Neste trabalho desenvolve-se um estudo sobre os Espaços Coerentes Gerados por Conjuntos Básicos, dotados de uma estrutura adicional. Por estrutura adicional entende-se uma estrutura algébrica, de ordem pontual, de medidas, topológica e lógica. Estes espaços, denotados por , constituem uma subcategoria dos Espaços Coerentes, cujos objetos, ordenados pela inclusão, são conjuntos coerentes constituídos por subconjuntos do conjunto básico, os quais estão relacionados pela relação de coerência induzida, que estrutura a teia deste espaço. Os morfismos desta categoria são as funções de objetos geradas por funções básicas. As propriedades algébricas e relacionais destas funções básicas, externas ao processo de construção, ao se propagarem, passam a influenciar na verificação das propriedades internas das funções de objetos. Contudo, este trabalho não é um estudo categórico. A metodologia adotada utiliza a linguagem simples e intuitiva da Teoria dos Conjuntos, que possibilita a visualização e a análise dos relacionamentos existentes, não apenas entre os morfismos que envolvem os objetos totais ou parciais desta categoria, mas também das estruturas ou pré-estruturas externas que os formam, representados pelas funções de tokens e funções básicas. Mostra-se que as funções de objetos são totais e bem definidas, alem de serem monótonas e continuas neste espaço. Entretanto a análise da estabilidade, e consequentemente da linearidade esta associada a injetividade das funções básicas. Uma das características mais importantes da construção proposta e o desenvolvimento de um sistema de representação linear para funções localmente lineares, com a definição do espaço coerente A* gerado pelo produto de subteias. Neste espaço, as funções de objetos são lineares e coincidem com os morfismo da categoria dos espaços coerentes. Além disso, mostra-se que A* e isomorfo ao espaço coerente gerado pelo produto direto dos sub-espaços, ПĄ. Desta forma, toda transformação definida para um tipo de dado estruturado a partir de um conjunto básico enumerável tem uma representação linear, constituída pelos morfismos da categoria dos espaços coerentes. A existência da representação linear para as funções elementares garante a existência da representação linear para outras funções derivadas destas. Apresenta-se ainda uma especificação desta construção, introduzindo-se o Espaço Coerente de Intervalos Racionais, IIQ. Na busca de uma aplicação compatível com uma abordagem computacional, em especial para Análise Real, mostra-se que, em IIQ, cada função real elementar esta identificada com uma função de objetos linear, definida a partir da correspondente função elementar racional. Dentre as funções que foram analisadas destacam-se: a exponencial, a logarítmica, a potência, a potência estendida, a raiz n-ésima, as funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente e suas correspondentes funções inversas, como também a função polinomial. Verificou-se que todas estas funções de objetos são totais, bem definidas, ou pertencem ou possuem uma representação linear na categoria COSP-LIN dos espaços coerentes, alem de serem fechadas para os objetos totais e quasi-totais deste espaço, sendo possível estabelecer o correspondente par-projeção para cada uma delas. / In this work the Coherence Spaces Generated by Basic Sets with additional structure are studied. By additional structure one means an algebraic, topological and logical structure with a punctual order and a measure system. These spaces, indicated by A, are a subcategory of the category of Coherence Spaces, whose objects, ordered by inclusion, are coherent sets formed by the induced web coherence relation. The morphisms of this category are the functions of objects generated by basic functions. The algebraic and relational properties of these basic functions - external to the construction process - are propagated and cause important influences in the verification of the internal properties of the functions of objects However, this research is not a categorical study. The methodology uses the simple and intuitive language of the Set Theory, which allows the visualization and the analysis of the existing relationships, not only among, the morphisms of the total and partial objects of this category, but also among their structures or pre-structures, represented by the functions of tokens and basic functions. It is shown that the functions of objects are total and well defined. They are also monotone and continuous. However the stability and the linearity of the functions of objects depend on the fact if the basic functions are injective or not. One of the most important features of this construction is the development of a linear representation system for the local linear functions, by the definition of a coherence space A*, which is generated by the subweb product. In this space the functions of objects are linear and therefore they are the morphisms of the category of Coherence Spaces. Moreover, it is proved that A* is isomorphic to the coherence space generated by the directed product of the subspaces, denoted by ПĄ . Then, for each transformation defined for a structured data type considering a denumerable basic set there exists its related linear representation. The existence of a linear representation for elementary functions guarantees the existence of a linear representation for others derived functions. As an application of this construction, the Coherence Space of Rational Intervals, denoted by IIQ, is introduced. In order to show an application which is compatible to a computational approach, specially for the real analysis, each elementary real function is identified with a linear function of objects, defined considering the related elementary rational function. Some of the analyzed functions are the exponential, the logarithmic, the power , the extended power, the root, the trigonometric (sine, cosine and tangent and their relates inverses), and the polynomial functions. It is proved that all of these functions of objects are total and well defined. Moreover, either they belong to the category COPS-LIN of the coherence spaces or they have a linear representation in the same category. It is also possible to define a related projection pair for each one of them.

Neste trabalho desenvolve-se um estudo sobre os Espaços Coerentes Gerados por Conjuntos Básicos, dotados de uma estrutura adicional. Por estrutura adicional entende-se uma estrutura algébrica, de ordem pontual, de medidas, topológica e lógica. Estes espaços, denotados por , constituem uma subcategoria dos Espaços Coerentes, cujos objetos, ordenados pela inclusão, são conjuntos coerentes constituídos por subconjuntos do conjunto básico, os quais estão relacionados pela relação de coerência induzida, que estrutura a teia deste espaço. Os morfismos desta categoria são as funções de objetos geradas por funções básicas. As propriedades algébricas e relacionais destas funções básicas, externas ao processo de construção, ao se propagarem, passam a influenciar na verificação das propriedades internas das funções de objetos. Contudo, este trabalho não é um estudo categórico. A metodologia adotada utiliza a linguagem simples e intuitiva da Teoria dos Conjuntos, que possibilita a visualização e a análise dos relacionamentos existentes, não apenas entre os morfismos que envolvem os objetos totais ou parciais desta categoria, mas também das estruturas ou pré-estruturas externas que os formam, representados pelas funções de tokens e funções básicas. Mostra-se que as funções de objetos são totais e bem definidas, alem de serem monótonas e continuas neste espaço. Entretanto a análise da estabilidade, e consequentemente da linearidade esta associada a injetividade das funções básicas. Uma das características mais importantes da construção proposta e o desenvolvimento de um sistema de representação linear para funções localmente lineares, com a definição do espaço coerente A* gerado pelo produto de subteias. Neste espaço, as funções de objetos são lineares e coincidem com os morfismo da categoria dos espaços coerentes. Além disso, mostra-se que A* e isomorfo ao espaço coerente gerado pelo produto direto dos sub-espaços, ПĄ. Desta forma, toda transformação definida para um tipo de dado estruturado a partir de um conjunto básico enumerável tem uma representação linear, constituída pelos morfismos da categoria dos espaços coerentes. A existência da representação linear para as funções elementares garante a existência da representação linear para outras funções derivadas destas. Apresenta-se ainda uma especificação desta construção, introduzindo-se o Espaço Coerente de Intervalos Racionais, IIQ. Na busca de uma aplicação compatível com uma abordagem computacional, em especial para Análise Real, mostra-se que, em IIQ, cada função real elementar esta identificada com uma função de objetos linear, definida a partir da correspondente função elementar racional. Dentre as funções que foram analisadas destacam-se: a exponencial, a logarítmica, a potência, a potência estendida, a raiz n-ésima, as funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente e suas correspondentes funções inversas, como também a função polinomial. Verificou-se que todas estas funções de objetos são totais, bem definidas, ou pertencem ou possuem uma representação linear na categoria COSP-LIN dos espaços coerentes, alem de serem fechadas para os objetos totais e quasi-totais deste espaço, sendo possível estabelecer o correspondente par-projeção para cada uma delas. / In this work the Coherence Spaces Generated by Basic Sets with additional structure are studied. By additional structure one means an algebraic, topological and logical structure with a punctual order and a measure system. These spaces, indicated by A, are a subcategory of the category of Coherence Spaces, whose objects, ordered by inclusion, are coherent sets formed by the induced web coherence relation. The morphisms of this category are the functions of objects generated by basic functions. The algebraic and relational properties of these basic functions - external to the construction process - are propagated and cause important influences in the verification of the internal properties of the functions of objects However, this research is not a categorical study. The methodology uses the simple and intuitive language of the Set Theory, which allows the visualization and the analysis of the existing relationships, not only among, the morphisms of the total and partial objects of this category, but also among their structures or pre-structures, represented by the functions of tokens and basic functions. It is shown that the functions of objects are total and well defined. They are also monotone and continuous. However the stability and the linearity of the functions of objects depend on the fact if the basic functions are injective or not. One of the most important features of this construction is the development of a linear representation system for the local linear functions, by the definition of a coherence space A*, which is generated by the subweb product. In this space the functions of objects are linear and therefore they are the morphisms of the category of Coherence Spaces. Moreover, it is proved that A* is isomorphic to the coherence space generated by the directed product of the subspaces, denoted by ПĄ . Then, for each transformation defined for a structured data type considering a denumerable basic set there exists its related linear representation. The existence of a linear representation for elementary functions guarantees the existence of a linear representation for others derived functions. As an application of this construction, the Coherence Space of Rational Intervals, denoted by IIQ, is introduced. In order to show an application which is compatible to a computational approach, specially for the real analysis, each elementary real function is identified with a linear function of objects, defined considering the related elementary rational function. Some of the analyzed functions are the exponential, the logarithmic, the power , the extended power, the root, the trigonometric (sine, cosine and tangent and their relates inverses), and the polynomial functions. It is proved that all of these functions of objects are total and well defined. Moreover, either they belong to the category COPS-LIN of the coherence spaces or they have a linear representation in the same category. It is also possible to define a related projection pair for each one of them.

Neste trabalho desenvolve-se um estudo sobre os Espaços Coerentes Gerados por Conjuntos Básicos, dotados de uma estrutura adicional. Por estrutura adicional entende-se uma estrutura algébrica, de ordem pontual, de medidas, topológica e lógica. Estes espaços, denotados por , constituem uma subcategoria dos Espaços Coerentes, cujos objetos, ordenados pela inclusão, são conjuntos coerentes constituídos por subconjuntos do conjunto básico, os quais estão relacionados pela relação de coerência induzida, que estrutura a teia deste espaço. Os morfismos desta categoria são as funções de objetos geradas por funções básicas. As propriedades algébricas e relacionais destas funções básicas, externas ao processo de construção, ao se propagarem, passam a influenciar na verificação das propriedades internas das funções de objetos. Contudo, este trabalho não é um estudo categórico. A metodologia adotada utiliza a linguagem simples e intuitiva da Teoria dos Conjuntos, que possibilita a visualização e a análise dos relacionamentos existentes, não apenas entre os morfismos que envolvem os objetos totais ou parciais desta categoria, mas também das estruturas ou pré-estruturas externas que os formam, representados pelas funções de tokens e funções básicas. Mostra-se que as funções de objetos são totais e bem definidas, alem de serem monótonas e continuas neste espaço. Entretanto a análise da estabilidade, e consequentemente da linearidade esta associada a injetividade das funções básicas. Uma das características mais importantes da construção proposta e o desenvolvimento de um sistema de representação linear para funções localmente lineares, com a definição do espaço coerente A* gerado pelo produto de subteias. Neste espaço, as funções de objetos são lineares e coincidem com os morfismo da categoria dos espaços coerentes. Além disso, mostra-se que A* e isomorfo ao espaço coerente gerado pelo produto direto dos sub-espaços, ПĄ. Desta forma, toda transformação definida para um tipo de dado estruturado a partir de um conjunto básico enumerável tem uma representação linear, constituída pelos morfismos da categoria dos espaços coerentes. A existência da representação linear para as funções elementares garante a existência da representação linear para outras funções derivadas destas. Apresenta-se ainda uma especificação desta construção, introduzindo-se o Espaço Coerente de Intervalos Racionais, IIQ. Na busca de uma aplicação compatível com uma abordagem computacional, em especial para Análise Real, mostra-se que, em IIQ, cada função real elementar esta identificada com uma função de objetos linear, definida a partir da correspondente função elementar racional. Dentre as funções que foram analisadas destacam-se: a exponencial, a logarítmica, a potência, a potência estendida, a raiz n-ésima, as funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente e suas correspondentes funções inversas, como também a função polinomial. Verificou-se que todas estas funções de objetos são totais, bem definidas, ou pertencem ou possuem uma representação linear na categoria COSP-LIN dos espaços coerentes, alem de serem fechadas para os objetos totais e quasi-totais deste espaço, sendo possível estabelecer o correspondente par-projeção para cada uma delas. / In this work the Coherence Spaces Generated by Basic Sets with additional structure are studied. By additional structure one means an algebraic, topological and logical structure with a punctual order and a measure system. These spaces, indicated by A, are a subcategory of the category of Coherence Spaces, whose objects, ordered by inclusion, are coherent sets formed by the induced web coherence relation. The morphisms of this category are the functions of objects generated by basic functions. The algebraic and relational properties of these basic functions - external to the construction process - are propagated and cause important influences in the verification of the internal properties of the functions of objects However, this research is not a categorical study. The methodology uses the simple and intuitive language of the Set Theory, which allows the visualization and the analysis of the existing relationships, not only among, the morphisms of the total and partial objects of this category, but also among their structures or pre-structures, represented by the functions of tokens and basic functions. It is shown that the functions of objects are total and well defined. They are also monotone and continuous. However the stability and the linearity of the functions of objects depend on the fact if the basic functions are injective or not. One of the most important features of this construction is the development of a linear representation system for the local linear functions, by the definition of a coherence space A*, which is generated by the subweb product. In this space the functions of objects are linear and therefore they are the morphisms of the category of Coherence Spaces. Moreover, it is proved that A* is isomorphic to the coherence space generated by the directed product of the subspaces, denoted by ПĄ . Then, for each transformation defined for a structured data type considering a denumerable basic set there exists its related linear representation. The existence of a linear representation for elementary functions guarantees the existence of a linear representation for others derived functions. As an application of this construction, the Coherence Space of Rational Intervals, denoted by IIQ, is introduced. In order to show an application which is compatible to a computational approach, specially for the real analysis, each elementary real function is identified with a linear function of objects, defined considering the related elementary rational function. Some of the analyzed functions are the exponential, the logarithmic, the power , the extended power, the root, the trigonometric (sine, cosine and tangent and their relates inverses), and the polynomial functions. It is proved that all of these functions of objects are total and well defined. Moreover, either they belong to the category COPS-LIN of the coherence spaces or they have a linear representation in the same category. It is also possible to define a related projection pair for each one of them.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This study aims to present a geometric construction of real numbers characterizing them as numbers that express a measure. In this construction, each point in an oriented line represents the measure of a segment (a real number). Based on ve axioms of Euclidean geometry it was de ned an order relation, a method to add and multiply points so that it was possible to demonstrate that the line has a full ordered body of algebraic structure that we call the set of real numbers. To do so, it were presented historical elements that allow us to understand the emergence of irrational numbers as a solution to the insu ciency of rational numbers with respect to the measuring problem, the evolution of the concept of number, as well as the importance that the strict construction of real numbers had to the Foundations of Mathematics. We display a construction of rational numbers from the integernumbers as motivation for construction of numerical sets. Using the notion of measure,we show a geometric interpretation of rational numbers linking them to the points of an oriented line to demonstrate that they leave holes in the line and conclude on the need to build a set that contains the rational numbers and that ll all the points of a line. The theme is of utmost importance to the teaching of mathematics because one of the major goal of basic education is to promote understanding of numbers and operations, to develop number sense and to develop uency in the calculation. To achieve this, it is necessary to assimilate the r / O presente trabalho tem por objetivo apresentar uma construção geométrica dos números reais caracterizando-os como números que expressam uma medida. Nesta construção cada ponto de uma reta orientada representa a medida de um segmento (um número real), com base nos cinco axiomas da geometria euclidiana de niu-se uma relação de ordem, um método para somar e multiplicar pontos de tal forma que fosse possível demonstrar que a reta possui uma estrutura algébrica de corpo ordenado completo a qual chamamos de conjunto dos números reais. Para tanto, foram apresentados elementos históricos que permitem compreender o surgimento dos números irracionais como solução para a insu - ciência dos números racionais no que diz respeito ao problema de medida, a evolução do próprio conceito de número, bem como a importância que a construção rigorosa dos nú- meros reais tiveram para os Fundamentos da Matemática. Exibimos uma construção dos números racionais a partir dos números inteiros como motivação para construções de conjuntos numéricos. Usando a noção de medida mostramos uma interpretação geométrica dos números racionais associando-os aos pontos de uma reta orientada para demonstrar que eles deixam buracos na reta e concluir sobre a necessidade de construir um conjunto que contenha os números racionais e que preencham todos os pontos de uma reta. O tema é de extrema importância para o ensino da matemática, visto que um dos principais objetivos do ensino básico é promover a compreensão dos números e das operações, desenvolver o sentido de número e desenvolver a uência no cálculo, sendo necessário para tal assimilar os números reais, em especial os irracionais, os quais são tratados a partir do ensino fundamental.