer an object by itself is not a Referential. A Referential is characterized by a point of origin and, on this, the intersection of three mutually perpendicular lines that will give directions. In physics, normally used as a Referential to measure position, velocity and acceleration, which, in turn, are vectorial largeness, needing module, direction and sense, which requires a Referential more than a simple point of origin. Thus, it is interesting to analyze how a guy who already has knowledge of Physics interprets a Referential. This work analyzed the notions of Inertial Referential of subjects in higher education that attend a course introductory of Classical Mechanics. Based on Genetic Epistemology, found subsidies that make possible to understand and analyze the notions evidenced by the subjects. This work shows that notions of Inertial Referential that allow the subject to answer three fundamental questions: What is a Referential? How are differentiated two or more Referential? All Referential are valid for Classical Mechanics? As a result, found three notions of Inertial Referential, each allowing the individual to act on several situations of Classical Mechanics.

Um dos conceitos mais fundamentais na Física é a de Referencial. Isso porque, para analisar qualquer fenômeno físico, é necessária a adoção de um Referencial. No que diz respeito aos fenômenos clássicos da Física, comumente diferenciam-se dois sistemas de referência: o sistema inercial e o não inercial. Enquanto que para o primeiro são válidas e aplicáveis as leis de Newton, para o segundo ocorrem inconsistências físicas. Além disso, independentemente de um Referencial ser inercial ou não, é interessante saber o que caracteriza um Referencial. Muitas pessoas consideram que Referenciais são objetos físicos, normalmente vinculados ao seu estado de repouso em relação à Terra, por exemplo, árvores, postes, estradas, etc. Porém, um objeto por si não é um Referencial. Um Referencial é caracterizado por um ponto de origem e, sobre este, a intersecção de três retas perpendiculares entre si que darão as direções. Na Física, normalmente utiliza-se um Referencial para mensurar posição, velocidade e aceleração, que, por sua vez, são grandezas vetoriais, necessitando de módulo, direção e sentido, o que requer de um Referencial mais do que um simples ponto de origem. Assim, é interessante analisar como um sujeito que já possui um conhecimento de Física interpreta um Referencial. Neste trabalho analisei as noções de Referenciais Inerciais de sujeitos do Ensino Superior que cursam uma disciplina introdutória de Mecânica Clássica. Baseado na Epistemologia Genética, encontrei subsídios que possibilitaram compreender e analisar as noções evidenciadas pelos sujeitos. Este trabalho evidencia noções de Referencial Inercial que possibilitam ao sujeito responder a três perguntas fundamentais: o que é um Referencial? Como se diferenciam dois ou mais Referenciais? Todos os Referenciais são válidos para a Mecânica Clássica? Como resultado, foram encontradas três noções de Referencial Inercial, cada qual possibilitando ao sujeito agir sobre diversas situações da Mecânica Clássica. / One of the most fundamental concepts in physics is of Referential. That's because, to analyze any physical phenomenon, it is necessary to adopt a Referential. With regard to the classical phenomena of the Physics, commonly differentiate two reference systems: the inertial system and non inertial. Whereas for the first are valid and apply Newton's laws, to the second physical inconsistencies occur. Moreover, irrespective of a Referential be inertial or not, it is interesting to know what characterizes a Referential. Many people believe that Referential are physical objects, usually linked to their state of rest relative to Earth, for example, trees, poles, roads, etc. Howerer an object by itself is not a Referential. A Referential is characterized by a point of origin and, on this, the intersection of three mutually perpendicular lines that will give directions. In physics, normally used as a Referential to measure position, velocity and acceleration, which, in turn, are vectorial largeness, needing module, direction and sense, which requires a Referential more than a simple point of origin. Thus, it is interesting to analyze how a guy who already has knowledge of Physics interprets a Referential. This work analyzed the notions of Inertial Referential of subjects in higher education that attend a course introductory of Classical Mechanics. Based on Genetic Epistemology, found subsidies that make possible to understand and analyze the notions evidenced by the subjects. This work shows that notions of Inertial Referential that allow the subject to answer three fundamental questions: What is a Referential? How are differentiated two or more Referential? All Referential are valid for Classical Mechanics? As a result, found three notions of Inertial Referential, each allowing the individual to act on several situations of Classical Mechanics.

Orientador: Jayme Vaz Jr. / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-15T04:12:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Souza_JoseVicenteCiprianode_M.pdf: 1091003 bytes, checksum: 9c23a3d5fde13a39b607a4ada7ade738 (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Nessa dissertação apresentamos a Álgebra Geométrica do Espaço Euclidiano e estudamos algumas de suas propriedades. Para exemplificar suas aplicações, estudamos a Transformação Kustaanheimo-Stiefel em termos de Álgebra Geométrica. Para isso apresentamos inicialmente a Transformação KS, que regulariza o movimento de Kepler em três dimensões removendo uma singularidade na origem, da forma como foi originalmente formulada, baseando-se em álgebra de matrizes. Feito isso, a Transformação KS é apresentada com Álgebra Geométrica, o que torna o seu entendimento geométrico mais claro e seu desenvolvimento mais simplificado. Para tal o uso do conceito de spinors é de grande importância / Abstract: In this dissertation we presented the Geometric Algebra of Euclidean Space and studied some of its properties. To exemplify its applications, we studied the Kustaanheimo-Stiefel Transformation in terms of Geometric Algebra. This purpose we presented initially the KS Transformation which regularizes the Kepler motion in three dimensions by removing a singularity at the origin, as it was originally formulated, based on matrix algebra. Done, the KS transformation is presented with Geometric Algebra, making clearer its geometric understanding and its development more simplified. With this goal the spinors concept use is of great importance / Mestrado / Fisica-Matematica / Mestre em Matemática Aplicada

Résumé: Ce travail se veut une analyse conceptuelle de certains développements récents dans les fondements mathématiques de la Mécanique Classique et de la Mécanique Quantique qui ont permis de formuler ces deux théories dans un même langage. Du point de vue algébrique, l’ensemble des observables d’un système physique, soit-il classique ou quantique, est décrit par une algèbre de Jordan-Lie. Du point de vue géométrique, l’espace des états de tout système est décrit par un espace uniforme de Poisson avec transition de probabilité. Ces deux structures mathématiques sont ici interprétées comme une manifestation du double rôle constitutif des propriétés en physique : elles sont à la fois des quantités et des transformations. Il s’agit alors de comprendre l’articulation précise entre ces deux rôles. Au cours de l’analyse, il apparaîtra que la Mécanique Quantique peut être vue comme se distinguant de la Mécanique Classique par une condition de compatibilité entres les quantités et les transformations.D’autre part, cette thèse met en évidence l’existence d’une tension fondamentale entre une certaine façon abstraite de concevoir les structures mathématiques, présente dans la pratique de la physique mathématique, et la nécessité de spécifier des états ou des observables particulières. Il devient alors important de comprendre comment, dans le formalisme, se construit un schéma d’indexation. La “poursuite de l’individuation” est l’analyse de différentes techniques mathématiques vues comme tentatives de résolution ce problème. En particulier,nous discuterons comment la théorie des groupes permet d’y apporter une solution partielle. / This work is a conceptual analysis of certain recent developments in the mathematical foundations of Classical and Quantum Mechanics which have allowed to formulate both theories in a common language. From the algebraic point of view, the set of observables of a physical system, be it classical or quantum, is described by a Jordan-Lie algebra. From the geometric point of view, the space of states of any system is described by a uniform Poisson space with transition probability. Both these structures are here perceived as formal translations of the fundamental two fold role of properties in Mechanics: they are at the same time quantities and transformations. The question becomes then to understand the precise articulation between these two roles. The analysis will show that Quantum Mechanics canbe thought as distinguishing itself from Classical Mechanics by a compatibility condition between properties-as-quantities and properties-as-transformations. Moreover, this dissertation shows the existence of a tension between a certain ‘abstractway’ of conceiving mathematical structures, used in the practice of mathematical physics, and the necessary capacity to specify particular states or observables. It then becomes important to understand how, within the formalism, one can construct a labelling scheme. The “Chasefor Individuation” is the analysis of diferent mathematical techniques which attempt to overcome this tension. In particular, we discuss how group theory furnishes a partial solution

Thesis (PhD (Mathematical Sciences. Applied Mathematics))--University of Stellenbosch, 2008. / This dissertation contains a detailed report on the results of a research project on the behaviour of a dynamical system consisting of a hoop to which a heavy particle is fixed at the rim. This loaded hoop rolls on a rough surface while remaining in the vertical plane. The motion of the hoop consists of various, possibly alternating, phases consisting of rolling without slipping, spinning or skidding motion and in some cases ends by hopping off the surface. A general mathematical model is developed, consisting of a system of second order ordinary differential equations, one for each of the three degrees of freedom. Analytic solutions are obtained in some cases; otherwise numerical solutions are used. Three specific applications of the general model are dealt with. In the first application the problem of massless hoops is investigated. The main emphasis is on the somewhat controversial question of what happens after the normal reaction becomes zero in a position where the particle is still moving downwards. A new result shows that the hoop can continue to move horizontally in a motion defined as skimming. The second application deals with rigid hoops and a large number of detailed results are presented. Classification schemes for the different types of behaviour are introduced and summarised in the form of phase diagrams. Some emphasis is placed on the rather amazing number of different patterns of motion that can be obtained by varying the parameters. In the third application two elastic models are analysed, with the primary purpose of explaining one aspect of the reported behaviour of experimental hoops, namely hopping while the particle is moving downwards. A chapter on experimental models rounds off the project.

O objetivo deste trabalho é a obtenção numérica de soluções periódicas para o problema geral de N corpos sujeitos apenas à atração gravitacional mútua. Em particular, procuramos soluções chamadas de coreografias, que apresentam em comum a propriedade de que todos os corpos se movem sobre a mesma curva. O interesse neste tipo de solução aumentou muito recentemente devido aos avanços na Física das ondas gravitacionais. Com a possível detecção de ondas gravitacionais prevista para um futuro próximo, todas as configurações periódicas do problema de N corpos passam a ser consideradas como possíveis fontes de radiação gravitacional. Identificar os padrões de radiação associados a estas órbitas é uma das tarefas prementes atualmente na área. Tendo isso em vista, iremos calcular também as ondas gravitacionais emitidas por um sistema em que os corpos que o constituem seguem uma órbita coreográfica. Começamos este trabalho com um capítulo que descreve historicamente a busca pela solução geral do problema de N corpos, inicialmente motivada pelo interesse na análise da estabilidade do Sistema Solar. Em seguida, no Capítulo 2, apresentamos as principais definições e teoremas que serão utilizados ao longo do texto. O leitor pode escolher entre seguir este capítulo no início de sua leitura, ou então utilizá-lo para consulta quando necessário. No Capítulo 3, identificamos os graus de liberdade do sistema formado pelos N corpos e determinamos quais grandezas físicas nele se conservam, através do Teorema de Noether. Com isso estabelecemos a não integrabilidade deste sistema, no sentido de Liouville, para N > 2. Escrevemos também a solução geral do problema de dois corpos, conhecido como problema de Kepler, e mostramos duas soluções particulares para o problema de três corpos com massas iguais, conhecidas como soluções de Euler (1765) e Lagrange (1772). Na solução de Euler, os três corpos estão dispostos sobre uma mesma reta que gira com velocidade angular constante ao redor do seu centro de massa, e na de Lagrange, estão dispostos sobre os vértices de um triângulo equilátero que gira com velocidade angular constante ao redor do seu centro de massa. Com o intuito de descrever as soluções periódicas conhecidas para o Problema de N Corpos, no Capítulo 4 estudaremos as órbitas homográficas, que apresentam a característica de que a configuração do sistema em qualquer instante pode ser obtida através de uma rotação composta com uma dilatação/contração da configuração inicial. Essas soluções generalizam as soluções de Euler e Lagrange citadas anteriormente. No Capítulo 5, analisaremos as órbitas coreográficas. Esta classe de soluções foi descoberta por Cris Moore em 1993, que encontrou numericamente uma solução coreográfica para o problema de três corpos em que eles seguem uma mesma curva em forma de oito. A existência e a estabilidade desta solução foram estudadas de maneira rigorosa por Richard Montgomery e Alain Chenciner. Neste trabalho, damos um esboço de como construir a solução em forma de oito no caso em que as massas são idênticas. Simularemos esta e outras órbitas coreográficas, além de algumas outras órbitas periódicas descritas anteriormente, através do método de integração de Runge-Kutta de quarta ordem. Finalmente, no Capítulo 6 calculamos as ondas gravitacionais emitidas pelas órbitas homográficas e coreográficas simuladas anteriormente. Finalizaremos com uma breve discussão comparando os padrões de ondas gravitacionais obtidos para as diferentes órbitas e analisando a possibilidade de determinar a fonte de emissão a partir da medida de um sinal de uma onda gravitacional. / The purpose of this work is the numerical computing of the periodic solutions to the N-body problem, that is, the general problem of determinig the motion of N bodies exclusively subject to gravitational forces between them. In particular, we search for solutions that were named choreographies, which have in common the property that all bodies move along the same curve. The interest in this kind of solution has recently increased due to technological advances in Gravitational Wave (GW) Physics. As the detection of Gws is foreseen for the near future, all periodic configurations of the N-body problem may be considered as possible sources of gravitational radiation. Identifying the patterns of radiation associated to these orbits is nowadays one of the pressing tasks in this field. Having this fact in mind, we calculate the GWs emitted by a system in which all bodies describe a choreographic orbit. In Chapter 1, we briefly describe the history of the search for the general solution to the N-body Problem, initially motivated by the interest in the stability analysis of the Solar System. Next, in Chapter 2, we present the main definitions and theorems to which we refer during this text. The reader may opt between following this chapter as he begins to read this thesis and consulting it only if necessary or when he is referred to. In Chapter 3, we identify the degrees of freedom of the system consisting of N bodies and determine the physical quantities it conserves, through Noethers theorem. Doing that, we establish the non-integrability of our dynamical system, in the sense of Liouville integrability, if N > 2. We also give the general solution to the 2-body problem, known as Keplers Problem, and present two particular solutions to the 3-body Problem, known as Eulers solution (1765) and Lagranges solution (1772). In Eulers solution, all three bodies are in the same line, which revolves around its center of mass, and in Lagranges solux tion they are at the vertices of an equilateral triangle, which also revolves around its center of mass. In order to describe all known periodic solutions to the N-body Problem, in Chapter 4 we study homographic orbits, that is, orbits in which the configuration at any instant can be obtained by a rotation and a dilation/contraction of the initial configuration. These solutions generalize the solutions by Euler and Lagrange mentioned above. In Chapter 5, we analyze choreographic orbits. This class of solutions was discovered by Cris Moore in 1993, who computed numerically a choreographic solution in which the bodies move along the same curve in the shape of an eight. The existence and stability of this orbit were rigorously studied by Richard Montgomery and Alain Chenciner. Here, we sketch the construction of the figure eight solution in the particular case where all masses are identical. We simulate this and other choreographic solutions, as well as some other periodic solutions described before, through the use of a fourth order Runge- Kutta method of numerical integration. Finally, in Chapter 6 we calculate the Gws emitted by the homographic and choreographic orbits simulated before. We end this work with a brief discussion comparing the GW patterns obtained to different orbits and analyzing the possibility of determining the mission source from a measurement of a GW signal.