Dans cette thèse nous nous intéressons à la mesure de dépendance sous des modèles de copules. Nous y traitons trois problèmes : la mesure d’association dans le cas bidimensionnel en présence de seuils de détection, la mesure d’association pour des données en grappes et la mesure d’association pour des données hiérarchiques. Le premier problème, indépendant des deux autres, concerne la mesure d’association entre deux variables sujettes à une censure à gauche fixe due à l’existence de seuils de détection. Nous définissons une version conditionnelle du tau de Kendall permettant de mesurer l’association entre de telles variables. Nous en proposons un estimateur non paramétrique et en étudions les propriétés asymptotiques. Nous supposons, ensuite, un modèle de copule Archimédienne et en déduisons un estimateur pour le tau de Kendall global. Un test d’ajustement de copules à ce type de données est développé. Le deuxième problème traite de la mesure d’association dans un cadre multidimensionnel pour des données en grappes telles que les observations à l’intérieur de chaque groupe sont échangeables. Pour cela, nous introduisons le tau de Kendall échangeable comme une mesure d’association intra-classe et présentons un estimateur non paramétrique pour cette mesure. Ses propriétés asymptotiques sont étudiées sous un modèle de copules multidimensionnelles caractérisées par une propriété appelée échangeabilité. Nous en déduisons un estimateur du coefficient de corrélation intra-classe pour des données provenant d’une distribution elliptique. Nous dérivons ses propriétés asymptotiques sous un modèle ANOVA généralisé à un facteur. Enfin, nous développons un test d’indépendence basé sur le tau de Kendall. Le troisième problème est une extension du deuxième au cas de données hiérarchiques avec des sous-groupes imbriqués dans des groupes, dans le cas où les unités à l’intérieur de chaque sous-groupe sont échangeables et où les sous-groupes appartenant à un même groupe sont, eux mêmes, échangeables. Nous définissons alors deux mesures d’association basées sur le tau de Kendall échangeable et en proposons des estimateurs non paramétriques. Nous étudions les propriétés asymptotiques de ces estimateurs sous des modèles de copules hiérarchiques vérifiant certaines propriétés d’échangeabilité partielle. Pour les données provenant de copules meta-elliptiques hiérarchiques, nous déduisons des estimateurs pour les coefficients de corrélation intra-classe associés aux groupes et aux sous-groupes respectivement. Nous développons, enfin, des procédures de tests pour les effets de groupes et de sous-groupes. / In this thesis we are interested in measuring the dependence under copula models. We deal with three problems: the measure of association in the bivariate case in the presence of lower detection limits, the measure of association for clustered data and the measure of association for two-level hierarchical data. The first problem, independent of the other two, deals with the measure of association between two variables subject to fixed left censoring due to the presence of lower detection limits. We define a conditional version of Kendall’s tau to measure the association between such variables. We provide a nonparametric estimator of this measure and study its asymptotic properties. We then assume an Archimedean copula model and deduce an estimator for the copula’s Kendall’s tau. A goodness-of-fit test for the assumed copula is developed. The second problem deals with the measure of intra-class association for clustered data such that observations within each group are exchangeable. For this, we introduce an exchangeable version of Kendall’s tau as a measure of intra-class dependance and provide a nonparametric estimator for this measure. Its asymptotic properties are investigated under a multivariate exchangeable copula model. We derive an estimator of the intra-class correlation coefficient for data drawn from an elliptical distribution. The asymptotic properties of this estimator are investigated under a generalized oneway ANOVA model. Finally, we develop an intra-class independence test based on Kendall’s tau. The third problem is an extension of the second to the case of hierarchical data with a set of subgroups nested into groups, such that the units within each subgroup are exchangeable and the subgroups belonging to the same group are themselves exchangeable. We define two association measures based on the exchangeable Kendall’s tau and propose nonparametric estimators for these measures. We investigate their asymptotic properties under hierarchical copula models satisfying some properties of partial exchangeability. For data drawn from meta-elliptical hierarchical copulas we deduce estimators for the intra-class correlation coefficients associated to groups and subgroups respectively. We also develop procedures for testing the effects of groups and subgroups.

Dans cette thèse, nous proposons un modèle multivarié pour la modélisation des données en grappes. Le modèle proposé, que nous nommons "d-copule échangeable", permet d'écrire la distribution jointe de nd variables aléatoires mesurées sur n unités de la grappe. Le modèle de d-copule échangeable fait intervenir trois copules et d lois marginales. Il possède des propriétés de flexibilité et de maniabilité dues à sa forme explicite. Nous montrons que la d-copule échangeable est une généralisation du modèle linéaire mixte avec ordonnées à l'origine aléatoires. En effet, lorsque les copules sont toutes normales et les lois marginales sont normales, alors les deux modèles sont équivalents. Nous utilisons le modèle de d-copule échangeable pour faire de la prédiction. Ensuite, nous nous intéressons particulièrement au cas de d=2 variables pour étudier ses propriétés. Nous expliquons la procédure séquentielle pour sélectionner les cinq éléments entrant dans la construction du modèle de 2-copule échangeable. L'estimation des paramètres du modèle de 2-copule échangeable se fait en utilisant deux méthodes d'estimation : la méthode IFM généralisée ou la méthode du maximum de vraisemblance. Nous démontrons que les estimateurs associés aux paramètres du modèle de 2-copule échangeable sont convergents et asymptotiquement normaux que l'on utilise la méthode IFM généralisée ou celle par maximum de vraisemblance. Nous comparons ces deux méthodes d'estimation par le biais d'une étude Monte-Carlo. Finalement, nous montrons la modélisation de données en utilisant un modèle de 2-copule échangeable. Les données proviennent d'une étude effectuée au centre de Londres, dans le cadre du "Junior School Project (JSP)". Nous construisons des courbes de prédiction en utilisant la méthode de 2-copule échangeable que nous comparons à celles obtenues avec le modèle linéaire mixte et le modèle de régression ordinaire avec une copule. / In this thesis, we propose a multivariate model for modeling clustered data. The proposed model, which we name "d-copula", allows us to write the joint distribution of nd random variables measured on n units of the cluster. The exchangeable d-copula model involves three copulas and d marginal laws. It has properties of flexibility and handiness due to its explicit form. We show that the exchangeable d-copula is a generalization of the linear mixed model with random intercepts. Indeed, when the copulas are all normal and the marginal laws are normal, then the two models are equivalent. We use the exchangeable d-copula model to make predictions. Then, we focus on the case of d=2 variables to study its properties. We explain the sequential procedure for selecting the five elements that go into the construction of the exchangeable 2-copula model. The estimation of the parameters of the exchangeable 2-copula model is done using two estimation methods : the generalized IFM method or the maximum likelihood method. We show that the estimators associated with the parameters of the exchangeable d-copula model are convergent and asymptotically normal whether using the generalized IFM or the maximum likelihood method. We compare these two estimation methods by means of a Monte-Carlo study. Finally, we show the construction of an exchangeable 2-copula model from observed data. The data come from a study in central London, as part of the «Junior School Project (JSP)». We construct prediction curves using the exchangeable 2-copula method and compare them to those obtained with the mixed linear model and the ordinary regression model with one copula.

La théorie du risque consiste en l'étude de modèles décrivant le processus de surplus d 'une compagnie d 'assurance. L'évaluation de différentes mesures de ruine dans le cadre de ces modèles permet d'obtenir une idée générale de la santé financière de la compagnie d'assurance et du risque assumé par celle-ci. Le modèle classique de risque pour décrire les arrivées et les coûts des sinistres est le modèle Poisson composé. Ce modèle est basé sur une hypothèse d 'indépendance entre le montant des sinistres et le temps écoulé entre chacun. Cette hypothèse facilite le calcul des mesures de ruine mais peut s'avérer trop restrictive dans différents contextes. L'objectif principal de cette thèse est l'étude d'extensions du modèle classique dans lesquelles sont introduites une structure de dépendance entre la sévérité et la fréquence des sinistres. La copule de Farlie-Gumbel-Morgenstern et une extension de cette copule sont utilisées pour définir cette structure. En raison de la forme et de la flexibilité de ces copules, il est possible d'adapter les outils développés récemment en théorie du risque dans l'évaluation et l'analyse des mesures de ruine. La fonction de Gerber-Shiu et certains cas particuliers de cette fonction , comme la transformée de Laplace du temps de la ruine et l'espérance de la valeur actualisée du déficit à la ruine sont étudiées dans le cadre de ces extensions. On s'intéresse également à l'évolution du processus de surplus en présence d'une barrière horizontale. Les mesures de ruine citées plus haut, ainsi que le montant total actualisé des dividendes distribués sont évaluées. / [Copule de Farlie-Gumbel-Morgenstern ; Modèle Poisson composé]

Cette thèse introduit et explore une nouvelle classe de modèles probabilistes pour des données de Bernoulli échangeables en forme de grappe. Dans ces modèles, la probabilité conditionnelle de succès est une fonction de la probabilité marginale de succès et d’un effet aléatoire positif spécifique à chaque grappe. La distribution de l’effet aléatoire contient un paramètre d’association qui est estimé pour donner une mesure de la force de la dépendance résiduelle ignorée par les marges. Nous montrons que la transformée de Laplace de l’effet aléatoire est liée au générateur des modèles de copules Archimédiennes, ce qui nous permet d’avoir un nouvel aperçu de ces modèles. L’approche que nous proposons offre de nombreux avantages. En effet, la famille de copules Archimédiennes fournit une large classe de modèles pour la sur-dispersion dans une expérience de Bernoulli. D’un point de vue statistique, la fonction de vraisemblance marginale pour les données de l’échantillon a une expression explicite, les méthodes du maximum de vraisemblance sont alors faciles à mettre en oeuvre. Nous avons considéré quatre applications de nos modèles. Premièrement, nous construisons un intervalle de confiance par vraisemblance profilée pour le coefficient de corrélation intra-grappe (ICC). La deuxième application concerne l’estimation de la taille d’une population en présence d’hétérogénéité observée et non observée (résiduelle) dans une expérience de capture-recapture. Le troisième problème traite de l’estimation dans de petites régions, et enfin le quatrième indépendant des trois premiers, analyse les caractéristiques socio-économiques des hommes qui ont une préférence à épouser des jeunes filles de moins de 18 ans. Dans la première application, nous considérons le cas le plus simple de nos modèles où aucune covariable n’est disponible puis proposons la méthode du maximum de vraisemblance pour l’estimation du coefficient de corrélation intra-grappe (ICC) à l’aide de plusieurs spécifications de copules Archimédiennes. La sélection d’un modèle particulier est effectuée en utilisant le critère d’information d’Akaike (AIC). La procédure comprend l’estimation du maximum de vraisemblance et la méthode du profil de vraisemblance (ou vraisemblance profilée). Nous avons fait des études de simulation pour mesurer la performance de la méthode d’intervalle par vraisemblance profilée sous nos modèles en termes de taux de couverture et de longueur d’intervalle de confiance, et la sensibilité de notre approche à la spécification d’un modèle de copule. La procédure que nous proposons a aussi été appliquée à des données réelles. Nous comparons notre méthode à celle proposée sous le modèle Béta-binomial, et la méthode d’intervalle de type Wald modifié proposée par Zou and Donner (2004). L’une des conclusions importantes de ces études est que l’intervalle de confiance par vraisemblance profilée obtenu sous nos modèles présente de belles propriétés en termes de taux couverture et de longueur d’intervalle de confiance, même lorsque le nombre de grappes est petit. La sélection de modèle est une étape importante : si le modèle est mal spécifié, alors cela pourrait conduire à des résultats erronés. La seconde application, une extension de la première pour accommoder des covariables au niveau des grappes, concerne la modélisation de l’hétérogéneité dans les probabilités de capture lors d’une expérience de capture-recapture dans une population fermée. Dans ce contexte, nos modèles sont utilisés pour modéliser l’hétérogéneité résiduelle qui n’est pas prise en compte par les covariables mesurées sur des unités capturées. Plusieurs modèles sont disponibles pour l’hétérogénéité non observée et la probabilité de capture marginale est modélisée en utilisant les fonctions de liens Logit et Log-Log complémentaire. Les paramètres sont estimés en utilisant la vraisemblance conditionnelle construite à partir des observations collectées sur les unités capturées au moins une fois. Ceci généralise le modèle de Huggins (1991) qui ne tient pas compte de l’hétérogénéité résiduelle. La sensibilité de l’inférence à la spécification d’un modèle est également étudiée par des simulations. Un exemple numérique est présenté. La troisième application traite de la prédiction dans de petites régions. Nous proposons des techniques de Bayes basées sur nos modèles pour estimer des proportions régionales. L’inférence Bayésienne que nous proposons consiste à trouver la distribution a posteriori de l’effet aléatoire et sa transformée de Laplace sachant les données et les paramètres du modèle. Cette transformée de Laplace est ensuite utilisée pour trouver des estimateurs de Bayes et leurs variances a posteriori pour les vraies proportions. Nous développons une étude de comparaison entre le meilleur prédicteur de Bayes (BP) et le meilleur prédicteur linéaire sans biais (BLUP). Nous avons également étudié l’efficacité du BP obtenu sous nos modèles relativement au BLUP. Les paramètres du modèle sont estimés en utilisant la méthode du maximum de vraisemblance. L’avantage de notre approche est que la fonction de vraisemblance et l’expression du meilleur prédicteur (BP) ont une forme explicite, ce qui facilite la mise en oeuvre de leur évaluation sur le plan numérique. Nous obtenons un prédicteur empirique de Bayes (EBP) en remplaçant les paramètres par leurs estimateurs dans l’expression du BP. Nous utilisons le critère d’information d’Akaike (AIC) pour la selection d’un modèle. Nous utilisons la méthode du jackknife pour estimer l’erreur quadratique moyenne des prédicteurs empiriques. Des résultats empiriques obtenus à partir de données simulées et réelles sont également présentés. Enfin, le quatrième problème traité dans cette thèse, qui est indépendant des trois premiers, concerne l’analyse des caractéristiques socio-économiques des hommes qui ont une préférence à épouser des jeunes filles de moins de 18 ans. Dans ce contexte, nous considérons les données de l’EDS 2006 du Niger et utilisons les copules Archimédiennes bidimentionelles pour modéliser l’association entre le niveau d’éducation (variable discrète) des hommes et leur revenu pré-marital (variable continue). Nous construisons la vraisemblance pour un échantillon issu de ce couple de variables aléatoires mixtes, et déduisons une estimation du paramètre de dépendance en utilisant une procédure semi-paramétrique où les marges sont estimées par leurs équivalents empiriques. Nous utilisons la méthode du jackknife pour estimer l’erreur type. Nous utilisons la méthode de Wald pour tester l’égalité entre l’association des caractéristiques socio-économiques des hommes qui épousent des jeunes filles mineures et celle des hommes qui se marient avec des femmes âgées. Les résultats du test contribuent à la validité de notre théorie selon laquelle les hommes qui épousent des jeunes filles de moins de 18 ans ont un niveau d’éducation et un revenu pré-marital faibles, lorsqu’on les compare aux hommes qui ne le font pas. / This thesis introduces and explores a new class of probability models for exchangeable clustered binary data. In these models, the conditional probability of success is characterized by a function of the marginal probability of success and a positive cluster-specific random effect. The marginal probabilities are modeled using the logit and complementary log-log link functions. The distribution of the random effect contains an association parameter that is estimated to give a measure of the strength of the within-cluster residual dependence that is not accounted for by the margins. We show that the random effect distributions can be related to exchangeable Archimedean copula models, thus giving new insights on such models. The copula approach offers many advantages. Indeed, the family of Archimedean copulas provides a large class of models for over-dispersion in a Bernoulli experiment. From a statistical perspective, the marginal likelihood function for the sample data has an explicit expression, the maximum likelihood methods are then easy to implement and computationally straightforward. Based on the proposed models, four applications are considered. First, we investigate the construction of profile likelihood confidence interval (PLCI) for the intra-cluster correlation coefficient (ICC). The second application is concerned with an heterogeneity in capture probabilities in a mark-recapture study for estimating the size of a closed population. The third contribution deals with the estimation in small areas, the fourth and final, independent of the other three, analyzes the socioeconomic characteristics of men who prefer to marry girls under 18 years old. In the first application, we consider a simple case, without covariates and construct maximum likelihood inference procedures for the intra-cluster correlation using several specifications of Archimedean copulas. The selection of a particular model is carried out using the Akaike information criterion (AIC). Profile likelihood confidence intervals for the ICC are constructed and their performance are assessed in a simulation experiment. The sensitivity of the inference to the specification of the copula family is also investigated through simulations. Numerical examples are presented. We compare our approach with that proposed under the Beta-binomial model and with the modified Wald interval method proposed by Zou and Donner (2004). One of the important findings of these studies is that the profile confidence interval obtained under our models presents nice properties, even when the number of clusters is small. Model selection is an important step: if the model is poorly specified, then this could lead to erroneous results. The second application, an extension of the first one to accommodate cluster level covariates, is concerned with an heterogeneity in capture probabilities in a capture-recapture study for estimating the size of a closed population. Unit level covariates are recorded on the units that are captured and copulas are used to model the residual heterogeneity that is not accounted for by covariates. Several models for the unobserved heterogeneity are available and the marginal capture probability is expressed using the Logit and the complementary Log-Log link functions. The parameters are estimated using a conditional likelihood constructed with the data obtained on the units caught at least once. The population size is estimated using a Horvitz-Thompson estimator constructed using the estimated probabilities that a unit is caught at least once. This generalizes the model of Huggins (1991) that does not account for a residual heterogeneity. The sensitivity of the inference to the specification of a model is also investigated through simulations. A numerical example is presented. The third application uses the models of the first two in order to estimate small area proportions. We apply Bayes techniques using a new class of probability models, to estimate small area proportions. The Bayesian inference under the proposed models consists in obtaining the posterior distribution of the random effect and its Laplace transform. This posterior Laplace transform is then used to find Bayes estimates of small area proportions. We develop a comparison between the Best Predictor (BP) and the Best Linear Unbiased Predictor (BLUP). The model parameters are estimated using the maximum likelihood (ML) method. Under the proposed model, the likelihood function and the best predictor (BP) of small area proportion have closed form expressions. Model parameters are replaced by their ML estimates in the BP to obtain the empirical best predictor (EBP). We use the Akaike information criterion (AIC) for selecting a particular model. We propose the jackknife method to estimate the mean square error of the empirical Bayes predictor. Empirical results obtained from simulated and real data are also presented. The fourth and last problem addressed in this thesis, independently of the others three, investigates socioeconomic characteristics of men who prefer to marry girls under 18 years. We consider the data from the 2006 DHS Niger and use a bivariate Archimedean copula to model the association between education level (discrete) of men and their pre-marital income (continuous). We present the likelihood function for a sample from this pair of mixed random variables, and derive an estimate of the dependence parameter using a semiparametric procedure where margins are estimated by their empirical equivalents. We use the jackknife method to estimate the standard error. We use a Wald-type procedure, to perform a parametric hypothesis test of equality between the association of the socio economic characteristics of men who marry underage girls and that of men who marry older women instead. These test results contribute to the validity of our theory that men who marry girls under 18 years old have a low level of education and income pre-marital, when compared to men who did not.

Dans cette thèse, nous proposons un modèle multivarié pour la modélisation des données en grappes. Le modèle proposé, que nous nommons "d-copule échangeable", permet d'écrire la distribution jointe de nd variables aléatoires mesurées sur n unités de la grappe. Le modèle de d-copule échangeable fait intervenir trois copules et d lois marginales. Il possède des propriétés de flexibilité et de maniabilité dues à sa forme explicite. Nous montrons que la d-copule échangeable est une généralisation du modèle linéaire mixte avec ordonnées à l'origine aléatoires. En effet, lorsque les copules sont toutes normales et les lois marginales sont normales, alors les deux modèles sont équivalents. Nous utilisons le modèle de d-copule échangeable pour faire de la prédiction. Ensuite, nous nous intéressons particulièrement au cas de d=2 variables pour étudier ses propriétés. Nous expliquons la procédure séquentielle pour sélectionner les cinq éléments entrant dans la construction du modèle de 2-copule échangeable. L'estimation des paramètres du modèle de 2-copule échangeable se fait en utilisant deux méthodes d'estimation : la méthode IFM généralisée ou la méthode du maximum de vraisemblance. Nous démontrons que les estimateurs associés aux paramètres du modèle de 2-copule échangeable sont convergents et asymptotiquement normaux que l'on utilise la méthode IFM généralisée ou celle par maximum de vraisemblance. Nous comparons ces deux méthodes d'estimation par le biais d'une étude Monte-Carlo. Finalement, nous montrons la modélisation de données en utilisant un modèle de 2-copule échangeable. Les données proviennent d'une étude effectuée au centre de Londres, dans le cadre du "Junior School Project (JSP)". Nous construisons des courbes de prédiction en utilisant la méthode de 2-copule échangeable que nous comparons à celles obtenues avec le modèle linéaire mixte et le modèle de régression ordinaire avec une copule. / In this thesis, we propose a multivariate model for modeling clustered data. The proposed model, which we name "d-copula", allows us to write the joint distribution of nd random variables measured on n units of the cluster. The exchangeable d-copula model involves three copulas and d marginal laws. It has properties of flexibility and handiness due to its explicit form. We show that the exchangeable d-copula is a generalization of the linear mixed model with random intercepts. Indeed, when the copulas are all normal and the marginal laws are normal, then the two models are equivalent. We use the exchangeable d-copula model to make predictions. Then, we focus on the case of d=2 variables to study its properties. We explain the sequential procedure for selecting the five elements that go into the construction of the exchangeable 2-copula model. The estimation of the parameters of the exchangeable 2-copula model is done using two estimation methods : the generalized IFM method or the maximum likelihood method. We show that the estimators associated with the parameters of the exchangeable d-copula model are convergent and asymptotically normal whether using the generalized IFM or the maximum likelihood method. We compare these two estimation methods by means of a Monte-Carlo study. Finally, we show the construction of an exchangeable 2-copula model from observed data. The data come from a study in central London, as part of the «Junior School Project (JSP)». We construct prediction curves using the exchangeable 2-copula method and compare them to those obtained with the mixed linear model and the ordinary regression model with one copula.

Cette thèse contribue à la modélisation de la dépendance stochastique par la théorie des copules et la statistique non paramétrique. Elle s'appuie sur trois articles rédigés avec mes directeurs de thèse, M. Christian Genest et Mme Johanna Neslehovâ. Le premier article, intitulé ± On the Ghoudi, Khoudraji, and Rivest test for extreme-value dependence, ¿ a été publié en 2009 dans La revue canadienne de statistique, vol. 37, no 4, pp. 534-552. Le second article, intitulé ± Spearman's footrule and Gini's gamma : A review with complements, ¿ paraîtra sous peu dans le Journal of Nonparametric Statistics. Le troisième article, intitulé ± Estimators based on Kendall's tau in multivariate copula models, ¿ est en cours d'évaluation.

La copule de Abdelhaq Khoudraji permet de décrire complètement le lien de dépendance qui unit deux variables aléatoires continues. Ce mémoire présente une nouvelle copule basée sur les copules de Khoudraji mais avec plus de propriétés. On a étendu les copules de Khoudraji à des cas multidimen-sionnels tout en proposant quelques exemples. Des simulations ont été introduites dans le but de mieux visualiser ces nouvelles classes de copules. Finalement, des applications ont été réalisées afin de mettre en oeuvre les nouvelles copules trouvées.

Les méthodes classiques d’analyse de survie notamment la méthode non paramétrique de Kaplan et Meier (1958) supposent l’indépendance entre les variables d’intérêt et de censure. Mais, cette hypothèse d’indépendance n’étant pas toujours soutenable, plusieurs auteurs ont élaboré des méthodes pour prendre en compte la dépendance. La plupart de ces méthodes émettent des hypothèses sur cette dépendance. Dans ce mémoire, nous avons proposé une méthode d’estimation de la dépendance en présence de censure dépendante qui utilise le copula-graphic estimator pour les copules archimédiennes (Rivest etWells, 2001) et suppose la connaissance de la distribution de la variable de censure. Nous avons ensuite étudié la consistance de cet estimateur à travers des simulations avant de l’appliquer sur un jeu de données réelles. / Conventional methods of survival analysis including non-parametric Kaplan-Meier (1958) assume independence between time to death and time to censoring. But this independence assumption is not always sustainable. Thus, several authors have developed methods to take into account the dependence by making assumptions about the relationship between the two times. In this paper, we proposed a method to estimate the dependence in case of competing risk data using the copula-graphic estimator for Archimedean copula (Rivest and Wells, 2001) and assuming knowledge of the distribution of censoring time. Then we studied the consistency of this estimator through simulations and applied to a real dataset.

Les compagnies d'assurance jouent un rôle important dans l'économie des pays en s'impliquant de façon notable dans les marchés boursiers, obligataires et immobiliers, d'où la nécessité de préserver leur solvabilité. Le cycle spécifique de production en assurance amène des défis particuliers aux actuaires et aux gestionnaires de risque dans l'accomplissement de leurs tâches. Dans cette thèse, on a pour but de développer des approches et des algorithmes susceptibles d'aider à résoudre certaines problématiques liées aux opérations de provisionnement et de solvabilité d'une compagnie d'assurance. Les notions préliminaires pour ces contributions sont présentées dans l'introduction de cette thèse. Les modèles de provisionnement traditionnels sont fondés sur des informations agrégées. Ils ont connu un grand succès, comme en témoigne le nombre important d'articles et documents actuariels connexes. Cependant, en raison de la perte d'informations individuelles des sinistres, ces modèles représentent certaines limites pour fournir des estimations robustes et réalistes dans des contextes susceptibles d'évoluer. Dans ce sens, les modèles de réserve individuels représentent une alternative prometteuse. En s'inspirant des récentes recherches, on propose dans le Chapitre 1 un modèle de réserve individuel basé sur un réseau de neurones récurrent. Notre réseau a l'avantage d'être flexible pour plusieurs structures de base de données détaillés des sinistres et capable d'incorporer plusieurs informations statiques et dynamiques. À travers plusieurs études de cas avec des jeux de données simulés et réels, le réseau proposé est plus performant que le modèle agrégé chain-ladder. La détermination des exigences de capital pour un portefeuille repose sur une bonne connaissance des distributions marginales ainsi que les structures de dépendance liants les risques individuels. Dans les Chapitres 2 et 3 on s'intéresse à la modélisation de la dépendance et à l'estimation des mesures de risque. Le Chapitre 2 présente une analyse tenant compte des structures de dépendance extrême. Pour un portefeuille à deux risques, on considère en particulier à la dépendance négative extrême (antimonotonocité) qui a été moins étudiée dans la littérature contrairement à la dépendance positive extrême (comonotonocité). On développe des expressions explicites pour des mesures de risque de la somme d'une paire de variables antimontones pour trois familles de distributions. Les expressions explicites obtenues sont très utiles notamment pour quantifier le bénéfice de diversification pour des risques antimonotones. Face à une problématique avec plusieurs lignes d'affaires, plusieurs chercheurs et praticiens se sont intéressés à la modélisation en ayant recours à la théorie des copules au cours de la dernière décennie. Cette dernière fournit un outil flexible pour modéliser la structure de dépendance entre les variables aléatoires qui peuvent représenter, par exemple, des coûts de sinistres pour des contrats d'assurance. En s'inspirant des récentes recherches, dans le Chapitre 3, on définit une nouvelle famille de copules hiérarchiques. L'approche de construction proposée est basée sur une loi mélange exponentielle multivariée dont le vecteur commun est obtenu par une convolution descendante de variables aléatoires indépendantes. En se basant sur les mesures de corrélation des rangs, on propose un algorithme de détermination de la structure, tandis que l'estimation des paramètres est basée sur une vraisemblance composite. La flexibilité et l'utilité de cette famille de copules est démontrée à travers deux études de cas réelles. / Insurance companies play an essential role in the countries economy by monopolizing a large part of the stock, bond, and estate markets, which implies the necessity to preserve their solvency and sustainability. However, the particular production cycle of the insurance industry may involve typical problems for actuaries and risk managers. This thesis project aims to develop approaches and algorithms that can help solve some of the reserving and solvency operations problems. The preliminary concepts for these contributions are presented in the introduction of this thesis. In current reserving practice, we use deterministic and stochastic aggregate methods. These traditional models based on aggregate information have been very successful, as evidenced by many related actuarial articles. However, due to the loss of individual claims information, these models represent some limitations in providing robust and realistic estimates, especially in variable settings. In this context, individual reserve models represent a promising alternative. Based on the recent researches, in Chapter 1, we propose an individual reserve model based on a recurrent neural network. Our network has the advantage of being flexible for several detailed claims datasets structures and incorporating several static and dynamic information. Furthermore, the proposed network outperforms the chain-ladder aggregate model through several case studies with simulated and real datasets. Determining the capital requirements for a portfolio relies on a good knowledge of the marginal distributions and the dependency structures linking the individual risks. In Chapters 2 and 3, we focus on the dependence modeling component as well as on risk measures. Chapter 2 presents an analysis taking into account extreme dependence structures. For a two-risk portfolio, we are particularly interested in extreme negative dependence (antimonotonicity), which has been less studied in the literature than extreme positive dependence (comonotonicity). We develop explicit expressions for risk measures of the sum of a pair of antimonotonic variables for three families of distributions. The explicit expressions obtained are very useful, e.g., to quantify the diversification benefit for antimonotonic risks. For a problem with several lines of business, over the last decade, several researchers and practitioners have been interested in modeling using copula theory. The latter provides a flexible tool for modeling the dependence structure between random variables that may represent, for example, claims costs for insurance contracts. Inspired by some recent researches, in Chapter 3, we define a new family of hierarchical copulas. The proposed construction approach is based on a multivariate exponential mixture distribution whose common vector is obtained by a top-down convolution of independent random variables. A structure determination algorithm is proposed based on rank correlation measures, while the parameter estimation is based on a composite likelihood. The flexibility and usefulness of this family of copulas are demonstrated through two real case studies.

Titre de l'écran-titre (visionné le 20 novembre 2023) / Les compagnies d'assurance jouent un rôle essentiel dans la société en assurant la protection financière, la gestion des risques, la stabilité sociale et la promotion de la croissance économique. Dans ce contexte, les actuaires utilisent leur expertise en mathématiques, en statistiques et en théorie financière pour aider les particuliers, les entreprises et les organisations à prendre des décisions éclairées en matière de gestion des risques et de protection contre les pertes financières, contribuant ainsi à la stabilité et à la prospérité globales de la société. La plupart des théories de la science actuarielle commencent par la simplification d'hypothèses afin d'obtenir des expressions simples : au premier plan, l'hypothèse selon laquelle les risques du portefeuille d'une compagnie d'assurance sont indépendants et identiquement distribués. Si cette hypothèse se vérifie, on peut souvent appliquer la loi des grands nombres pour obtenir des résultats mathématiques pratiques liés à la gestion et à la tarification des risques dans le portefeuille. Cependant, la levée de cette hypothèse complique généralement ce résultat, et nous examinerons certaines de ces complications dans cette thèse. L'objectif principal de cette thèse est d'étudier les problèmes de haute dimension dans la science actuarielle, dans la modélisation de la dépendance et dans la gestion quantitative des risques. La thèse est divisée en trois parties, couvrant trois sujets sous le thème général de la science actuarielle à haute dimension. Dans la première partie, nous proposons des méthodes pour incorporer des données à haute dimension dans les modèles de tarification. Une hypothèse implicite d'un modèle de tarification actuariel est celle de l'équité actuarielle, le principe selon lequel les primes d'assurance doivent être basées sur des données statistiques et des facteurs de risque liés aux coûts totaux associés à un contrat d'assurance. En d'autres termes, l'équité actuarielle signifie que les personnes les plus susceptibles de faire une réclamation doivent payer des primes plus élevées que celles qui sont moins susceptibles de le faire. Les actuaires utilisent des modèles mathématiques et des analyses statistiques pour étudier le risque associé à différents événements, tels que les maladies, les accidents et les catastrophes naturelles. Ils utilisent ensuite ces données pour déterminer des primes qui reflètent le risque associé à chaque assuré. Une stratégie essentielle pour les assureurs consiste à écumer la crème, c'est-à-dire à choisir sélectivement d'assurer les clients présentant un faible risque de sinistre, tout en excluant ceux qui présentent un risque plus élevé ou en leur appliquant des primes plus élevées. La mise en œuvre réussie de cette stratégie nécessite un avantage concurrentiel utilisant plus de données, plus de caractéristiques ou en développant des modèles plus performants. Même si un assureur ne souhaite pas utiliser cette stratégie, il est essentiel de disposer d'un excellent modèle prédictif (aussi bon que celui du concurrent). L'introduction traite de l'intégration des données massives dans le modèle de tarification d'un assureur. Nous fournissons ensuite des implémentations spécifiques utilisant des informations de recensement externes pour la modélisation spatiale et des images de rues externes pour identifier les facteurs de risque des maisons. La deuxième partie de cette thèse comprend deux contributions à la théorie des copules. Elle est consacrée à l'obtention de nouveaux résultats sur la famille des copules de Farlie-Gumbel-Morgenstern (FGM). Cette famille de copules est très flexible puisque sa version à d-variables contient 2ᵈ − d − 1 paramètres. Cependant, une paramétrisation en haute dimension est considérée comme un inconvénient car il y a trop de paramètres à spécifier, qui sont difficiles à interpréter, et les paramètres doivent satisfaire un ensemble de contraintes fastidieuses. Construire des familles de copules FGM de haute dimension pour des applications pratiques est un défi. Notre contribution dans cette partie de la thèse est de proposer une représentation stochastique des copules FGM basée sur des distributions de Bernoulli symétriques multivariées. Nous montrons également que cette correspondance est bijective. Cette représentation, dans la plupart des cas, permet de dériver de nouvelles propriétés des copules FGM basées sur l'abondante littérature sur les distributions de Bernoulli symétriques multivariées. Nous obtenons des résultats supplémentaires utiles lorsque nous utilisons l'hypothèse additionnelle selon laquelle les composantes du vecteur aléatoire sont échangeables. Dans la troisième partie de cette thèse, nous apportons deux contributions à l'agrégation des risques, à l'allocation du capital et au partage des risques. Premièrement, nous utilisons les résultats obtenus dans la deuxième partie de la thèse pour étudier l'agrégation des risques lorsque la structure de dépendance entre les risques est une copule FGM. Nous dérivons des expressions pour les moments et la transformée de Laplace-Stieltjes de la variable aléatoire agrégée basée sur la représentation stochastique des copules FGM. Nous concevons un algorithme pour calculer la fonction de masse de probabilité du vecteur aléatoire agrégé lorsque les risques sont définis par des variables aléatoires discrètes. Lorsque les risques sont définis par des variables aléatoires continues obéissant à une distribution mélange d'Erlang, nous démontrons que la variable aléatoire agrégée est également distribuée selon une distribution mélange d'Erlang et nous développons des expressions pour les mesures de risque et les contributions au risque ex-post pour le partage des risques avec la règle de partage des risques à espérance conditionnelle. La deuxième contribution de cette partie établit un lien entre les espérances conditionnelles et les dérivés des fonctions génératrices de probabilités conjointes. Cette relation conduit à de nouvelles stratégies pour calculer les espérances conditionnelles ex-ante ou ex-post lorsque les risques sont représentés par des variables aléatoires discrètes. Nous dérivons de nouvelles expressions pour les espérances conditionnelles et développons une stratégie de calcul efficace basée sur les transformées de Fourier rapides pour calculer les espérances conditionnelles. / Insurance companies play a critical role in society by providing financial protection, risk management, social stability and promoting economic growth. Within this context, actuaries use their expertise in mathematics, statistics, and financial theory to help individuals, businesses, and organizations make informed decisions about managing risks and protecting against financial loss, contributing to society's overall stability and prosperity. Most of the theory in actuarial science starts with simplifying assumptions to obtain convenient expressions: at the forefront is that the risks in an insurance company's portfolio are independent and identically distributed. If the assumption holds, one may often apply the central limit theorem to obtain convenient mathematical results related to risk management and pricing of risks in the portfolio. However, removing this assumption typically complicates this result, and we will investigate some of these challenges in this thesis. The main objective of this thesis is to investigate high-dimensional problems in insurance mathematics, dependence modelling and quantitative risk management. The thesis is divided into three parts, covering three subjects under the general theme of high-dimensional actuarial science. In the first part, we propose methods to incorporate high-dimensional data within ratemaking models. An implicit assumption of the actuarial model is that of actuarial fairness, the principle that insurance premiums should be based on statistical data and risk factors related to the total costs associated with an insurance contract. In other words, actuarial fairness means that individuals more likely to make a claim should pay higher premiums than those less likely to do so. Actuaries use mathematical models and statistical analysis to calculate the risk associated with different events, such as illness, accidents, and natural disasters. They then use this data to set premiums that reflect the risk associated with other policyholders. A critical strategy for insurers is "skimming the creme," referring to insurance companies selectively choosing to insure customers at lower risk of making a claim while excluding or charging higher premiums to those at higher risk. This strategy's successful implementation requires a competitive advantage in terms of more data, more features or better models. Even if an insurer does not want to use this strategy, having an excellent predictive model (as good as the competitor's) is still essential. The introduction discusses incorporating big data into an insurer's ratemaking model. We then provide specific implementations using external census information for spatial modelling and external street view imagery to identify risk factors of houses. The second part of this thesis includes two contributions to copula theory. It is dedicated to obtaining new results on the family of Farlie-Gumbel-Morgenstern (FGM) copulas. This family of copulas is very flexible since its d-variate version contains 2ᵈ - d - 1 parameters. However, this high dimensionality in the parameters is considered a drawback since there are too many parameters to specify, which are difficult to interpret, and the parameters must satisfy a set of tedious constraints. Constructing high-dimensional families of FGM copulas for practical applications is challenging. Our contribution in this part of the thesis is to propose a stochastic representation of FGM copulas based on symmetric multivariate Bernoulli distributions. We further show that this correspondence is one-to-one. This representation, in most cases, lets one derive new properties of FGM copulas based on the expansive literature on multivariate symmetric Bernoulli distributions. We derive useful supplemental results when we use the additional assumption that the components of the random vector are exchangeable. In the third part of this thesis, we provide two contributions to risk aggregation, capital allocation and risk-sharing. First, we use the results derived in the second part of the thesis to study risk aggregation when the dependence structure between the risks is a FGM copula. We derive expressions for the moments and the Laplace-Stieltjes transform of the aggregate random variable based on the stochastic representation of FGM copulas. We design an algorithm to compute the probability mass function of the aggregate random vector when the risks are discrete. When risks are mixed Erlang distributed, we find that the aggregate random variable is also mixed Erlang distributed and develop expressions for risk measures and ex-post risk contributions for risk-sharing with the conditional mean risk-sharing rule in that case. For our second contribution of this part, we provide a link between conditional expectations and derivatives of joint probability-generating functions. This relationship leads to new strategies to compute conditional means ex-ante or ex-post when risks are discrete. We derive new expressions for the conditional means and develop an efficient computational strategy based on fast Fourier transforms to compute the conditional means.