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Uma condição de injetividade e a estabilidade assintótica global no plano / A injectividade condition and the global asymptotic estability on the planeSOUZA, Wender José de 29 March 2010 (has links)
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Previous issue date: 2010-03-29 / In this work we are interested in the solution of the following problem: Let Y = ( f ,g)
be a vector field of class C1 in R2. Suppose that (x, y) = (0,0) is a singular point
of Y and assume that for any q ∈ R2, the eigenvalues of DY have negative real part,
this is, det(DY) > 0 and tr(DY) < 0. Then, the solution (x, y) = (0,0) of Y is globally
asymptotically stable.
To this end, we show that this problema is equivalent to the following: Let Y : R2 →R2
be a C1 vector field. If det(DY) > 0 and tr(DY) < 0, then Y is globally injective. This
equivalence was proved by C. Olech [1].
So we show the injectivity of the vector field Y under the conditions det(DY) > 0 and
tr(DY)<0. In fact, we present a more stronger result, which was obtained by C. Gutierrez
and can be found in [4]. This result is given by: Any planar vector field X of class C2
satisfying the r-eigenvalue condition for some r ∈ [0,¥) is injective. / Neste trabalho, estamos interessados em estudar a solução do seguinte problema: Seja
Y = ( f ,g) um campo de vetores, de classe C1, em R2. Suponha que (x, y) = (0,0) é um
ponto singular de Y e suponha que, para todo q ∈ R2, os autovalores de DY tem parte
real negativa, isto é, det(DY) > 0 e tr(DY) < 0. Então, a solução (x, y) = (0,0) de Y é
globalmente assintoticamente estável.
Para este fim, mostramos que este problema é equivalente ao seguinte: Seja Y : R2 →R2
uma campo de vetores de classe C1. Se det(DY) > 0 e tr(DY) < 0, então Y é globalmente
injetora. Esta equivalência foi demonstrada por C. Olech em [1].
Desta forma, a estratégia é estudar a injetividade do campo Y sob as condições det(DY)>
0 e tr(DY) < 0. Na verdade, apresentamos um resultado um pouco mais forte, o qual foi
obtido por C. Gutierrez e pode ser encontrado em [4]. Este resultado é dado por: Qualquer
campo de vetores X : R2 →R2 de classe C2 satisfazendo a condição de r-autovalor, para
algum r ∈ [0,¥), é injetora.
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Injetividade global para aplicações entre espaços euclideanos / Global injectivity for applications between euclidean spacesRibeiro, Yuri Cândido da Silva 19 November 2007 (has links)
Neste texto é feita uma discussão sobre alguns resultados que fornecem condições suficientes para que um difeomorfismo local, do espaço euclideano n-dimensional nele próprio, seja injetivo. Dentro deste cenário, são exploradas as contribuições destes resultados na tentativa de solucionar conhecidas conjecturas no meio científico como a Conjectura Jacobiana e a Conjectura de Ponto Fixo. Do ponto de vista dinâmico, existem relações entre injetividade global e estabilidade assintótica global. Neste sentido, os resultados também são contextualizados com respeito a importantes conjecturas de estabilidade assintótica: Conjectura de Markus-Yamabe e o Problema de LaSalle / We present some results which give suficient conditions for a local diffeomorphism from the n-dimensional Euclidean space into itself be globally injective. Within this context, we consider some partial results addressed to solve the well known Fixed Point Conjecture and Jacobian Conjecture. From the dynamical point of view, there are connections between global injectivity and global asymptotic stability. In this way, we present a solution of the Markus-Yamabe Conjecture and of the LaSalle Problem
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Injetividade global para aplicações entre espaços euclideanos / Global injectivity for applications between euclidean spacesYuri Cândido da Silva Ribeiro 19 November 2007 (has links)
Neste texto é feita uma discussão sobre alguns resultados que fornecem condições suficientes para que um difeomorfismo local, do espaço euclideano n-dimensional nele próprio, seja injetivo. Dentro deste cenário, são exploradas as contribuições destes resultados na tentativa de solucionar conhecidas conjecturas no meio científico como a Conjectura Jacobiana e a Conjectura de Ponto Fixo. Do ponto de vista dinâmico, existem relações entre injetividade global e estabilidade assintótica global. Neste sentido, os resultados também são contextualizados com respeito a importantes conjecturas de estabilidade assintótica: Conjectura de Markus-Yamabe e o Problema de LaSalle / We present some results which give suficient conditions for a local diffeomorphism from the n-dimensional Euclidean space into itself be globally injective. Within this context, we consider some partial results addressed to solve the well known Fixed Point Conjecture and Jacobian Conjecture. From the dynamical point of view, there are connections between global injectivity and global asymptotic stability. In this way, we present a solution of the Markus-Yamabe Conjecture and of the LaSalle Problem
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