Croissance et reproduction sont des mécanismes fondamentaux du vivant. Chez les micro-organismes, ces processus sont couplés dans la transformation des ressources de l'environnement (matière et énergie) en nouvelles structures organiques. Étonnamment, malgré l'extrême diversité des micro-organismes, certaines caractéristiques de leur physiologie suivent des lois de croissance universelles. Cela suggère l'existence de principes fondamentaux, ce qui a été en effet récemment confirmé en montrant que ces lois s'expliquent facilement si l'organisme maximise son taux de croissance dans chaque environnement. Cependant, ces lois ont seulement été étudiées lors de croissances à l'état stationnaire, c'est-à-dire lorsque l'environnement et donc le taux de croissance sont stables. Ces conditions, même si elles peuvent être reproduites en laboratoire, n'ont rien à voir avec les conditions de vie dans lesquelles les organismes ont évolué durant des milliards d'années. Le but de cette thèse est d'étendre dans un contexte d'environnement purement dynamique, l'étude à la fois théorique et expérimentale de ces stratégies de croissance microbienne.En modélisant la cellule comme un auto-réplicateur, nous cherchons à savoir quelles sont les meilleures stratégies d'allocation des ressources lors de l'adaptation à un nouvel environnement. Ce problème se formule très bien comme un problème de contrôle optimal : la cellule choisit en temps réel comment allouer ses ressources entre la machinerie d'expression génique et le métabolisme. Le meilleur comportement possible, comme le révèle l'application du Principe de Maximisation de Pontryagin, est de successivement orienter toutes les ressources dans chacun des deux secteurs, une stratégie communément appelée bang-bang. Mais s'approcher d'un tel contrôle requiert pour la cellule des stratégies de régulation bien plus complexes que celles qui étaient suffisantes pour maximiser le taux de croissance à l'état stationnaire. De manière intéressante, la régulation de la synthèse des ribosomes par le ppGpp chez la bactérie Escherichia coli s'avère présenter la structure adéquate. Nous montrons en effet qu'elle permet de détecter rapidement toute incompatibilité entre la concentration de précurseurs et celle des ribosomes, et d'ajuster en conséquence la synthèse de ces derniers pour obtenir un comportement proche de l'optimum mathématique prédit.Même si de vieilles données le suggèrent, un tel comportement bang-bang n'a jamais été totalement confirmé expérimentalement pour la synthèse des ribosomes. Nous mesurons donc l'abondance des ribosomes chez Escherichia coli au niveau d'une cellule unique lors d'un changement brutal de milieu de culture. En particulier, nous créons une souche de E. coli sur laquelle un rapporteur fluorescent est attaché à l'une des sous-unités ribosomales, permettant ainsi leur quantification in vivo. Un appareillage micro-fluidique nous permet ensuite de contrôler en temps réel le milieu de croissance tout en observant individuellement chaque cellule fluorescente. Nous développons une méthode basée sur le lissage de Kalman qui est capable de reconstruire la façon dont les ressources sont aiguillées vers la synthèse des ribosomes. Même si ces résultats sont préliminaires, ils suggèrent que la concentration des ribosomes oscille après le changement d'environnement, ce qui rappelle une stratégie de type bang-bang.Nos résultats montrent que la capacité des systèmes de régulations à intégrer l'état de différentes variables physiologiques est crucial dans l'optimisation de la croissance en environnement variable. Au final, nous démontrons que les principes utilisés à l'état stationnaire peuvent, lorsqu'ils sont appliqués en dynamique, générer des comportements inattendus et expliquer plus en détails les stratégies de régulations employées par les micro-organismes. / Growth is the most fundamental property of life. Growth consists in the transformation of matter and energy from the environment into diverse organic structures. Interestingly, general growth laws relate the macromolecular composition of the cell to growth rate. These laws are widespread and conserved in different microbial species, suggesting a fundamental principle of design. Recent work has shown that these empirical regularities can be derived from coarse-grained models of resource allocation and explained by the principles of natural selection. However, the vast majority of these studies focus on steady-state growth. Such conditions are rarely found in natural habitats, where microorganisms are continually challenged by environmental fluctuations. The aim of this thesis is to extend the theoretical and experimental studies of microbial growth strategies to changing environments.Using a self-replicator model, we developed a theoretical framework that encapsulates the main features of growth. We formulate dynamical growth maximization as an optimal control problem that the microbial cell must solve in order to allocate the available resources to the gene expression machinery or to metabolism. Using Pontryagin's Maximum Principle, we have derived a general solution to the optimization problem and we have compared the optimal strategy with possible implementations of growth control in bacterial cells. Our results show that simple control strategies that maximize the growth-rate at steady state are suboptimal for transitions from one growth regime to another. We show that a near-optimal control strategy in dynamical conditions requires information about several, rather than a single, physiological variable. Interestingly, this strategy has structural analogies with the regulation of ribosomal protein synthesis by the signaling molecule ppGpp in the enterobacterium Escherichia coli. The strategy involves sensing a discrepancy between the concentrations of precursor metabolites and ribosomes, and the control of the rate of ribosome synthesis in a switch-like manner.Even though this switch-like ribosome synthesis has been suggested by published data, the phenomenon has never been experimentally confirmed. We therefore measured ribosomal abundance in Escherichia coli at the single-cell level during a nutrient upshift. More precisely, we constructed a strain in which a fluorescent marker has been attached to a ribosomal subunit, thus allowing in-vivo monitoring of the abundance of ribosomes. We monitored this strain in a microfluidics device designed for long-term imaging of individual cells in a continuous culture, and used this experimental setup to simulate a nutrient upshift by changing the input medium. We developed a Kalman smoothing method for extracting quantitative information about resource allocation to ribosome synthesis from the raw data. Even though our preliminary results do not allow to reach a final conclusion, they do suggest the presence of oscillatory patterns after an upshift that are reminiscent of the expected behavior.Our results demonstrate that the capability of regulatory systems to integrate information about several physiological variables is critical for optimizing growth in a changing environment. The proposed control scheme correctly reproduces the observed growth laws at steady state, but also predicts novel and unexpected behaviors when applied to a dynamical environment. Our improved understanding of the principles that govern the control of bacterial growth could be used for improving biotechnological processes, in particular those that use microorganisms to produce high valuable-added products for the chemical or biomedical industry.

Dans cette thèse on s'intéresse à un modèle mathématique décrivant l'adaptation du développement des populations de moustiques face à l'usage intensif des insecticides durant la nuit (moustiquaires imprégnées, répulsifs en spray, répulsifs avec diffuseur électrique, ...).Le modèle proposé dans cette thèse est structuré en âge et dépend du temps/moment où le moustique pique pour prendre son repas. Ceci nous conduità des modèles du type ultra parabolique. Le terme de renouvellement de lapopulation de moustiques est non-local, comme pour tous les problèmes démographiques, mais comporte ici un noyau qui permet à la nouvelle générationd'adapter son temps de piqure (repas). Ceci est dû à la sélection de certainsmoustiques qui piquent plus tôt ou plus tard que les autres moustiques, suite àla pression imposée par l'usage intensif des pesticides à l'intérieur des habitats et en particulier durant la nuit. Les conditions aux bords par rapport au moment de piqure (repas) seront périodiques car selon les espèces, les moustiques prennent toujours leurs repas au même moment de la journée.Les principaux résultats peuvent être classés dans 4 parties.Dans la première partie on présente un modèle structuré en âge décrivant laplasticité du moustique dans un environnement non contrôlé. On montre quele problème est bien posé via la théorie des semi-groupes. Le comportementasymptotique est décrit grâce à l'étude du spectre de l'opérateur A générateurdu C0 semi-groupe. On prouve également l'existence ou la non existence dessolutions stationnaires (sous certaines hypothèses).Dans la deuxième partie on s'intéresse à un problème de contrôle optimalde la population de moustiques. Le contrôle correspond à la proportion demoustiques éliminée et dépend du temps, de l'âge des moustiques et du tempsoù le moustique pique pour se nourrir. On démontre d’abord l’existence desolutions grâce à un argument de point fixe puis on établit des résultats decomparaisons pour notre problème. On établit ensuite l'existence d'un contrôleoptimal puis on dérive le système d'optimalité.Dans la troisième partie on s'intéresse à la question de contrôlabilité exacte locale pour le problème décrivant la capacité des moustiques à adapter leurdynamique face à l'usage intensif des insecticides. On établit une nouvelleinégalité de type Carleman pour le modèle structuré en âge avec diffusionet une condition au bord de renouvellement non-locale et des conditions auxbords périodiques par rapport au temps de piqure des moustiques.Dans la quatrième partie on s'intéresse au comportement en temps longd'un modèle non linéaire décrivant l'adaptation de la population des moustiques à l'usage intensif des insecticides. Quand le contrôle est petit (usage limité des insecticides) alors la population mature de moustiques devient grandeavec le temps et quand le contrôle est grand (usage intensif des insecticides)la population mature de moustiques devient petite avec le temps. Dans le casintermédiaire on obtient un modèle avec retard en temps pour la populationmature de moustiques qui peut être gouvernée par une sur-équation et unesous-équation. Finalement on montre que la sous-équation admet des ondesvoyageuses et la population mature de moustiques sera donc comprise entreces ondes voyageuses et les sur-solutions. / This dissertation is concerned with an age structured problem modelling mosquito plasticity. The main results can be divided into four parts.The first part presents an age structured problem modelling mosquito plasticity in a natural environment. We first investigate the analytical asymptotic solution through studying the spectrum of an operator A which is the infinitesimal generator of a C0-semigroup. Additionally, we get the existence and nonexistence of nonnegative steady solutions under some conditions.In the second part, we study the optimal control of an age structured problem. Firstly, we prove the existence of solutions and the comparison principle for a generalized system. Then, we prove the existence of the optimal control for the best harvesting. Finally, we establish necessary optimality conditions.In the third part, we investigate the local exact controllability of an age structured problem modelling the ability of malaria vectors to shift their biting time to avoid the stressful environmental conditions generated by the use of indoor residual spraying (IRs) and insecticide-treated nets (ITNs). We establish a new Carleman's inequality for our age diffusive model with non local birth processus and periodic biting-time boundary conditions.In the fourth part, we model a mosquito plasticity problem and investigate the large time behavior of matured population under different control strategies. Firstly, we prove that when the control is small, then the matured population will become large for large time and when the control is large, then the matured population will become small for large time. In the intermediate case, we derive a time-delayed model for the matured population which can be governed by a sub-equation and a super-equation. Finally, we prove the existence of traveling fronts for the sub-equation and use it to prove that the matured population will finally be between the positive states of the sub-equation and super-equation.

Quelle sont les points communs entre un robot humanoïde et un quadrimoteur ? Et bien, pas grand-chose… Cette thèse est donc dédiée au développement d’algorithmes permettant de contrôler un robot de manière dynamique tout en restant générique par rapport au model du robot et à la tâche que l’on cherche à résoudre. Le contrôle optimal numérique est pour cela un bon candidat. Cependant il souffre de plusieurs difficultés comme un nombre important de paramètres à ajuster et des temps de calcul relativement élevés. Ce document présente alors plusieurs améliorations permettant d’atténuer ces difficultés. D’un côté, l’ordonnancement des différentes tâches sous la forme d’une hiérarchie et sa résolution avec un algorithme adapté permet de réduire le nombre de paramètres à ajuster. D’un autre côté, l’utilisation de l’apprentissage automatique afin d’initialiser l’algorithme d’optimisation ou de générer un modèle simplifié du robot permet de fortement diminuer les temps de calcul. / What are the common characteristics of humanoid robots and quadrotors? Well, not many… Therefore, this thesis focuses on the development of algorithms allowing to dynamically control a robot while staying generic with respect to the model of the robot and the task that needs to be solved. Numerical optimal control is good candidate to achieve such objective. However, it suffers from several difficulties such as a high number of parameters to tune and a relatively important computation time. This document presents several ameliorations allowing to reduce these problems. On one hand, the tasks can be ordered according to a hierarchy and solved with an appropriate algorithm to lower the number of parameters to tune. On the other hand, machine learning can be used to initialize the optimization solver or to generate a simplified model of the robot, and therefore can be used to decrease the computation time.

Le projet de cette thèse est double. Le premier concerne l’extension des résultats précédents sur les conditions nécessaires d’optimalité pour des problèmes avec contraintes d’état, dans le cadre du contrôle optimal ainsi que dans le cadre de calcul des variations. Le deuxième objectif consiste à travailler sur deux nouveaux aspects de recherche : dériver des résultats de viabilité pour une classe de systèmes de contrôle avec des contraintes d’état dans lesquels les conditions dites ‘standard inward pointing conditions’ sont violées; et établir les conditions nécessaires d’optimalité pour des problèmes de minimisation de coût moyen éventuellement perturbés par des paramètres inconnus.Dans la première partie, nous examinons les conditions nécessaires d’optimalité qui jouent un rôle important dans la recherche de candidats pour être des solutions optimales parmi toutes les solutions admissibles. Cependant, dans les problèmes d’optimisation dynamique avec contraintes d’état, certaines situations pathologiques pourraient survenir. Par exemple, il se peut que le multiplicateur associé à la fonction objective (à minimiser) disparaisse. Dans ce cas, la fonction objective à minimiser n’intervient pas dans les conditions nécessaires de premier ordre: il s’agit du cas dit anormal. Un phénomène pire, appelé le cas dégénéré montre que, dans certaines circonstances, l’ensemble des trajectoires admissibles coïncide avec l’ensemble des candidats minimiseurs. Par conséquent, les conditions nécessaires ne donnent aucune information sur les minimiseurs possibles.Pour surmonter ces difficultés, de nouvelles hypothèses supplémentaires doivent être imposées, appelées les qualifications de la contrainte. Nous étudions ces deux problèmes (normalité et non dégénérescence) pour des problèmes de contrôle optimal impliquant des contraintes dynamiques exprimées en termes d’inclusion différentielle, lorsque le minimiseur a son point de départ dans une région où la contrainte d’état est non lisse. Nous prouvons que sous une information supplémentaire impliquant principalement le cône tangent de Clarke, les conditions nécessaires sous la forme dite ‘Extended Euler-Lagrange condition’ sont satisfaites en forme normale et non dégénérée pour deux classes de problèmes de contrôle optimal avec contrainte d’état. Le résultat sur la normalité est également appliqué pour le problème de calcul des variations avec contrainte d’état.Dans la deuxième partie de la thèse, nous considérons d’abord une classe de systèmes de contrôle avec contrainte d’état pour lesquels les qualifications de la contrainte standard du ‘premier ordre’ ne sont pas satisfaites, mais une qualification de la contrainte d’ordre supérieure (ordre 2) est satisfaite.Nous proposons une nouvelle construction des trajectoires admissibles (dit un résultat de viabilité) et nous étudions des exemples (tels que l’intégrateur non holonomique de Brockett) fournissant en plus un résultat d’estimation non linéaire. L’autre sujet de la deuxième partie de la thèse concerne l’étude d’une classe de problèmes de contrôle optimal dans lesquels des incertitudes apparaissent dans les données en termes de paramètres inconnus. En tenant compte d’un critère de performance sous la forme de coût moyen, une question cruciale est clairement de pouvoir caractériser les contrôles optimaux indépendamment de l’action du paramètre inconnu: cela permet de trouver une sorte de ‘meilleur compromis’ parmi toutes les réalisations possibles du système de contrôle tant que le paramètre varie. Pour ce type de problèmes, nous obtenons des conditions nécessaires d’optimalité sous la forme du Principe du Maximum (éventuellement pour le cas non lisse). / The project of this thesis is twofold. The first concerns the extension of previous results on necessary optimality conditions for state constrained problems in optimal control and in calculus of variations. The second aim consists in working along two new research lines: derive viability results for a class of control systems with state constraints in which ‘standard inward pointing conditions’ are violated; and establish necessary optimality conditions for average cost minimization problems possibly perturbed by unknown parameters.In the first part, we examine necessary optimality conditions which play an important role in finding candidates to be optimal solutions among all admissible solutions. However, in dynamic optimization problems with state constraints, some pathological situations might arise. For instance, it might occur that the multiplier associated with the objective function (to minimize) vanishes. In this case, the objective function to minimize does not intervene in first order necessary conditions: this is referred to as the abnormal case. A worse phenomenon, called the degenerate case shows that in some circumstances the set of admissible trajectories coincides with the set of candidates to be minimizers. Therefore the necessary conditions give no information on the possible minimizers.To overcome these difficulties, new additional hypotheses have to be imposed, known as constraint qualifications. We investigate these two issues (normality and non-degeneracy) for optimal control problems involving state constraints and dynamics expressed as a differential inclusion, when the minimizer has its left end-point in a region where the state constraint set in nonsmooth. We prove that under an additional information involving mainly the Clarke tangent cone, necessary conditions in the form of the Extended Euler-Lagrange condition are derived in the normal and non-degenerate form for two different classes of state constrained optimal control problems. Application of the normality result is shown also for the calculus of variations problem subject to a state constraint.In the second part of the thesis, we consider first a class of state constrained control systems for which standard ‘first order’ constraint qualifications are not satisfied, but a higher (second) order constraint qualification is satisfied. We propose a new construction for feasible trajectories (a viability result) and we investigate examples (such as the Brockett nonholonomic integrator) providing in addition a non-linear stimate result. The other topic of the second part of the thesis concerns the study of a class of optimal control problems in which uncertainties appear in the data in terms of unknown parameters. Taking into consideration an average cost criterion, a crucial issue is clearly to be able to characterize optimal controls independently of the unknown parameter action: this allows to find a sort of ‘best compromise’ among all the possible realizations of the control system as the parameter varies. For this type of problems, we derive necessary optimality conditions in the form of Maximum Principle (possibly nonsmooth).

Cette thèse porte sur l’application de techniques de contrôle optimal et de contrôle géométriques au problème de transfert d’orbite de satellite et à la géométrie presque-riemannienne. Dans ces cas, le principe du maximum de Pontryagin permet d’étudier le flot extrémal pour des systèmes de contrôle affines.Dans le cas d’un satellite à faible poussée, la technique de moyennation permet d’approcher les trajectoires du système réel. La moyennation est explicite dans le cas de la minimisation de l’énergie et fait apparaître dans certains cas des problèmes presque-riemanniens. L’étude géométrique de tels problèmes est généralisée par l’étude de métriques sur la deux-sphère de révolution. On peut ainsi classifier les situations selon la transcendance des solutions et discuter l’optimalité selon la nature des lieux de coupure et de conjugaison.L’étude du problème moyenné du transfert orbital et de situations génériques sur la sphère de révolution est motivée par l’approche homotopique de résolution numérique du problème de transfert pour d’autres fonctions de coût. La méthode de continuation couplée à celle de tir simple est utilisée pour résoudre un problème de transfert à forte poussée à consommation minimale de carburant.Les outils géométriques sont aussi utilisés afin d’étudier la situation locale dans un voisinage des points de tangence en géométrie presque-riemannienne en dimension deux. On calcule pour les approximations nilpotente et d’ordre zéro le front d’onde, les sphères de petits rayons et les lieux de coupure et de conjugaison. / In this thesis we focus on optimal control techniques as well as geometric control techniques applied to the orbital transfer problem and to almost-Riemannian geometry. In these cases, Pontryagin’s Maximum Principle allows to analyse the extremal flow of affine control systems.In the case of a satellite with low-thrust propulsion, averaging techniques give an approximated system. Averaging is explicit in the energy minimization case and is directly related to almost-riemannian problems. The geometric analysis of such problems is generalized by the study of metrics on the two-sphere of revolution. In this way it is possible to classify the situations considering the transcendance of the solutions and to discuss the optimality problem considering the cut locus and the conjugate locus.The analysis of the averaged problem for the orbital transfer and of generic situations on the two-dimensional sphere of revolution is motivated by the homotopic approach to solve numerically the orbital transfer problem.The homotopy method using simple shooting techniques is applied to solve a transfer minimizing the fuel consumption.The geometric tools are also useful in the local analysis of tangency points in two-dimensional almost-Riemannian geometry. In this framework, we compute wavefronts, sphere of small radius and cut and conjugate loci.

La hauteur des arbres est un trait écologique majeur représentant l'intensité de la compétition pour la lumière. De plus, la croissance des arbres est le résultat de multiples compromis afin de maintenir leur orientation verticale et leur stabilité mécanique tout en assurant les autres fonctions écophysiologiques. Le contrôle de l'orientation de la croissance est réalisé par deux mécanismes: la croissance différentielle au niveau du méristème apical et la formation de bois de réaction au cours de la croissance secondaire. Cependant, la modélisation simultanée de la croissance et des rétroactions biomécaniques dépasse le cadre classique de la mécanique des structures. En effet, le concept de configuration de référence devient imprécis dû à l'apparition de nouveaux points matériels libres de contraintes sur une surface déformée au cours de la croissance. Dans cette thèse, un nouveau formalisme mathématique est proposé à partir de la théorie des poutres et modélise simultanément les effets de la croissance et de la biomécanique de l'arbre. Afin de résoudre le système d'équations aux dérivées partielles, de nouvelles méthodes numériques sont développées et tiennent compte de la dépendance entre l'espace et le temps. Enfin, deux problèmes de contrôle optimal sont analysés, modélisant les stratégies d'allocation dynamique de la biomasse pour la croissance primaire et secondaire, en fonction de différents contextes écologiques. Ce travail offre de nouvelles perspectives sur les mathématiques de la mécanique de la croissance et ses applications en biologie. / Height is a major ecological trait for growing trees, representing the intensity for light competition. Moreover, tree height results from a trade-off between different functions, including tree mechanical stability. Trees develop growth strategies to maintain their vertical orientation and mechanical stability, in addition to other ecophysiological functions, through differential primary growth near the shoot apical meristem and formation of reaction wood during secondary growth. However, this coupling is a problematic issue since the progressive addition of new material on an existing deformed body makes the definition of a reference configuration unclear. This thesis presents a new mathematical framework for rod theory modelling simultaneously the interactions between the growth process and tree biomechanics. In order to solve the obtained system of partial differential equations, new numerical methods are developed and take into account the dependence between space and time, which is a specific feature of surface growth problems. Finally, the present work addresses the mathematical formulation of two optimal control problems characterising tree's growth strategies. Growth strategies are analysed with respect to the ecological context, through two variables, which are the ratio of biomass allocated to primary growth and the distribution of biomass allocated to secondary growth along the growing stem. This work gives new insights to the mathematical framework of surface growth mechanics and its applications in biology.

Cette thèse étudie des propriétés limites de problèmes de contrôle optimal (un joueur, en temps continu) et de jeux répétés à somme nulle (à deux joueurs, en temps discret) avec horizon tendant vers l'infini. Plus précisément, nous étudions la convergence de la fonction valeur lorsque la durée du problème de contrôle ou la répétition du jeu tend vers l'infini (analyse asymptotique), et l'existence de stratégies robustes, i.e. des stratégies ԑ-optimales pour guarantir la valeur limite dans tous les problèmes de contrôle de durée suffisamment longue ou dans tous les jeux répétés de répétition suffisamment large (analyse uniforme). La partie sur le contrôle optimal est composée de trois chapitres. Le chapitre 2 est un article de présentation de la littérature récente sur les propriétés à long terme dans divers modèles d'optimisation dynamique. Dans les deux chapitres suivants, nous nous concentrons sur les problèmes de contrôle optimal où le coȗt de la trajectoire est évalué par une mesure de probabilité générale sur R_+, au lieu de la moyenne de T-horizon (moyenne de Cesàro) ou de la λ-escompté (moyenne d'Abel). Dans le chapitre 3, nous introduisons une condition de régularité asymptotique pour une suite de mesures de probabilité sur R_+ induisant un horizon tendant vers l'infini (en particulier, T tendant vers l'infini ou λ tendant vers zéro). Nous montrons que pour toute suite d'évaluations satisfaisant cette condition, la suite associée des valeurs du problème de contrôle converge uniformément si et seulement si cette suite est totalement bornée pour la norme uniforme. On en déduit que pour des problèmes de contrôle définis sur un domaine invariant compact et vérifiant une certaine condition de non-expansivité, la fonction valeur définie par une mesure de probabilité générale converge quand l'évaluation devient suffisamment régulière. En outre, nous prouvons dans le chapitre 4 que sous les mȇmes conditions de compacité et de non-expansivité, il existe des contrôles ԑ-optimaux pour tous les problèmes où le coȗt de la trajectoire est évalués par une mesure de probailité suffisamment régulières. La partie sur les jeux répétés se compose de deux chapitres. Le chapitre 5 est consacré à l'étude d'une sous-classe de jeux absorbants à information incomplète d'un côté. Le modèle que nous considérons est une généralisation du Big match à information incomplète d'un côté introduit par Sorin (1984). Nous démontrons l'existence de la valeur limite, du Maxmin, du Minmax, et l'égalité du Maxmin et de la valeur limite. Dans le chapitre 6, nous établissons plusieurs résultats concernant des jeux récursifs. Nous considérons d'abord les jeux récursifs avec un espace dénombrable d'états et prouvons que si la famille des fonctions valeur des jeux à n étapes est totalement bornée pour la norme uniforme, alors la valeur uniforme existe. En particulier, la convergence uniforme des valeurs des jeux à n étapes implique la convergence uniforme des valeurs des jeux escomptés. à l'aide d'un résultat dans Rosenberg et Vieille (2000), on en déduit un théorème taubérien uniforme pour les jeux récursifs. Deuxièmement, nous appliquons le résultat d'existence de la valeur uniforme à une classe des modèles général de jeux répétés et nous prouvons que la valeur limite et le Maxmin existent et sont égaux. Ces jeux répétés sont des jeux récursifs avec signaux où le joueur 1 peut toujours déduire le signal du joueur 2 de son propre signal. / This dissertation studies limit properties in optimal control problems (one-player, in continuous time) and in zero-sum repeated games (two-player, in discrete time) with large horizons. More precisely, we investigate the convergence of the value function when the duration of the control problem or the repetition of the game tends to infinity (the asymptotic analysis), and the existence of robust strategies, i.e. ԑ-optimal strategies to guarantee the limit value in all control problems with sufficiently long durations or in all repeated games with sufficiently large repetitions (the uniform analysis). The part on optimal control is composed of three chapters. Chapter 2 is a survey article on recent literature of long-term properties in various models of dynamic optimization. In the following two chapters, we focus on optimal control problems where the running cost is evaluated by a general probability measure, instead of the usual T-horizon average (Cesàro mean) or the λ-discount (Abel mean). In Chapter 3, we introduce an asymptotic regularity condition for a sequence of probability measures on positive real numbers which induces a horizon tending to infinity (in particular T tending to infinity or λ tending to zero) for the control problem. We prove that for any sequence of evaluations satisfying this condition, the associated sequence of value function of the control problem converges uniformly if and only if this sequence is totally bounded for the uniform norm. We deduce that for control problems defined on a compact invariant domain and satisfying some non expansive condition, the value function defined by a general probability measure converges as the evaluation becomes sufficiently regular. Further, we prove in Chapter 4 that under the same compact and non expansive conditions, there exist ԑ-optimal controls for all problems where the running cost is evaluated by a sufficiently regular probability measure. The part on repeated games consists of two chapters. Chapter 5 is devoted to the study of a subclass of absorbing games with one-sided incomplete information. The model we consider is a generalization of Big match with one-sided incomplete information introduced by Sorin (1984). We prove the existence of the limit value, Maxmin, Minmax, and that Maxmin is equal to the limit value. In Chapter 6, we establish several results for recursive games. We first consider recursive games with a countable state space and prove that if the family of n-stage value functions is totally bounded for the uniform norm, then the uniform value exists. In particular, the uniform convergence of n-stage values implies the uniform convergence of λ-discounted values. Combined with a result in Rosenberg and Vieille (2000), we deduce a uniform Tauberian theorem for recursive games. Second, we use the existence result of uniform value to a class of the generalized models of repeated games and prove that both the limit value and Maxmin exist and are equal. This class of repeated games are recursive games with signals where player 1 can always deduce the signal of player 2 from his own along the play.

Dans cette thèse nous étudions une classe d’équations de Hamilton-Jacobi-Bellman provenant de la théorie du contrôle optimal des équations différentielles ordinaires. Nous nous intéressons principalement à l’analyse de la sensibilité de la fonction valeur des problèmes de contrôle optimal associés à de telles équations de H-J-B. Dans la littérature, les relations de sensibilité fournissent une “mesure” de la robustesse des stratégies optimales par rapport aux variations de la variable d’état. Ces résultats sont des outils très importants pour le contrôle appliqué, parce qu’ils permettent d’étudier les effets que des approximations des données du système peuvent avoir sur les politiques optimales. Cette thèse est dédiée également à l’étude des problèmes de Mayer et de temps minimal. Nous supposons que la dynamique du problème soit une inclusion différentielle, afin de permettre aux données d’être non régulières et d’embrasser un ensemble plus grand d’applications. Néanmoins, cette tâche rend notre analyse plus difficile. La première contribution de cette étude est une extension de quelques résultats classiques de la théorie de la sensibilité au domaine des problèmes non paramétrées. Ces relations prennent la forme d’inclusions d’état adjoint, figurant dans le principe du maximum de Pontryagin, dans certains gradients généralisés de la fonction valeur évalués le long des trajectoires optimales. En deuxième lieu, nous développons des nouvelles relations de sensibilité impliquant des approximations du deuxième ordre de la fonction valeur. Cette analyse mène à de nouvelles applications concernant la propagation, tant ponctuel que local, de la régularité de la fonction valeur le long des trajectoires optimales. Nous proposons également des applications aux conditions d’optimalité. / This dissertation investigates a class of Hamilton-Jacobi-Bellman equations arising in optimal control of O.D.E.. We mainly focus on the sensitivity analysis of the optimal value function associated with the underlying control problems. In the literature, sensitivity relations provide a measure of the robustness of optimal control strategies with respect to variations of the state variable. This is a central tool in applied control, since it allows to study the effects that approximations of the inputs of the system may produce on the optimal policies. In this thesis, we deal whit problems in the Mayer or in the minimum time form. We assume that the dynamic is described by a differential inclusion, in order to allow data to be nonsmooth and to embrace a large area of concrete applications. Nevertheless, this task makes our analysis more challenging. Our main contribution is twofold. We first extend some classical results on sensitivity analysis to the field of nonparameterized problems. These relations take the form of inclusions of the co-state, featuring in the Pontryagin maximum principle, into suitable gradients of the value function evaluated along optimal trajectories. Furthermore, we develop new second-order sensitivity relations involving suitable second order approximations of the optimal value function. Besides being of intrinsic interest, this analysis leads to new consequences regarding the propagation of both pointwise and local regularity of the optimal value functions along optimal trajectories. As applications, we also provide refined necessary optimality conditions for some class of differential inclusions.

Le premier objectif de cette thèse est de bien comprendre les propriétés de la dynamique du problème circulaire restreint des trois corps et de les utiliser pour calculer des missions pour satellites pourvus de moteurs à faible poussée. Une propriété fondamentale est l'existence de variétés invariantes associées à des orbites périodiques autour des points de \bsc{Lagrange}. En suivant l'idée de l'\emph{Interplanetary Transport Network}, la connaissance et le calcul des variétés invariantes, comme courants gravitationnels, sont cruciaux pour le \emph{design} de missions spatiales. Une grande partie de ce travail de thèse est consacrée au développement de méthodes numériques pour calculer le transfert entre variétés invariantes de façon optimale. Le coût que l'on cherche alors à minimiser est la norme $L^{1}$ du contrôle car elle est équivalente à minimiser la consommation des moteurs. On considère aussi la norme $L^{2}$ du contrôle car elle est, numériquement, plus facile à minimiser. Les méthodes numériques que nous utilisons sont des méthodes indirectes rendues plus robustes par des méthodes de continuation sur le coût, sur la poussée, et sur l'état final. La mise en œuvre de ces méthodes repose sur l'application du Principe du Maximum de Pontryagin. Les algorithmes développés dans ce travail permettent de calculer des missions réelles telles que des missions entre des voisinages des points de \bsc{Lagrange}. L'idée principale est d'initialiser un tir multiple avec une trajectoire admissible composée de parties contrôlées (des transferts locaux) et de parties non-contrôlées suivant la dynamique libre (les variétés invariantes). Les méthodes mises au point ici, sont efficaces et rapides puisqu'il suffit de quelques minutes pour obtenir la trajectoire optimale complète. Enfin, on développe une méthode hybride, avec à la fois des méthodes directes et indirectes, qui permettent d'ajuster la positions des points de raccord sur les variétés invariantes pour les missions à grandes variations d'énergie. Le gradient de la fonction valeur est donné par les valeurs des états adjoints aux points de raccord et donc ne nécessite pas de calculs supplémentaire. Ainsi, l'implémentation de algorithme du gradient est aisée. / The first objective of this work is to understand the dynamical properties of the circular restricted three body problem in order to use them to design low consumption missions for spacecrafts with a low thrust engine. A fundamental property is the existence of invariant manifolds associated with periodic orbits around Lagrange points. Following the Interplanetary Transport Network concept, invariant manifolds are very useful to design spacecraft missions because they are gravitational currents. A large part of this work is devoted to designing a numerical method that performs an optimal transfer between invariant manifolds. The cost we want to minimize is the $L^{1}$-norm of the control which is equivalent to minimizing the consumption of the engines. We also consider the $L^{2}$-norm of the control which is easier to minimize numerically. The numerical methods are indirect ones coupled with different continuations on the thrust, on the cost, and on the final state, to provide robustness. These methods are based on the application of the Pontryagin Maximum Principal. The algorithms developed in this work allow for the design of real life missions such as missions between the realms of libration points. The basic idea is to initialize a multiple shooting method with an admissible trajectory that contains controlled parts (local transfers) and uncontrolled parts following the natural dynamics (invariant manifolds). The methods developed here are efficient and fast (less than a few minutes to obtain the whole optimal trajectory). Finally, we develop a hybrid method, with both direct and indirect methods, to adjust the position of the matching points on the invariant manifolds for missions with large energy gaps. The gradient of the value function is given by the values of the costates at the matching points and does not require any additional computation. Hence, the implementation of the gradient descent is easy.

Let but de cette thèse est de proposer différents modèles mathématiques de neurones pour l'Optogénétique et d'étudier leur contrôle optimal. Nous définissons d'abord une version contrôlée des modèles déterministes de dimension finie, dits à conductances. Nous étudions un problème de temps minimal pour un système affine mono-entrée dont nous étudions les singulières. Nous appliquons une méthode numérique directe pour observer les trajectoires et contrôles optimaux. Le contrôle optogénétique apparaît comme une nouvelle façon de juger de la capacité des modèles à conductances de reproduire les caractéristiques de la dynamique du potentiel de membrane, observées expérimentalement. Nous définissons ensuite un modèle stochastique en dimension infinie pour prendre en compte le caractère aléatoire des mécanismes des canaux ioniques et la propagation des potentiels d'action. Il s'agit d'un processus de Markov déterministe par morceaux (PDMP) contrôlé, à valeurs dans un espace de Hilbert. Nous définissons une large classe de PDMPs contrôlés en dimension infinie et prouvons le caractère fortement Markovien de ces processus. Nous traitons un problème de contrôle optimal à horizon de temps fini. Nous étudions le processus de décision Markovien (MDP) inclus dans le PDMP et montrons l'équivalence des deux problèmes. Nous donnons des conditions suffisantes pour l'existence de contrôles optimaux pour le MDP, et donc le PDMP. Nous discutons des variantes pour le modèle d'Optogénétique stochastique en dimension infinie. Enfin, nous étudions l'extension du modèle à un espace de Banach réflexif, puis, dans un cas particulier, à un espace de Banach non réflexif. / The aim of this thesis is to propose different mathematical neuron models that take into account Optogenetics, and study their optimal control. We first define a controlled version of finite-dimensional, deterministic, conductance based neuron models. We study a minimal time problem for a single-input affine control system and we study its singular extremals. We implement a direct method to observe the optimal trajectories and controls. The optogenetic control appears as a new way to assess the capability of conductance-based models to reproduce the characteristics of the membrane potential dynamics experimentally observed. We then define an infinite-dimensional stochastic model to take into account the stochastic nature of the ion channel mechanisms and the action potential propagation along the axon. It is a controlled piecewise deterministic Markov process (PDMP), taking values in an Hilbert space. We define a large class of infinite-dimensional controlled PDMPs and we prove that these processes are strongly Markovian. We address a finite time optimal control problem. We study the Markov decision process (MDP) embedded in the PDMP. We show the equivalence of the two control problems. We give sufficient conditions for the existence of an optimal control for the MDP, and thus, for the initial PDMP as well. The theoretical framework is large enough to consider several modifications of the infinite-dimensional stochastic optogenetic model. Finally, we study the extension of the model to a reflexive Banach space, and then, on a particular case, to a nonreflexive Banach space.