Vicinal surfaces consist of terraces separated by atomic steps. In the step-flow regime, deposited atoms (adatoms) diffuse on terraces, eventually reaching steps where they attach to the crystal, thereby causing the steps to move. There are two main objectives of this work. First, we analyze rigorously the differences in qualitative behavior between vicinal surfaces consisting of infinitely many steps and nanowires whose top surface consists of a small number of steps bounded by a reflecting wall. Second, we derive the continuum model that describes the macroscopic behavior of vicinal surfaces from detailed microscopic models of step dynamics. We use the standard theory of Burton-Cabrera-Frank (BCF) to show that in the presence of an Ehrlich-Schwoebel barrier, i.e., a preferential attachment of adatoms from the lower terraces, N-periodic step motions are stable with respect to step collisions. Nonetheless, for N > 2 step collisions may occur. Moreover, we consider a single perturbed terrace, in which we distinguish three cases: no attachment from the upper terraces (perfect ES barrier), no attachment from the lower terraces (perfect inverse ES barrier), and symmetric attachment. For a perfect ES barrier, steps never collide regardless of the initial perturbation. In contrast, for a perfect inverse ES barrier, collisions occur for any nonzero perturbation. Finally, for symmetric attachment, step collisions occur for sufficiently large outward perturbations. To model nanowire growth, we consider rectilinear steps and concentric steps bounded by reflecting walls. In contrast to a vicinal surface with infinitely many steps, we prove analytically that the Ehrlich-Schwoebel barrier is destabilizing with respect to step collisions. We further consider nanowire growth with desorption, and prove that the initial conditions that lead to step collisions are characterized by a unique step motion trajectory. We take as our starting point a thermodynamically consistent (TC) generalization of the BCF model to derive PDE that govern the evolution of the vicinal surface at the macroscale. Whereas the BCF model yields a fourth-order parabolic equation for the surface height, the TC model yields a system of coupled equations for the surface height and the surface chemical potential.

L’objet de cette thèse est l’étude du modèle plat, l’ingrédient principal du programme de quantification de la gravité par les mousses de spins, avec un accent particulier sur ses divergences. Outre une introduction personnelle au problème de la gravité quantique, le manuscrit se compose de deux parties. Dans la première, nous obtenons une formule exacte pour le comptage de puissances des divergences de bulles dans le modèle plat, notamment grâce à des outils de théorie de jauge discrète et de cohomologie tordue. Dans la seconde partie, nous considérons le problème de la limite continue des mousses de spins, tant du point de vue des théories de jauge sur réseau que du point de vue de la group field theory. Nous avançons en particulier une nouvelle preuve de la sommabilité de Borel du modèle de Boulatov-Freidel-Louapre, permettant un contrôle accru du comportement d’échelle dans la limite de grands spins. Nous concluons par une discussion prospective du programme de renormalisation pour les mousses de spins. / In this thesis we study the flat model, the main buidling block for the spinfoam ap- proach to quantum gravity, with an emphasis on its divergences. Besides a personal introduction to the problem of quantum gravity, the manuscript consists in two part. In the first one, we establish an exact powercounting formula for the bubble divergences of the flat model, using tools from discrete gauge theory and twisted cohomology. In the second one, we address the issue of spinfoam continuum limit, both from the lattice field theory and the group field theory perspectives. In particular, we put forward a new proof of the Borel summability of the Boulatov-Freidel-Louapre model, with an improved control over the large-spin scaling behaviour. We conclude with an outlook of the renormalization program in spinfoam quantum gravity.

Einer der finalen Schritte in Simulationen von Gitter Quantenchromodynamik (QCD) oder Gittereichtheorie ist die Kontinuumsextrapolation, um die eigentliche Kontinuumsphysik zu extrahieren. Diese Extrapolation beruht stark auf Annahmen über die asymptotische Abhängigkeit vom Gitterabstand, was zu systematischen Unsicherheiten des Kontinuumslimes führt. In klassischen Feldtheorien ist die asymptotische Form schlicht eine Potenzreihe im Gitterabstand, wobei die führende Potenz von der gewählten Diskretisierung auf dem Gitter abhängt. Die Quantenkorrekturen in Gitter QCD und Gittereichtheorie brechen dieses Verhalten. Für asymptotisch freie Theorien wie Gitter QCD werden die ganzzahligen Potenzen im Gitterabstand mit einer Potenz der laufenden Kopplung multipliziert. Die führenden Potenzen in der Kopplung lassen sich wiederum aus den anomalen Dimensionen von höher-dimensionalen Operatoren bestimmen, die eine Basis für eine Symanzik Effektiven Feldtheorie bilden. Im Rahmen dieser Arbeit werden die führenden Potenzen in der Kopplung für die Wilson oder Ginsparg-Wilson (GW) Wirkung bestimmt, die für spektrale Größen wie Hadronmassen beitragen. Die untere Schranke des Spektrums dieser Potenzen liegt nahe null für Gitter QCD mit Wilson oder GW Quarks, weshalb keine Probleme durch eine verschlechterte Konvergenz zum Kontinuumslimes zu erwarten sind. Allerdings ist das Spektrum der führenden Potenzen sehr dicht. Dadurch lässt sich der Operator der minimalen Basis mit dominierendem Beitrag zu den Gitterartefakten schlecht bestimmen und ein kompliziertes Zusammenspiel der verschiedenen Beiträge zu den Gitterartefakten ist möglich. Nun, da die führenden Korrekturen der Gitterwirkungen mit Wilson und GW Quarks zur klassischen Potenz im Gitterabstand bekannt sind, sollten diese für die Kontinuumsextrapolation genutzt werden, sowohl für den Ansatz der Extrapolationsfunktion als auch als Orientierungshilfe, um die inhärente systematische Unsicherheit des Kontinuumslimes abzuschätzen. / One of the final steps in simulations of lattice Quantum Chromodynamics (QCD) or lattice pure gauge theory is the continuum extrapolation to extract the actual continuum physics. This extrapolation relies heavily on assumptions regarding the asymptotic dependence on the lattice spacing, which introduces an inherent systematic uncertainty to the continuum limit. In classical field theories the asymptotic form is a power series in the lattice spacing, where the leading power depends on the chosen lattice discretisation. The quantum nature of lattice QCD and lattice pure gauge theory spoils this behaviour. For asymptotically free theories like lattice QCD the integer powers in the lattice spacing are multiplied by an additional power in the running coupling. The leading powers in the coupling can be determined from the anomalous dimensions of higher dimensional operators, which form a minimal basis of a Symanzik Effective theory. The scope of this thesis is to compute the leading powers in the coupling for the Wilson or Ginsparg-Wilson (GW) action relevant for spectral quantities like hadron masses. The lower bound of these powers is close to zero for lattice QCD with Wilson or GW quarks such that no problems from a reduced convergence towards the continuum limit are to be expected. However the spectrum of leading powers is very dense. The operator of the minimal basis with dominant contributions to the lattice artifacts is thus hard to determine and complicated interplay of the contributions from the various operators is possible. Now the leading corrections from lattice actions with Wilson or GW quarks to the classical power in the lattice spacing are known and should be used when performing the continuum extrapolation both through explicit use in the fit ansatz and as an orientation to estimate the systematic uncertainty inherent to the continuum limit.

Τα κοκκώδη υλικά είναι αναπόσπαστο κομμάτι του κόσμου μέσα στον οποίο ζει ο άνθρωπος, και συνεπώς, για την καλύτερη κατανόηση του κόσμου αυτού, επιβάλλεται η μελέτη τους. Αυτός είναι και ο σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Επικεντρωνόμαστε σε διάδρομο μεταφοράς ο οποίος αποτελεί αντιπροσωπευτικό μοντέλο για πληθώρα εφαρμογών τόσο στην βιομηχανία όσο και στο φυσικό περιβάλλον. Αποτελεί επίσης χαρακτηριστικό παράδειγμα της οικογένειας ανοικτών πολυσωματιδιακών συστημάτων, η οποία βρίσκεται στην καρδιά της σύγχρονης επιστήμης της Πολυπλοκότητας. Αρχικά εισάγουμε το μοντέλο ροής στο οποίο το κοκκώδες υλικό αντιμετωπίζεται ως ένα ειδικό ρευστό (συνεχές μέσο) με εσωτερική απώλεια ενέργειας. Μελετάμε τη δυναμική ισορροπία που επικρατεί στο σύστημα υπό σταθερές συνθήκες, καθώς και την κατάρρευση της ομαλής ροής μέσω του σχηματισμού συσσωματώματος. Ειδική μνεία γίνεται στα πρόδρομα φαινόμενα της συσσωμάτωσης, τα οποία ερμηνεύουμε μέσω μίας αντίστροφης διακλάδωσης διπλασιασμού περιόδου. Διερευνώντας την εξάρτηση μεταξύ της μορφής της ροϊκής συνάρτησης και του τρόπου με τον οποίο το σύστημα μεταβαίνει σε καθεστώς συσσωμάτωσης αποκαλύπτουμε τόσο ποιοτικές όσο και ποσοτικές διαφορές σε σχέση με τον παραπάνω τύπο διακλάδωσης. Μια σημαντική παραλλαγή του συστήματος μεταφοράς προκύπτει εφαρμόζοντας ανατροφοδότηση του πρώτου δοχείου με το συνολικό υλικό που εκρέει από το τελευταίο. Η μαθηματική επεξεργασία αποδεικνύει ότι σε αυτήν την περίπτωση η δημιουργία συσσωματώματος συντελείται μέσω μιας διακλάδωσης Hopf αντί για διακλάδωσης διπλασιασμού περιόδου. Επιστρέφοντας στο αρχικό μας σύστημα, μελετάμε και το συνεχές όριο, θεωρώντας το διάδρομο μεταφοράς να έχει «άπειρο» μήκος. Η δυναμική ισορροπία, που ισοδυναμεί με το ισοζύγιο της μάζας ανάμεσα σε διαδοχικά δοχεία του διακριτού συστήματος, τώρα παίρνει τη μορφή μιας μη γραμμικής μερικής διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με μη σταθερούς συντελεστές. Η προσεκτική μελέτη της εξίσωσης και των συντελεστών της, σε συνδυασμό πάντα με τις συνοριακές συνθήκες στην είσοδο και έξοδο του διαδρόμου, μας επιτρέπει όχι μόνο να αναπαραγάγουμε τα προηγούμενα αποτελέσματα υπό το πρίσμα του συνεχούς ορίου αλλά και να τα ερμηνεύσουμε βάσει φυσικών διεργασιών όπως είναι η μεταφορά (drift) και η διάχυση (diffusion). Ειδικότερα, η συσσωμάτωση συμβαίνει σε καθεστώς αρνητικής διάχυσης (antidiffusion). Κλείνουμε την διατριβή προτείνοντας γενικεύσεις των συστημάτων που ερευνήσαμε. Επεκτείνουμε το διάδρομο μεταφοράς σε πλέγματα δύο διαστάσεων και μελετάμε άλλα μοντέλα που σχετίζονται με ροές διακριτών σωματιδίων όπως είναι η κυκλοφορία οχημάτων στους αυτοκινητοδρόμους. / Granular materials are ubiquitous in nature and in our daily lives, and understanding their behavior is therefore of crucial importance. The present thesis wants to contribute to this. We focus on a conveyor belt, which is not only a representative model for numerous applications both in industry and the natural environment, but also a prime example of an open multi-particle system prone to spontaneous pattern formation. This places our study right in the center of the modern science of complexity. Initially we introduce the flux model, in which the granular material is treated as a special fluid (a continuous medium) with internal energy losses. We examine the dynamic equilibrium that exists in the system under steady state conditions and also the breakdown of this equilibrium when the inflow rate exceeds a certain critical threshold value, resulting in the formation of a cluster and the obstruction of the conveyor belt. We focus especially on the pre-clustering phenomena and find that these can be described mathematically by a reverse period doubling bifurcation. Investigating the relation between the precise form of the flux function and the way in which the transition to the clustered state takes place, we reveal that the above scenario via a reverse period doubling bifurcation is not universal. Also other bifurcation types are possible. An important variation of our transport system is obtained by applying a feedback mechanism: All the particles that flow out from the last compartment are inserted into the first, making the system closed with respect to matter (mass conservation). The mathematical analysis proves that in this case the cluster formation occurs via a Hopf bifurcation instead of a period doubling. Returning to our original system, we study its continuum limit by considering a conveyor belt of ‘infinite’ length. The dynamics of the system is now described by a second-order nonlinear partial differential equation with non-constant coefficients. A careful analysis of this PDE and its coefficients, in combination with the special boundary conditions at the entrance and exit of the system, allows us not only to reproduce the results of the discrete system in the setting of differential equations but also to interpret these results in terms of physical processes such as drift and diffusion. In particular, the clustering occurs when the diffusion coefficient becomes negative, which gives antidiffusion. We close this thesis by discussing several generalizations of the system investigated. Among other things we expand the one-dimensional conveyor belt to a two-dimensional lattice. We further propose to use a similar flux model for the study of other, non-granular instances of discrete particle flows, such as vehicles on a highway.