Diese Arbeit befasst sich mit einem Multiplier-Bootstrap Verfahren für die Konstruktion von Likelihood-basierten Konfidenzbereichen in zwei verschiedenen Fällen. Im ersten Fall betrachten wir das Verfahren für ein einzelnes parametrisches Modell und im zweiten Fall erweitern wir die Methode, um Konfidenzbereiche für eine ganze Familie von parametrischen Modellen simultan zu schätzen. Theoretische Resultate zeigen die Validität der Bootstrap-Prozedur für eine potenziell begrenzte Anzahl an Beobachtungen, eine große Anzahl an betrachteten parametrischen Modellen, wachsende Parameterdimensionen und eine mögliche Misspezifizierung der parametrischen Annahmen. Im Falle eines einzelnen parametrischen Modells funktioniert die Bootstrap-Approximation, wenn die dritte Potenz der Parameterdimension ist kleiner als die Anzahl an Beobachtungen. Das Hauptresultat über die Validität des Bootstrap gilt unter der sogenannten Small-Modeling-Bias Bedingung auch im Falle, dass das parametrische Modell misspezifiert ist. Wenn das wahre Modell signifikant von der betrachteten parametrischen Familie abweicht, ist das Bootstrap Verfahren weiterhin anwendbar, aber es führt zu etwas konservativeren Schätzungen: die Konfidenzbereiche werden durch den Modellfehler vergrößert. Für die Konstruktion von simultanen Konfidenzbereichen entwickeln wir ein Multiplier-Bootstrap Verfahren um die Quantile der gemeinsamen Verteilung der Likelihood-Quotienten zu schätzen und eine Multiplizitätskorrektur der Konfidenzlevels vorzunehmen. Theoretische Ergebnisse zeigen die Validität des Verfahrens; die resultierende Approximationsfehler hängt von der Anzahl an betrachteten parametrischen Modellen logarithmisch. Hier betrachten wir auch wieder den Fall, dass die parametrischen Modelle misspezifiziert sind. Wenn die Misspezifikation signifikant ist, werden Bootstrap-generierten kritischen Werte größer als die wahren Werte sein und die Bootstrap-Konfidenzmengen sind konservativ. / The thesis studies a multiplier bootstrap procedure for construction of likelihood-based confidence sets in two cases. The first one focuses on a single parametric model, while the second case extends the construction to simultaneous confidence estimation for a collection of parametric models. Theoretical results justify the validity of the bootstrap procedure for a limited sample size, a large number of considered parametric models, growing parameters’ dimensions, and possible misspecification of the parametric assumptions. In the case of one parametric model the bootstrap approximation works if the cube of the parametric dimension is smaller than the sample size. The main result about bootstrap validity continues to apply even if the underlying parametric model is misspecified under a so-called small modelling bias condition. If the true model deviates significantly from the considered parametric family, the bootstrap procedure is still applicable but it becomes conservative: the size of the constructed confidence sets is increased by the modelling bias. For the problem of construction of simultaneous confidence sets we suggest a multiplier bootstrap procedure for estimating a joint distribution of the likelihood ratio statistics, and for adjustment of the confidence level for multiplicity. Theoretical results state the bootstrap validity; a number of parametric models enters a resulting approximation error logarithmically. Here we also consider the case when parametric models are misspecified. If the misspecification is significant, then the bootstrap critical values exceed the true ones and the bootstrap confidence set becomes conservative. The theoretical approach includes non-asymptotic square-root Wilks theorem, Gaussian approximation of Euclidean norm of a sum of independent vectors, comparison and anti-concentration bounds for Euclidean norm of Gaussian vectors. Numerical experiments for misspecified regression models nicely confirm our theoretical results.

波松分配（Poisson Distribution）常用在單位時間或是區間內，計算對有興趣之某隨機事件次數（或是已知事件之頻率），例如：速食餐廳的單位時間來客數，又或是每段期間內，某天然災害的發生次數，可以表示為某一特定事件X服從波松分配，若lambda為單位事件發生次數或是平均次數，我們稱lambda為此波松分配之母數，記作Poisson(lambda)，其中lambda屬於實數。 今天我們若想要探討由兩個服從不同波松分配抽取的隨機變數，如下列所述：令X={(X1,X2)}為一集合，其中Xi為X(i,1),X(i,2),...,X(i,ni)~Poisson(lambda(i)),i=1,2。欲探討兩波松分配之均數是否相同或相差小於某個常數d時，考慮以下檢定:H0:lambda2-lambda1<=d與H0:lambda2-lambda1>d，對於此問題可以使用的檢定方法有Przyborwski和Wilenski(1940)提出的條件檢定（Conditional test,C-test）或K.Krishnamoorthy與Jessica Thomson(2002)提出的精確性檢定（Exact test,E-test），其中的精確性檢定為一個非條件檢定（Unconditional Test）；K.Krishnamoorthy與Jessica Thomson比較條件檢定與精確性檢定的p-value皆小於顯著水準(apha)，而精確性檢定的檢定力不亞於條件檢定，因此精確性檢定比條件檢定更適合上面所述之假設問題。 Roger L.Berger（1996）提出一個以信賴區間的p-value所建立的較強力檢定，而目前只用於檢定兩二項分配（Binomial Distribution）的機率參數p是否相同為例，然而Berger在文中提到，較強力檢定比非條件檢定有更好的檢定力，而且要求的計算時間較少，可以提升檢定的效率。 本篇論文我們希望在固定apha與d時檢定的問題，建立一個兩波松分配均數顯著水準為apha的較強力檢定。 利用Roger L.Berger與Dennis D.Boos(1994)提出以信賴區間的p-value方法，建立波松分配兩兩母均數差的較強力檢定；研究發現此較強力檢定與精確性檢定的p-value皆小於apha，然而我們的檢定的檢定力皆不亞於精確性檢定所計算得出的檢定力，然而其apha及虛無假設皆需要善加考慮以本篇研究來看，當檢定為單尾檢定時，若apha<0.01，我們的較強力檢定沒有辦法找到比精確性檢定更好地拒絕域，換言之，此時較強力檢定與精確性檢定的檢定力將會相等。 / Poisson Distribution is used to calculate the probability of a certain phenomenon which attracted by researcher. If we want to test two random variable in an experiment .Therefore ,let X={(X1,X2)} be independent samples ,respectively ,from Poisson distribution ,also X(i,1),X(i,2),...,X(i,ni)~Poisson(lambda(i)),i=1,2. The problem of interest here is to test: H0:lambda2-lambda1<=d and H0:lambda2-lambda1>d, where 0<apha<1/2 ,and let Y1 equals sum of X1 and Y2 equals sum of X2, where apha ,lambda,d be fixed. In this problem of hypothesis testing about two Poisson means is addressed by the conditional test.However ,the exact method of testing based on the test statistic considered in K.Krishnamoorthy,Jessica Thomson(2002) also commonly used. Roger L.Berger ,Dennis D.Boos(1994) give a new way to calculate p-value,which replace the old method ,called it a valid p-value .In 1996, Roger L.Berger used the new way to propose a new test for two parameter of binomial distribution which is more powerful than exact test. In the other hand, Roger L.Berger also explain the unconditional test is more suitable than the conditional test. In this paper,we propose a new method for two parameter of Poisson distribution which revise from Roger L.Berger’s method. The result we obtain that our new test is really get a much bigger rejection region.We found when the fixed increasing ,the set of more powerful test increasing, and when the fixed power increasing ,the required sample size decreasing.