CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / The concept of treewidth was introduced by Robertson and Seymour. Treewidth may be defined as the size of the largest vertex set in a tree decomposition. Recent results show that several NP-Complete problems can be solved in polynomial time, or linear, when restricted to graphs with small treewidth. In our bibliographic research, we focus attention on the calculation of lower bounds for the treewidth and we described, in our dissertation, some of the principal results already available in the literature. We realize that linear-integer formulations for determining the treewidth are very limited in the literature and there are no studies available on the polyhedra associated with them. The Elimination Order Formulation (EOF) has been proposed by Koster and Bodlaender. It is based on orderly disposal of vertices and the relationship between the treewidth of a graph and its chordalizations. As a result of our study, we present a simplification of EOF formulation, we show that the polyhedron associated with this simplification is affine isomorphic to the EOF formulation. We determine the dimension of the polyhedron associated with the simplification, we briefly present a set of very simple facets and we introduce, analyse and demonstrate be a facet, some more complex inequalities. / O conceito de largura em Ãrvore (âtreewidthâ) foi introduzido por Robertson e Seymour. A largura em Ãrvore de um grafo G à o mÃnimo k tal que G pode ser decomposto em uma DecomposiÃÃo em Ãrvore (DEA) com cada subconjunto de vÃrtice com no mÃximo k+1 vÃrtices. Resultados recentes demonstram que vÃrios problemas NP-Completos podem ser resolvidos em tempo polinomial, ou ainda linear, quando restritos a grafos com largura em Ãrvore pequena. Em nossa pesquisa bibliogrÃfica, focamos a atenÃÃo no cÃlculo de limites inferiores para a largura em Ãrvore e descrevemos, em nossa dissertaÃÃo, alguns dos resultados jà disponÃveis na literatura. NÃs percebemos que formulaÃÃes lineares-inteiras para a determinaÃÃo da largura em Ãrvore sÃo limitadas na literatura e nÃo hà estudos disponÃveis sobre os poliedros associados a elas. A formulaÃÃo por ordem de eliminaÃÃo (EOF) foi proposta por Koster e Bodlaender. Ela à baseada na eliminaÃÃo ordenada de vÃrtices e na relaÃÃo entre a largura em Ãrvore de um grafo e suas cordalizaÃÃes. Como resultado de nosso estudo, apresentamos uma simplificaÃÃo da formulaÃÃo EOF, demonstramos que o poliedro associado a simplificaÃÃo à afim-isomÃrfico ao da formulaÃÃo EOF, verificamos a dimensÃo do poliedro associado à simplificaÃÃo, apresentamos brevemente um rol de facetas muito simples desse poliedro e, em seguinte, introduzimos, analisamos e demonstramos ser faceta algumas desigualdades mais complexas.

Using concepts of the socio-technical systems theory, this dissertation defines mathematically the problems of cooperative teams formation considering social and technical constraints separately, and then presents their computational complexity. Mainly, it is defined and studied the central problem in this work, which jointly considers social and technical requirements for creating teams of cooperative work, to be called FEST (Socio-Technical Teams Formation Problem). Two mathematical formulations and a meta-heuristic are proposed for FEST. One formulation uses a cubic number of variables and constraints, whereas the second one has a quadratic number of variables but an exponential number of constraints. The proposed heuristic is based on the Non-monotonic Simulated Annealing meta-heuristic with local search using swap-like operators. The correctness of both formulations is proved. A polynomial algorithm to separate the constraints of the second formulation is presented. It is proved that the two formulations provide the same linear programming bound, and valid inequalities to strengthen it are proposed. For the compact formulation, some classes of valid inequalities are shown to be facet-inducing under suitable hypotheses. Finally, it is statistically analyzed the performance of the presented formulations and meta-heuristic. Real and random generated instances are used in the computational experiments. / Utilizando conceitos da Teoria dos Sistemas SociotÃcnicos, este trabalho define matematicamente os problemas de formaÃÃo de equipes cooperativas considerando separadamente restriÃÃes sociais e tÃcnicas e apresenta a complexidade computacional dos mesmos. Sobretudo, à definido e estudado o problema central deste trabalho, que considera conjuntamente requisitos sociais e tÃcnicos para criaÃÃo de equipes de trabalho cooperativo, denominado FEST (Problema de FormaÃÃo de Equipes SociotÃcnicas). Duas formulaÃÃes matemÃticas e uma meta-heurÃstica para o FEST sÃo propostas. Uma formulaÃÃo utiliza um nÃmero cÃbico de variÃveis e restriÃÃes, enquanto a segunda formulaÃÃo possui um nÃmero quadrÃtico de variÃveis, mas um nÃmero exponencial de restriÃÃes. A meta-heurÃstica proposta à baseada no Simulated Annealing NÃo-MonotÃnico com busca local que usa operadores tipo swap. A corretude de ambas as formulaÃÃes à provada. Um algoritmo polinomial para separar as restriÃÃes da segunda formulaÃÃo à apresentado. Mostra-se que as duas formulaÃÃes fornecem o mesmo limite de programaÃÃo linear, e desigualdades vÃlidas para fortalecÃ-lo sÃo propostas. Para a formulaÃÃo compacta, algumas classes de desigualdades vÃlidas sÃo demonstradas indutoras de facetas sob hipÃteses apropriadas. Por fim, foi analisado estatisticamente o desempenho das formulaÃÃes e da meta-heurÃstica apresentadas. InstÃncias reais e geradas aleatoriamente sÃo usadas nos experimentos computacionais.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Um conjunto independente de um grafo à um subconjunto de vÃrtices que nÃo contÃm nenhum par de vÃrtices vizinhos. O problema do maior conjunto independente consiste em encontrar um conjunto independente de cardinalidade mÃxima. O problema do maior subgrafo induzido k-partido consiste em encontrar k conjuntos independentes cuja uniÃo tenha cardinalidade mÃxima. AlÃm de possuÃrem aplicaÃÃo em diversas Ãreas, como visÃo computacional, biologia molecular e projeto de circuitos integrados, estes problemas tambÃm modelam outros problemas de otimizaÃÃo combinatÃria, como empacotamento de conjuntos e coloraÃÃo de vÃrtices. Neste trabalho, estudamos os politopos associados aos dois problemas. Primeiro, descrevemos um novo procedimento de geraÃÃo de facetas para o politopo de conjuntos independentes, que unifica e generaliza diversos procedimentos anteriores. AlÃm de gerar vÃrias classes de desigualdades indutoras de facetas jà conhecidas, este procedimento tambÃm gera novas desigualdades que ainda nÃo foram descritas na literatura. Em seguida, estudamos o politopo do subgrafo induzido k-partido associado à formulaÃÃo por representantes de cor. Identificamos suas facetas mais simples, mostramos que facetas podem ser geradas a partir de subgrafos induzidos, e descrevemos duas classes de subgrafos que geram facetas deste politopo. Para obter os principais resultados desta dissertaÃÃo, fazemos um estudo da relaÃÃo de afim-isomorfismo entre poliedros, e desenvolvemos um novo procedimento de conversÃo de faces em facetas que generaliza as diversas versÃes do procedimento de levantamento de variÃveis. / A stable set of a graph is a set of pairwise non-adjacent vertices. The maximum stable set problem is to find a stable set of maximum cardinality in a given graph. The maximum induced k-partite subgraph problem is to find k stable sets such that their union has maximum cardinality. Besides having applications in various fields, including computer vision, molecular biology and VLSI circuit design, these problems also model other important combinatorial problems, such as set packing and vertex coloring. In the present work, we study the facial structure of the polytopes associated with both problems. First, we describe a new facet generating procedure for the stable set polytope, which unifies and subsumes several previous procedures. Besides generating many well-known facet inducing inequalities, this procedure can also generate new facet-inducing inequalities which have not been previously described. Then, we study the maximum induced k-partite polytope formulated by asymmetric representatives. We describe its simplest facets, show that some of its facets arise from vertex induced subgraphs, and identify two classes of subgraphs which generate facets of the polytope. To reach these main results, we study the affine equivalence between polyhedra, and also develop a new facet generating procedure for general polyhedra which subsumes the many versions of the lifting of variables.