In this thesis, we present the generation and studies of a 87Rb Bose-Einstein condensate (BEC) perturbed by an oscillatory excitation. The atoms are trapped in a harmonic magnetic trap where, after an evaporative cooling process, we produce the BEC. In order to study the effect caused by oscillatory excitations, a quadrupole magnetic field time oscillatory is superimposed to the trapping potential. Through this perturbation, collective modes were observed. The dipole mode is excited even for low excitation amplitudes. However, a minimum excitation energy is needed to excite the condensate quadrupole mode. Observing the excited cloud in TOF expansion, we note that for excitation amplitude in which the quadrupole mode is excited, the cloud expands without invert its aspect ratio. By looking these clouds, after long time-of-flight, it was possible to see vortices and, sometimes, a turbulent state in the condensed cloud. We calculated the momentum distribution of the perturbed BECs and a power law behavior, like the law to Kolmogorov turbulence, was observed. Furthermore, we show that using the method that we have developed to calculate the momentum distribution, the distribution curve (including the power law exponent) exhibits a dependence on the quadrupole mode oscillation of the cloud. The randomness distribution of peaks and depletions in density distribution image of an expanded turbulent BEC, remind us to the intensity profile of a speckle light beam. The analogy between matter-wave speckle and light speckle is justified by showing the similarities in the spatial propagation (or time expansion) of the waves. In addition, the second order correlation function is evaluated and the same dependence with distance was observed for the both waves. This creates the possibility to understand the properties of quantum matter in a disordered state. The propagation of a three-dimensional speckle field (as the matter-wave speckle described here) creates an opportunity to investigate the speckle phenomenon existing in dimensions higher than 2D (the case of light speckle). / Nesta tese, descrevemos a produção e os estudos de condensados de Bose-Einstein, em átomos de 87Rb, perturbados através de excitações oscilatórias. Os átomos aprisionados são aprisionados em uma armadilha magnética harmônica onde produzimos o condensado de Bose-Einstein após o processo de resfriamento evaporativo. Com o objetivo de estudar o efeito de excitações oscilatórias, um campo magnético quadrupolar temporalmente oscilanteé superposto ao campo de aprisionamento. Através dessa perturbação, podemos observar a excitação de modos coletivos no condensado. Mesmo para baixas amplitudes de excitação, o modo dipolar é facilmente excitado. Porém, observamos que para excitar o modo quadrupolar no condensado é necessária uma energia mínima. Através da expansão em tempo de voo da nuvem excitada, identificamos que, para amplitude de excitação na quail o modo quadrupolar é excitado, a nuvem expande sem inverter o aspect ratio. Analisando essas nuvens por longos tempos de voo, foi possível observar alguns vórtices e, às vezes, um estado turbulento na nuvem condensada. Calculamos a distribuição de momento dessas nuvens e notamos que ela exibe um comportamento de lei de potência, parecido com a lei de Kolmogorov para turbulência. Além disso, mostramos que pelo nosso método que desenvolvemos para calcular a distribuição de momento, a forma da curva dessa distribuição (inclusive o expoente da lei de potência) exibe uma dependência com o modo quadrupolar de oscilação da nuvem. A distribuição desordenada de picos e depleções, na imagem da distribuição de densidade do condensado turbulento expandido, assemelha-se ao perfil de intensidade de um feixe de luz com speckle. A analogia entre speckle de onda de matéria e de luz é fundamentada através das semelhanças entre a propagação (ou expansão) dessas duas ondas. Além disso, a função de correlação de segunda ordem foi calculada e a mesma dependência com a distância foi observada para as duas ondas. Isto cria a possibilidade de entender melhor as propriedades da matéria quântica em um estado de desordem. A propagação de um campo de speckle tridimensional (como é o caso do speckle de onda de matéria aqui descrito) cria uma oportunidade de investigar o fenômeno de speckle em dimensões maiores que 2D (o caso do speckle de luz).

Um potencial de dois corpos do tipo delta-Dirac foi utilizado para descrever sistemas fracamente ligados de três corpos. A trajetória completa dos estados Efimov em função da energia ligação de dois corpos foi calculada para o caso de três bosons idênticos: se o subsistema de dois corpos é ligado, conforme a razão entre a energia de ligação de dois e três corpos aumenta, o estado excitado desaparece e um estado virtual correspondente aparece quando a energia do estado fundamental atinge o limiar dado por 6.9hbar^2/(ma^2) (a - comprimento de espalhamento, m - massa do bóson). Quando o subsistema de dois corpos é virtual, o aumento da razão entre as energias faz com que o estado excitado se transforme em uma ressonância quando a energia do estado fundamental é 1.1hbar^2/(ma^2). Neste último caso as condições para a formação de moléculas triatômicas no interior de condensados é favorecida, pois a competição com dímeros fracamente ligados está ausente. A energia de ligação de trímeros com momento angular total nulo em condensados atômicos foi estimada através da correlação desta com o coeficiente de recombinação e com a energia do dímero, ambos conhecidos experimentalmente em alguns casos. Os tamanhos de moléculas fracamente ligadas (^4He_2$-X; Xequiv^4He, ^6Li, ^7Li e ^{23}Na) e de núcleos exóticos leves (^6He, ^{11}Li, ^{14}Be e ^{20}C) também foram calculados juntamente com um estudo sistemático do comportamento dos raios quadráticos médios conforme a interação dos subsistemas de dois corpos é variada. Neste último caso a classificação de um sistema de três corpos (tipo AAB) foi completada denominando de Samba a configuração formada por dois subsistemas de dois corpos ligados e um virtual. As equações subtraídas para os estados ligados de quatro bosons também foram deduzidas.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / A presente dissertação estuda com detalhes a evolução temporal fora do equilíbrio de um condensado de Bose-Einstein homogêneo diluído imerso em um reservatório térmico. Nós modelamos o sistema através de um campo de Bose escalar complexo. É apropriado descrever o comportamento microscópico desse sistema por meio da teoria quântica de campos através do formalismo de Schwinger-Keldysh. Usando esse formalismo, de tempo real a dinâmica do condensado é solucionada por um grupo de equações integro-diferencial auto consistente, essas são solucionadas numericamente. Estudamos também o cenário quench, e como a densidade do gás e as interações entre as flutuações tem o efeito de provocar as instabilidades nesse sistema. Aplicamos esse desenvolvimento para estudar o comportamento de duas espécies homogêneas de um gás de Bose diluído imerso em um reservatório térmico. / This Dissertation study the detailed out of equilibrium time evolution of a homogeneous diluted Bose-Einstein condensate in thermal bath. We modeled the system by means of one bosonic complex scalar field. The microscopic behavior of such an environment can be appropriately described by the non-equilibrium Schwinger-Keldysh formalism in a quantum field theory approach. Using this formalism, real-time dynamics of the condensate is encoded in a set of self-consistent integral-differential equations that we solved numerically. We studied, in the quench scenario, how the role of the interactions in the generation of the initial instability and the subsequent time evolution of the condensate. We also applied this technique to the study of a two-species homogeneous diluted Bose gas in a thermal bath.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / A presente dissertação estuda com detalhes a evolução temporal fora do equilíbrio de um condensado de Bose-Einstein homogêneo diluído imerso em um reservatório térmico. Nós modelamos o sistema através de um campo de Bose escalar complexo. É apropriado descrever o comportamento microscópico desse sistema por meio da teoria quântica de campos através do formalismo de Schwinger-Keldysh. Usando esse formalismo, de tempo real a dinâmica do condensado é solucionada por um grupo de equações integro-diferencial auto consistente, essas são solucionadas numericamente. Estudamos também o cenário quench, e como a densidade do gás e as interações entre as flutuações tem o efeito de provocar as instabilidades nesse sistema. Aplicamos esse desenvolvimento para estudar o comportamento de duas espécies homogêneas de um gás de Bose diluído imerso em um reservatório térmico. / This Dissertation study the detailed out of equilibrium time evolution of a homogeneous diluted Bose-Einstein condensate in thermal bath. We modeled the system by means of one bosonic complex scalar field. The microscopic behavior of such an environment can be appropriately described by the non-equilibrium Schwinger-Keldysh formalism in a quantum field theory approach. Using this formalism, real-time dynamics of the condensate is encoded in a set of self-consistent integral-differential equations that we solved numerically. We studied, in the quench scenario, how the role of the interactions in the generation of the initial instability and the subsequent time evolution of the condensate. We also applied this technique to the study of a two-species homogeneous diluted Bose gas in a thermal bath.

Um potencial de dois corpos do tipo delta-Dirac foi utilizado para descrever sistemas fracamente ligados de três corpos. A trajetória completa dos estados Efimov em função da energia ligação de dois corpos foi calculada para o caso de três bosons idênticos: se o subsistema de dois corpos é ligado, conforme a razão entre a energia de ligação de dois e três corpos aumenta, o estado excitado desaparece e um estado virtual correspondente aparece quando a energia do estado fundamental atinge o limiar dado por 6.9hbar^2/(ma^2) (a - comprimento de espalhamento, m - massa do bóson). Quando o subsistema de dois corpos é virtual, o aumento da razão entre as energias faz com que o estado excitado se transforme em uma ressonância quando a energia do estado fundamental é 1.1hbar^2/(ma^2). Neste último caso as condições para a formação de moléculas triatômicas no interior de condensados é favorecida, pois a competição com dímeros fracamente ligados está ausente. A energia de ligação de trímeros com momento angular total nulo em condensados atômicos foi estimada através da correlação desta com o coeficiente de recombinação e com a energia do dímero, ambos conhecidos experimentalmente em alguns casos. Os tamanhos de moléculas fracamente ligadas (^4He_2$-X; Xequiv^4He, ^6Li, ^7Li e ^{23}Na) e de núcleos exóticos leves (^6He, ^{11}Li, ^{14}Be e ^{20}C) também foram calculados juntamente com um estudo sistemático do comportamento dos raios quadráticos médios conforme a interação dos subsistemas de dois corpos é variada. Neste último caso a classificação de um sistema de três corpos (tipo AAB) foi completada denominando de Samba a configuração formada por dois subsistemas de dois corpos ligados e um virtual. As equações subtraídas para os estados ligados de quatro bosons também foram deduzidas.

In this thesis, we present the generation and studies of a 87Rb Bose-Einstein condensate (BEC) perturbed by an oscillatory excitation. The atoms are trapped in a harmonic magnetic trap where, after an evaporative cooling process, we produce the BEC. In order to study the effect caused by oscillatory excitations, a quadrupole magnetic field time oscillatory is superimposed to the trapping potential. Through this perturbation, collective modes were observed. The dipole mode is excited even for low excitation amplitudes. However, a minimum excitation energy is needed to excite the condensate quadrupole mode. Observing the excited cloud in TOF expansion, we note that for excitation amplitude in which the quadrupole mode is excited, the cloud expands without invert its aspect ratio. By looking these clouds, after long time-of-flight, it was possible to see vortices and, sometimes, a turbulent state in the condensed cloud. We calculated the momentum distribution of the perturbed BECs and a power law behavior, like the law to Kolmogorov turbulence, was observed. Furthermore, we show that using the method that we have developed to calculate the momentum distribution, the distribution curve (including the power law exponent) exhibits a dependence on the quadrupole mode oscillation of the cloud. The randomness distribution of peaks and depletions in density distribution image of an expanded turbulent BEC, remind us to the intensity profile of a speckle light beam. The analogy between matter-wave speckle and light speckle is justified by showing the similarities in the spatial propagation (or time expansion) of the waves. In addition, the second order correlation function is evaluated and the same dependence with distance was observed for the both waves. This creates the possibility to understand the properties of quantum matter in a disordered state. The propagation of a three-dimensional speckle field (as the matter-wave speckle described here) creates an opportunity to investigate the speckle phenomenon existing in dimensions higher than 2D (the case of light speckle). / Nesta tese, descrevemos a produção e os estudos de condensados de Bose-Einstein, em átomos de 87Rb, perturbados através de excitações oscilatórias. Os átomos aprisionados são aprisionados em uma armadilha magnética harmônica onde produzimos o condensado de Bose-Einstein após o processo de resfriamento evaporativo. Com o objetivo de estudar o efeito de excitações oscilatórias, um campo magnético quadrupolar temporalmente oscilanteé superposto ao campo de aprisionamento. Através dessa perturbação, podemos observar a excitação de modos coletivos no condensado. Mesmo para baixas amplitudes de excitação, o modo dipolar é facilmente excitado. Porém, observamos que para excitar o modo quadrupolar no condensado é necessária uma energia mínima. Através da expansão em tempo de voo da nuvem excitada, identificamos que, para amplitude de excitação na quail o modo quadrupolar é excitado, a nuvem expande sem inverter o aspect ratio. Analisando essas nuvens por longos tempos de voo, foi possível observar alguns vórtices e, às vezes, um estado turbulento na nuvem condensada. Calculamos a distribuição de momento dessas nuvens e notamos que ela exibe um comportamento de lei de potência, parecido com a lei de Kolmogorov para turbulência. Além disso, mostramos que pelo nosso método que desenvolvemos para calcular a distribuição de momento, a forma da curva dessa distribuição (inclusive o expoente da lei de potência) exibe uma dependência com o modo quadrupolar de oscilação da nuvem. A distribuição desordenada de picos e depleções, na imagem da distribuição de densidade do condensado turbulento expandido, assemelha-se ao perfil de intensidade de um feixe de luz com speckle. A analogia entre speckle de onda de matéria e de luz é fundamentada através das semelhanças entre a propagação (ou expansão) dessas duas ondas. Além disso, a função de correlação de segunda ordem foi calculada e a mesma dependência com a distância foi observada para as duas ondas. Isto cria a possibilidade de entender melhor as propriedades da matéria quântica em um estado de desordem. A propagação de um campo de speckle tridimensional (como é o caso do speckle de onda de matéria aqui descrito) cria uma oportunidade de investigar o fenômeno de speckle em dimensões maiores que 2D (o caso do speckle de luz).

Diferentes tipos de sólitons têm sido observados em meios ópticos não-lineares, e seus comportamentos individuais descritos pela equação não-linear de Schrödinger e pela equação não-linear de Schrödinger generalizada, em diferentes dimensões e geometrias. Entretando, há situações onde muitos sólitons são gerados formando uma densa rede de sólitons. Nestes casos, é impossível desprezar as interações entre os sólitons e temos que considerar a evolução da estrutura como um todo. A teoria das ondas de choque dispersivas em meios fotorrefrativos e a teoria da difração não-linear de intensos feixes de luz propagando-se em meios fotorrefrativos com um fio refletor incorporado a esse meio foi desenvolvida, e verificamos que está em excelente acordo com nossas simulações numéricas. No caso da formação de sólitons em condensados, fizemos cálculos numéricos realísticos dentro da aproximação de campo médio usando a equação de Gross-Pitaevskii, incluindo também um potencial de confinamento, um potencial móvel e um potencial dipolar. A maioria dos resultados puderam ser comparados com experimentos recentes. / Different kinds of solitons have already been observed in various nonlinear optical media, and their behavior has been explained in the frameworks of such mathematical models as the nonlinear Schrödinger and generalized nonlinear Shrödinger equations for different dimensions and geometries. However, there are situations when many solitons are generated so that they can comprise a dense soliton train. In such situations, it is impossible to neglect interactions between solitons and one has to consider the evolution of the structure as a whole rather than to trace the evolution of each soliton separately. The theory of optical shock waves in photorefractive media and the theory of nonlinear diffraction of light beams propagating in photorefractive media with embedded reflecting wire was developed and agrees very well with our numerical simulations. In the condensate soliton formation case, we did numerical calculations in the mean field approach using the Gross-Pitaevskii equation, adding a trap potential and a moving potential and a potential of the dipole-dipole interaction. The main results were also checked by recent experiments.

Neste trabalho descrevemos a produção e estudo de excitações topológicas em um condensado de Bose-Einstein em átomos de Rubídio-87. O condensado é produzido através de resfriamento evaporativo forçado por rádio-freqüência em uma armadilha puramente magnética do tipo QUIC. A armadilha magnética é carregada por um sistema de duplo-MOT. A temperatura de transição é de cerca de 150nK. Condensados puros com 1 - 2 × 10^5 átomos de Rb-87 são observados. Realizamos uma caracterização da amostra em relação às suas características fundamentais. Fração condensada, expansão anisotrópica, distribuição espacial e efeitos de temperatura finita são descritos. Com o objetivo de observar excitações coerentes do condensado entre os estados da armadilha, adicionamos um campo magnético do tipo quadrupolo esférico oscilante no tempo. Observamos, no entanto, a transferência de momento angular para a amostra com a formação de vórtices e arranjos de vórtices. Definimos regiões de amplitude que geram números de vórtices crescentes. Observamos a formação de estruturas de três vórtices não convencionais donde supusemos a possibilidade de excitação conjunta de vórtices e anti-vórtices. Observamos evidência de turbulência quântica, um estado onde os arranjos dos vórtices não são regulares nem as linhas de vórtices têm um eixo de rotação comum. / In this work we describe the production and investigation of topological excitations in a Bose-Einstein condensate in Rubidium-87 atoms. The condensate is produced through forced evaporative cooling by radio-frequency in a QUIC-type purely magnetic trap. The magnetic trap is loaded from a double-MOT system. Transition temperature is about 150nK. Pure condensates containing 1-2×105 87Rb atoms are observed. We performed the characterization of the sample in relation to its fundamental aspects. Condensed fraction, anisotropic expansion, spacial distribution and finite temperature effects are described. Aiming to observe coherent topological excitations of the condensate between two states of the trap, we added a spherical quadrupole magnetic fields oscillating in time. We observe, instead, angular momentum tranference to the sample and the formation of vortices and arrays of vortices. We define amplitude regions where an increasing number of vortices are observed. We observe the formation of non-usual three-vortex structures from which we infer the existence of vortices and anti-vortices together in the sample. We observe evidence of quantum turbulence, a state where non-regular vortex arrays appear as well as vortex lines have no preferred direction to form.

Usando a técnica de resfriamento evaporativo para átomos comprimidos numa armadilha magnética tipo QUIC, implementamos experimentos para observar Condensação de Bose-Einstein de átomos de sódio. Nessa armadilha magnética temos átomos advindos de uma armadilha magneto-óptica, a qual é carregada por um feixe desacelerado como etapa de pré-resfriamento. Nossas medidas foram baseadas em imagens de absorção fora de ressonância de um feixe de prova pela amostra atômica. Essas imagens foram feitas in situ, ou seja, na presença do campo da armadilha magnética, pelo fato do número de átomos ser baixo e a técnica de tempo de vôo não ser adequada a essa situação. Baseado no perfil de densidade e na temperatura medidos, calculamos a densidade de pico no espaço de fase D, a qual é seguida nas várias etapas de evaporação. Nossos resultados mostram que para uma freqüência final de evaporação de 1,65 MHz nós superamos o valor esperado para D (2,612) alcançar o ponto crítico, no centro da amostra, para obter a condensação. Devido ao baixo número de átomos restantes no potencial, a interação não produz efeitos consideráveis e dessa forma um modelo de gás ideal permite justificar essa observação. / Using a system composed of a QUIC trap loaded from a slowed atomic beam, we have performed experiments to observe the Bose-Einstein Condensation of Na atoms. In order to obtain the atomic distribution in the trap, we use an in situ out of resonance absorption image of a probe beam to determine the temperature and the density, which are use to calculate the phase space D. We have followed D as a function of the final evaporation frequency. The results show that at 1.65 MHz we crossed the critical value for D which corresponds to the point to start Bose-Condensation of the sample. Due to the low number of atoms remaining in the trap at the critical point, the interaction produce minor effects and therefore an ideal gas model explains well the observations.

Nessa tese, o objetivo principal foi verificar a estabilidade de sistemas atômicos condensados, sujeitos a diferentes combinações lineares e não-lineares de redes ópticas bie tridimensionais, considerando algumas situações simétricas e assimétricas. Com esse objetivo, foram realizadas análises variacionais e simulações numéricas exatas da equação não-linear correspondente que descreve sistemas condensados de Bose-Einstein, tipo-Schrödinger, mais conhecida como equação de Gross-Pitaevskii. No caso bidimensional, com redes ópticas cruzadas, linear e não-linear, foi verificada a existência de estabilidade para certas regiões de parâmetros das interações. Observou-se que essa estabilidade desaparece ao se incluir uma terceira dimensão sem a presença de um potencial de confinamento. No caso tridimensional, considerando redes ópticas lineares e não-lineares cruzadas, a estabilidade só ocorre quando consideramos uma interação confinante na terceira dimensão, no caso, uma segunda rede óptica linear. Finalmente, espera-se que nossos resultados venham a ser úteis para estudos experimentais que vêm sendo feitos em laboratórios de átomos ultra-frios. / In this thesis, the main objective was the verification of stability of condensed atomic systems, subject to different combinations of linear and nonlinear bi- and tridimensional optical lattices , considering some symmetric and asymmetric situations. With this objective, were performed variational analyzes and numerical exact simulations of the nonlinear Schrödinger-type equation that describes Bose-Einstein condensate systems, better known as Gross-Pitaevskii equation. In two-dimensional case, with a crossed linear and nonlinear optical lattice, the stability was confirmed for certain parameter regions of the interactions. It was observed that the stability disappears when including a third dimension without the presence of a confinement potential. In the three dimensional case, considering crossed linear and nonlinear optical lattices, stability occurs only when considering an interaction confining the third dimension, in this case a second linear optical lattice. Finally, it is expected that our results will be useful for experimental studies which have been done in the laboratories of ultra-cold atoms. Keywords: