En el presente trabajo, estudiaremos el problema de optimización de dividendos para una compañía de seguros cuya reserva de efectivo y la tasa de interés de descuento son modelados por procesos de difusión con los coeficientes de la tendencia y la volatilidad dependiendo del régimen económico externo (condiciones macroeconómicas). Este cambio de régimen está modelado por una cadena de Markov observable de estados finitos. El objetivo es encontrar un esquema de distribución de dividendos que maximice el valor esperado de los dividendos acumulados descontados hasta el tiempo de ruina. Consideramos dos escenarios: (I) Cuando el proceso de dividendos tiene una tasa y esta es uniformemente acotada. En este caso, probaremos un Teorema de verificación que indica que la soluci´on de la ecuación Hamilton-Jacobi-Bellman correspondiente coincide con la función de valor asociada a nuestro problema y que bajo ciertas condiciones una estrategia óptima existe. Además, encontraremos una forma explícita de una estrategia óptima, en el caso de dos regímenes. Esta estrategia consiste en que la compañía pagar´a dividendos con la tasa máxima siempre y cuando el proceso de reservas después de pagar dividendos sea igual o mayor a algunos niveles críticos (barreras) y no pagar nada cuando se encuentre por debajo de estas barreras. (II) En general, cuando el proceso de dividendos es solo cadlag. En este caso, obtenemos una cota superior para la función de valor asociada a nuestro problema. Adema´s, a partir de los resultados obtenidos en la literatura existente en problemas similares y de los resultados obtenidos en el presente trabajo conjeturamos una posible forma de la estrategia óptima. / In the present work, we will study the dividend optimization problem for an insurance entity whose cash surplus process and the discounting interest rate are modeled by diffusion processes with drift and volatility coefficients dependent on the extern economic regime (macroeconomic conditions). This regime switching is modeled by an observable finite-sate Markov chain. The aim is to find a dividend distribution policy that maximizes the expected total discounted amount of dividend payments up to bankruptcy. We consider two situations: (I) When the dividend process has a rate and this is uniformly bounded. In this case, we will prove a verification Theorem which indicates that the solution of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation corresponding coincides with the value function associated with our problem and that under certain conditions an optimal strategy exists. Also, we will find an explicit form for optimal dividend strategy, in the case of two regimenes. This consists in that the company will pay out dividends at the maximun rate as long as the reserve process after the payment of pay dividends is bigger than or equal to than some critical levels (barriers) and do not pay dividends when is below these barriers. (II) In general, when the dividends process is cadlag only. In this case, we get an upper bound for the value function associated with our problem. Also, from the results obtained in the existing literature in similar problems and the results obtained in the present work, we conjecture a possible form of an optimal strategy. / Tesis

The optimal control in linear systems is a widely known problem that leads to the solution of one or two equations of Ricatti. However, in non-linear systems is required to obtain the solution of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation (HJB) or variations, which consist of quadratic first order and partial differential equations, that are really difficult to solve. On the other hand, many non-linear dynamical systems can be represented as polynomial functions, where thanks to abstract algebra there are several techniques that facilitate the analysis and work with polynomials. This is where the sum-of-squares approach can be used as a sufficient condition to determine the positivity of a polynomial, a tool that is used in the search for suboptimal solutions of the HJB equation for the synthesis of a controller. The main objective of this thesis is the analysis, improvement and/or extension of an optimal control algorithm for polynomial systems by using the sum of squares approach (SOS). To do this, I will explain the theory and advantages of the sum-of-squares approach and then present a controller, which will serve as the basis for our proposal. Next, improvements will be added in its performance criteria and the scope of the controller will be extended, so that rational systems can be controlled. Finally an alternative will be presented for its implementation, when it is not possible to measure or estimate the state-space variables of the system. Additionally, some examples that validated the results are also presented. / Tesis

The controversial topic of which the conditions of transversality are for problems of infinite temporal horizon is presented here within the general context of the theory of Optimal Control. Results are presented for linear and autonomous case, as well as Arrow's theorem.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Eléctrica / Ingeniero Civil Electricista / Las carreras de autos solares se caracterizan principalmente por su gran limitación energética. En ellas, el vehículo debe recorrer grandes distancias durante extensos periodos sujeto a fuertes restricciones en la energía disponible de sus baterías, por lo que resulta primordial hacer una adecuada planificación en el manejo de la energía solar para obtener una buena posición al final de la carrera. El problema adquiere una complejidad matemática muy atractiva, si se considera que durante la carrera ocurren situaciones sujetas a incertidumbre y que pueden afectar el consumo de energía, tales como la presencia de fuertes vientos, nubosidad y problemas en el vehículo. El presente trabajo presenta un algoritmo para el uso óptimo de la energía en un vehículo solar, tomando en cuenta la existencia de perturbaciones, pero sin modelarlas explícitamente. Se consideran conocidas las pendientes de la ruta, al poder ser obtenidas desde documentación cartográfica pertinente. El algoritmo distribuye temporalmente el consumo de energía del vehículo de manera de no agotar prematuramente las baterías, buscando llegar a la meta en el mínimo tiempo posible y basándose en un esquema de control óptimo en tiempo real. Se planifica primeramente la energía utilizada por el vehículo en cada día de competición y a continuación se aplica una discretización temporal más fina, de manera de detallar aún más dicho consumo durante el día actual de competición. Finalmente se aplica un algoritmo de control óptimo en tiempo continuo basado en un método pseudoespectral al segmento de discretización en que se está corriendo al momento de la planificación. El procedimiento completo se itera considerando las mediciones de la instrumentación del vehículo, para construir el vector de estado actualizado al momento de la realización de cada iteración, obteniéndose así un proceso realimentado que reacciona oportunamente frente a imprevistos. Hasta el momento no se reportan en la literatura aplicaciones del método pseudoespectral utilizado en vehículos solares. El presente trabajo tiene, entonces, la ventaja de considerar en el corto plazo la dinámica continua del vehículo a un costo computacional menor que en otros esquemas, logrando un ventajoso compromiso entre el detalle de la solución obtenida y la rapidez de su obtención. Los resultados, obtenidos mediante simulaciones, muestran que el algoritmo recupera los principios generales de control óptimo de vehículos solares, a la vez que es efectivamente capaz de realizar, en tiempos del orden de los cinco segundos, cambios en la estrategia a seguir frente a imprevistos de diversa naturaleza, de manera que el tiempo requerido para llegar a destino resulta ser menor que al utilizar un esquema de lazo abierto. En la literatura consultada dichas soluciones tardan tiempos del orden de minutos en ser obtenidas. El detalle sobre consumos energéticos y velocidades esperadas con que el algoritmo predice la evolución del vehículo, permiten al equipo de carrera facilitar la detección de fallas que puedan presentarse.

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El propósito de la presente memoria es analizar de qué forma debe comandarse un vehículo solar para que recorra un trayecto dado en un tiempo mínimo, considerando que la energía disponible para su movimiento es la principal restricción para este tipo de vehículos. En primer lugar, se desarrolla un modelo en variables de estado para el vehículo solar “Eolian 850”, diseñado y construido por alumnos de ingeniería y de diseño de la Universidad de Chile. Se describe la dinámica del vehículo en su eje longitudinal al plano de simetría considerando las fuerzas resistivas y la fuerza de tracción que actúan sobre el auto que es representado como una masa puntual. Se realiza un modelo de las pérdidas en el sistema de tracción y se determinan sus parámetros. En la modelación del banco de baterías de litio polímero del auto se utiliza el modelo equivalente simplificado de parámetros concentrados de la batería de litio y se realizan pruebas experimentales para determinar la tensión interna del banco necesaria para utilizar el modelo. El problema de optimización se aborda como un problema de control óptimo, partiendo desde una situación simplificada del problema hasta un caso más completo y cercano a la realidad. Utilizando tres grupos de supuestos simplificadores se encontraron soluciones analíticas al problema de optimización. El caso más general del problema se aborda en forma numérica discretizando las ecuaciones de estado del modelo del auto y utilizando un software de optimización no lineal con restricciones. Para alcanzar el óptimo, se deben realizar variaciones de la velocidad que dependen de las variaciones en la velocidad del viento, de la presencia de pendientes en la ruta, de variaciones espaciales de la potencia solar y de la tensión variable en el banco de baterías. Sin embargo, estas variaciones no permiten reducir en forma significativa el tiempo total de recorrido con respecto a mantener una velocidad constante.

La provisión sustentable de agua es esencial para la huma-nidad, tanto para consumo como para el funcionamiento y el crecimiento de sectores económicos basados en recursos naturales tales como la energía, la minería y la agricultura. Con el fin de preservar los recursos acuáticos para el presen-te y el futuro, el mantenimiento de la integridad del ecosis-tema debe ser un principio central en el manejo de los cuer-pos de agua dulce. En la presente tesis se desarrollan mo-delos biogeoquímicos basados en primeros principios, en el marco de problemas de optimización dinámica, con el objetivo de planificar políticas óptimas de restauración para cuerpos de agua. Estos modelos, que poseen numerosos parámetros, deben ajustarse a las condiciones de los sitios bajo estudio, para proveer luego predicciones confiables. En particular, el caso de estudio es el embalse Paso de las Piedras, un reservo-rio artificial construido para proveer de agua potable a las ciudades de Bahía Blanca y Punta Alta y a un polo petroquími-co, que presenta un marcado grado de eutrofización, con reiteradas proliferaciones masivas de algas. A lo largo de la te-sis, se formulan modelos ecológicos de creciente rigurosidad, sobre los cuales se lleva a cabo un análisis de sensitividad global para determinar los principales parámetros a identificar. A continuación, se formula un problema de estimación dinámi-ca de parámetros, que se resuelve con técnicas de optimiza-ción dinámica con enfoque simultáneo. El modelo se valida posteriormente con datos adicionales del embalse. La siguien-te etapa consiste en la formulación de problemas de optimiza-ción dinámica cuyas restricciones diferenciales algebraicas están constituidas por el modelo ecológico desarrollado. El objetivo, en todos los casos, es la reducción de la concentra-ción de fitoplancton y de nutrientes en el cuerpo de agua, mediante la determinación de perfiles óptimos de las variables de control que se corresponden con la aplicación de técnicas de restauración externas (a través del empleo de un humedal artificial para reducción de la carga de nutrientes) y su combi-nación con técnicas internas (biomanipulación y aireación de las capas inferiores). Finalmente, se formula un problema de control óptimo en el cual se extiende el modelo ecológico desarrollado para incluir las dinámicas de zooplancton y peces, de forma tal de proveer una descripción detallada de las estrategias de restauración, así como los costos opera-tivos asociados. Los resultados obtenidos para el caso de estudio muestran que la biomanipulación a través de la remo-ción de peces zooplanctívoros es la técnica más económica y efectiva para controlar el crecimiento algal. / Access to clean, sustainable supplies of water is essential for humans, both as drinking water and for the operation and growth of major natural resource sectors, such as energy, mining, forest and agriculture. Alterations to the timing and volumes of flow, quality, and temperature of freshwater affect both aquatic and terrestrial ecosystems. To safeguard water resources for present and future uses, water bodies must be managed with maintenance of the integrity of ecosystems as a core principle. In this work, ecological me-chanistic and first-principle based models are formulated wi-thin a dynamic optimization framework to determine restoration strategies for water bodies. These models have a large number of physical, chemical and kinetic parameters that need to be tuned to the specific site conditions to be able to provide reliable predictions. In particular, the case study is an eutrophic reservoir, Paso de las Piedras, which has been built to supply drinking water to more than 450,000 inhabitants of two cities in Argentina (Bahía Blanca and Punta Alta) and for industrial proposes at a petrochemical complex nearby. As a first step, a global sensitivity analysis is performed to deter-mine main model parameters that have to be identified. The second step includes the formulation of a parameter estimation problem within a simultaneous dynamic optimization frame-work, based on collected data from the Reservoir, as well as model validation with an additional data set. Successive optimal control problems are formulated, constrained by the calibrated ecological model, to reduce phytoplankton and nu-trient concentration within the water body. Control variables are associated to the different restoration strategies that include nutrient loading decrease through derivation of part of a tributary to a wetland, biomanipulation and hypolimnetic aeration. Finally, the initial ecological model is extended to include zooplancton and zooplanktivorous fish dynamics to provide a more detailed planification of restoration strategies, as well as their associated operating costs. Numerical results enforce the fact that biomanipulation is the most effective and economical strategy to control algae growth in the case under study.

The optimal control in linear systems is a widely known problem that leads to the solution of one or two equations of Ricatti. However, in non-linear systems is required to obtain the solution of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation (HJB) or variations, which consist of quadratic first order and partial differential equations, that are really difficult to solve. On the other hand, many non-linear dynamical systems can be represented as polynomial functions, where thanks to abstract algebra there are several techniques that facilitate the analysis and work with polynomials. This is where the sum-of-squares approach can be used as a sufficient condition to determine the positivity of a polynomial, a tool that is used in the search for suboptimal solutions of the HJB equation for the synthesis of a controller. The main objective of this thesis is the analysis, improvement and/or extension of an optimal control algorithm for polynomial systems by using the sum of squares approach (SOS). To do this, I will explain the theory and advantages of the sum-of-squares approach and then present a controller, which will serve as the basis for our proposal. Next, improvements will be added in its performance criteria and the scope of the controller will be extended, so that rational systems can be controlled. Finally an alternative will be presented for its implementation, when it is not possible to measure or estimate the state-space variables of the system. Additionally, some examples that validated the results are also presented. / Tesis

Se elaboró el diseño de un transportador personal eléctrico auto-equilibrante sobre 2 ruedas para el cual se realizó un nuevo modelo matemático basado en las leyes de Newton, se realizó el diseño el sistema de estabilización y desplazamiento mediante un diseño de control óptimo LQR , se realizó un diseño de la propuesta de implementación donde se seleccionaron los motores eléctricos, el chasis, baterías, el sensor inercial MPU9250 y el controlador principal STM32 (ARM Córtex de 32 bits) como componentes principales, así mismo se generó un seudocódigo para la programación del controlador principal. Respecto al diseño de control, según las simulaciones de la respuesta en el tiempo en el software Matlab2021a, se verificaron que los tiempos de asentamiento para el control de trayectoria y estabilidad se encuentran alrededor de los 3 segundos, los sobreimpulsos para la posición lineal son menores al 0.5% de la referencia, así mismo se comprobó según las simulaciones que el transportador realiza el seguimiento de diversas trayectorias manteniéndose en equilibrio. En una futura etapa de implementación, este diseño de transportador será una alternativa para el transporte de personas con dificultad para guiar su trayectoria de traslado (como turistas, visitantes a algún establecimiento, supervisores que no conozcan el área, alumnos que no conozcan ubicaciones de sus aulas, personas con dificultad para trasladarse, entre otros).

El control óptimo preview se define como un control predictivo desde el enfoque de control óptimo; esto quiere decir que su funcionamiento se basa en el conocimiento de los valores futuros de la referencia, de tal manera que usa estos valores en la formulación de la ley de control; por ende, tiene un desempeño superior al control proporcional integral derivativo (PID), y también superior que el control óptimo general. En este trabajo se desarrolla un modelamiento matemático de una planta esfera sobre un plano utilizando como herramientas los análisis eléctricos, mecánico, físico, cinemático y dinámico, con el principal objetivo de conseguir una serie de ecuaciones analíticas de la planta y de esa manera poder comprender las principales variables que intervienen en dicho modelo. A partir del modelo obtenido, se elabora un controlador avanzado óptimo preview de posición y trayectoria, para luego realizar un análisis comparativo entre dicho controlador avanzado variando el tiempo preview y otro controlador convencional proporcional integral derivativo para el control de posición de una esfera sobre un plano. Se consiguió simular con éxito el control la posición, trayectoria definida y una trayectoria circular mediante el controlador avanzado diseñado, obteniendo resultados favorables a comparación con el controlador convencional proporcional integral derivativo. / Tesis