P. Broussous and S. Stevens studierten für die Konstruktion einfacher Typen unitärer p-adischer Gruppen Abbildungen zwischen erweiterten Bruhat-Tits-Gebäuden, die die Moy-Prasad-Filtrierungen respektieren (CLF). Im ersten Teil der Doktorarbeit wird deren Arbeit zu solchen Abbildungen um den Quaternionenalgebrafall erweitert. Genauer, es sei k0 ein p-adischer Körper mit einer von 2 verschiedenen Restcharakteristik und beta ein eine halbeinfache k0-Algebra erzeugendes, k0-rationales Element der Lie-Algebra einer über k0 definierten unitaren Gruppe G=U(h) zu einer epsilon-hermitischen Form h. Es sei H der Zentralisator von beta in G. Es wird bewiesen, dass eine affine H(k0)-equivariante CLF-Abbildung j vom erweiterten Bruhat-Tits-Gebäude B^1(H,k0) nach B^1(G,k0) existiert. Wie von Broussous vermutet, stellt sich in der Doktorarbeit heraus, dass j durch die CLF-Eigenschaft eindeutig bestimmt wird, falls kein Faktor von H k0-isomorph zur isotropen orthogonalen Gruppe vom k0-Rank 1 ist und alle Faktoren unitäre Gruppen sind. Desweiteren wird bei abgeschwächter Äquivarianzeigenschaft bewiesen, dass j als affine und bezüglich dem Zentrum von H^0(k0) equivariante CLF-Abbildung bis auf eine Translation von B^1(H,k0) eindeutig bestimmt ist. Im zweiten Teil wird der von Broussous und M. Grabitz studierte Einbettungstyp mit Hilfe einer CLF-Abbildung entschlüsselt. Wir betrachten einen Schiefkörper von endlichem Index und p-adischem Zentrum F. Die Konstruktion einfacher Typen für GLn(D) nach der Methode von Bushnell und Kutzko bedurfte der Analyse sogenannter Strata, die eine Starrheitseingenschaft erfüllen mussten. Teil eines Stratums ist insbesondere ein Paar (E,a) bestehend aus einer Körpererweiterung E|F in Mn(D) und einer erblichen Ordnung a, welche von E^x normalisiert wird. Broussous und Grabitz klassifizierten diese Paare mit Hilfe von Invarianten. Im zweiten Teil werden diese Invarianten mit Hilfe der Geometrie einer CLF-Abbildung berechnet. / P. Broussous and S. Stevens studied maps between enlarged Bruhat-Tits buildings to construct types for p-adic unitary groups. They needed maps which respect the Moy-Prasad filtrations. That property is called (CLF), i.e. compatibility with the Lie algebra filtrations. In the first part of this thesis we generalise their results on such maps to the Quaternion-algebra case. Let k0 be a p-adic field of residue characteristic not two. We consider a semisimple k0-rational Lie algebra element beta of a unitary group G:=U(h) defined over k0 with a signed hermitian form h. Let H be the centraliser of beta in G. We prove the existence of an affine H(k0)-equivariant CLF-map j from the enlarged Bruhat-Tits building B^1(H,k0) to B^1(G,k0). As conjectured by Broussous the CLF-property determines j, if none of the factors of H is k0-isomorphic to the isotropic orthogonal group of k0-rank one and all factors are unitary groups. Under the weaker assumption that the affine CLF-map j is only equivariant under the center of H^0(k0) it is uniquely determined up to a translation of B^1(H,k0). The second part is devoted to the decoding of embedding types by the geometry of a CLF-map. Embedding types have been studied by Broussous and M. Grabitz. We consider a division algebra D of finite index with a p-adic center F. The construction of simple types for GLn(D) in the Budhnell-Kutzko framework required an investigation of strata which had to fulfil a rigidity property. Giving a stratum especially means to fix a pair (E,a) consisting of a field extension E|F in Mn(D) and a hereditary order a which is stable under conjugation by E^x, in other words we fix an embedding of E^x into the normalizer of a. Broussous and Grabitz classified these pairs with invariants. We describe and prove a way to decode these invariants using the geometry of a CLF-map.

In this thesis I study metric aspects of finite nearly simple groups. Its four distinct chapters deal with four different questions. In the first chapter, I give a full description of the normal subgroup lattice of any algebraic ultraproduct of universal finite quasisimple groups. In the second, I investigate approximation questions for arbitrary abstract and topological groups by families of finite groups with conjugacy-invariant norms. In the third chapter, I prove that the map induced by any non-trivial word on the metric ultraproduct of classical groups of Lie type of unbounded rank is always surjective using cohomological and algebraic methods. In the last chapter, it is proved that (simple) metric ultraproducts of finite classical groups of Lie type of unbounded rank with different field sizes are always non-isomorphic. Also, if the field sizes are equal, two such ultraproducts can only be isomorphic if the Lie types are equal or one Lie type is orthogonal and the other symplectic.:Introduction 0 Notation, basic definitions, and facts 0.1 Group theory 0.2 Some ring and field theory 0.3 Ultraproducts and norms 1 The normal subgroup lattice of an algebraic ultraproduct 1.1 Introduction 1.2 Auxiliary geometric results 1.3 Relative bounded normal generation in universal finite quasisimple groups 1.4 The lattice of normal subgroups 2 Metric approximation of groups by finite groups 2.1 Introduction 2.2 Preliminaries 2.2.1 On C-approximable abstract groups 2.2.2 On C-approximable topological groups 2.3 On Sol-approximable groups 2.4 On Fin-approximable groups 2.5 On the approximability of Lie groups 3 Word maps are surjective on metric ultraproducts 3.1 Introduction 3.2 Symmetric groups 3.2.1 Power words 3.2.2 The cycle structure of elements from PSL_2(q) 3.2.3 Effective surjectivity of word maps over finite fields 3.2.4 Proof of Theorem 3.1 3.3 Unitary groups 3.3.1 Proof of Theorem 3.3 3.3.2 Further implications 3.3.3 Concluding remarks 3.4 Finite groups of Lie type 3.4.1 The linear case 3.4.2 The case of quasisimple groups of Lie type stabilizing a form 3.4.3 An alternative way of proving Theorem 3.1 using wreath products 4 Isomorphism questions for metric ultraproducts 4.1 Introduction 4.2 Description of conjugacy classes in S_U, GL_U(q), and PGL_U(q) 4.3 Characterization of torsion elements in S_U , GL_U(q), and PGL_U(q) 4.4 Faithful action of S_U and PGL_U(q) 4.5 Centralizers in S_U , GL_U(q), Sp_U(q), GO_U(q), and GU_U(q) 4.6 Centralizers in PGL_U(q), PSp_U(q), PGO_U(q), and PGU_U(q) 4.7 Double centralizers of torsion elements 4.7.1 The case S_U 4.7.2 The case PGL_U(q), PSp_U(q), PGO_U(q), and PGU_U(q) 4.8 Distinction of metric ultraproducts 4.8.1 Computation of e_G(o) when gcd{o,p}=gcd{o,|Z|}=1 4.8.2 Proof of Theorem 4.1 Index of Symbols Index Bibliography / In dieser Doktorarbeit studiere ich metrische Aspekte von endlichen fast-einfachen Gruppen. Ihre vier Kapitel beschäftigen sich mit vier unterschiedlichen Themenfeldern. Im ersten Kapitel gebe ich eine vollständige Beschreibung des Normalteilerverbandes eines algebraischen Ultraproduktes von universellen endlichen quasieinfachen Gruppen. Im zweiten beschäftige ich mich mit Approximationsfragen für beliebige abstrakte und topologische Gruppen durch Familien von endlichen Gruppen, auf denen eine konjugationsinvariante Norm erklärt ist. Im dritten Kapitel beweise ich, dass die Abbildung auf einem metrischen Ultraprodukt von klassischen Gruppen vom Lie-Typ von unbeschränktem Rang, die von einem beliebigen nicht-trivialen Wort induziert wird, immer surjektiv ist. Dabei verwende ich sowohl kohomologische als auch algebraische Methoden. Im letzten Kapitel beweise ich, dass (einfache) metrische Ultraprodukte von klassischen endlichen Gruppen vom Lie-Typ von unbeschränktem Rang mit unterschiedlicher Körpergröße immer nicht-isomorph sind. Ist die Körpergröße gleich, so können zwei solche Gruppen nur dann isomorph sein, falls sie auch denselben Lie-Typ haben, oder eine vom orthogonalen Typ und die andere vom symplektischen ist.:Introduction 0 Notation, basic definitions, and facts 0.1 Group theory 0.2 Some ring and field theory 0.3 Ultraproducts and norms 1 The normal subgroup lattice of an algebraic ultraproduct 1.1 Introduction 1.2 Auxiliary geometric results 1.3 Relative bounded normal generation in universal finite quasisimple groups 1.4 The lattice of normal subgroups 2 Metric approximation of groups by finite groups 2.1 Introduction 2.2 Preliminaries 2.2.1 On C-approximable abstract groups 2.2.2 On C-approximable topological groups 2.3 On Sol-approximable groups 2.4 On Fin-approximable groups 2.5 On the approximability of Lie groups 3 Word maps are surjective on metric ultraproducts 3.1 Introduction 3.2 Symmetric groups 3.2.1 Power words 3.2.2 The cycle structure of elements from PSL_2(q) 3.2.3 Effective surjectivity of word maps over finite fields 3.2.4 Proof of Theorem 3.1 3.3 Unitary groups 3.3.1 Proof of Theorem 3.3 3.3.2 Further implications 3.3.3 Concluding remarks 3.4 Finite groups of Lie type 3.4.1 The linear case 3.4.2 The case of quasisimple groups of Lie type stabilizing a form 3.4.3 An alternative way of proving Theorem 3.1 using wreath products 4 Isomorphism questions for metric ultraproducts 4.1 Introduction 4.2 Description of conjugacy classes in S_U, GL_U(q), and PGL_U(q) 4.3 Characterization of torsion elements in S_U , GL_U(q), and PGL_U(q) 4.4 Faithful action of S_U and PGL_U(q) 4.5 Centralizers in S_U , GL_U(q), Sp_U(q), GO_U(q), and GU_U(q) 4.6 Centralizers in PGL_U(q), PSp_U(q), PGO_U(q), and PGU_U(q) 4.7 Double centralizers of torsion elements 4.7.1 The case S_U 4.7.2 The case PGL_U(q), PSp_U(q), PGO_U(q), and PGU_U(q) 4.8 Distinction of metric ultraproducts 4.8.1 Computation of e_G(o) when gcd{o,p}=gcd{o,|Z|}=1 4.8.2 Proof of Theorem 4.1 Index of Symbols Index Bibliography