[pt] Curvas elípticas são objeto de estudo pelos matemáticos há mais de 200 anos. Por si só, é uma teoria bastante interessante por estar relacionada com diversas áreas da matemática: álgebra, equações diofantinas e geometria algébrica, dentre outras. Recentemente, diversos pesquisadores sugeriram o uso de curvas elípticas para resolver problemas práticos; como exemplos, podemos citar a criptografia, algoritmos para fatoração de números inteiros e testes de primalidade. Uma curva elíptica é definida sobre um corpo (no sentido algébrico). Essa dissertação tem por objetivo apresentar os primeiros elementos da teoria das curvas elípticas sobre corpos finitos. Como veremos, o desenvolvimento do tema aborda diversos tópicos da educação básica. Para isso, iniciaremos o trabalho com uma introdução utilizando o corpo dos números reais e, em seguida, incluiremos a teoria mais geral sobre essas curvas algébricas. Concluiremos então com algumas propriedades e resultados de curvas elípticas sobre corpos finitos, incluindo alguns exemplos e a interpretação geométrica da soma de dois pontos de curvas sobre corpos finitos específicos. / [en] Elliptic curves have been studied by mathematicians for over 200 years. By itself, it is a remarkably interesting theory as it is related to several areas of mathematics: algebra, Diophantine equations and algebraic geometry, among others. Recently, several researchers have suggested the use of elliptic curves to solve practical problems; as examples, we can mention cryptography, integer factorization algorithms and primality tests. An elliptic curve is defined over a field (in algebraic sense). This dissertation aims to present the first elements in the theory of elliptic curves on finite fields. As we will see, the development of the subject addresses a number of topics covered in basic education. In order to accomplish this, we will start the work with an introduction using the field of real numbers and then we will include the more general theory about these algebraic curves. Finally, we will present some properties and results on elliptic curves over finite fields, including some examples and a geometric interpretation of the sum of two points over specific finite fields.

Neste trabalho damos uma descrição completa dos ideais à esquerda em anéis de matrizes sobre corpos finitos. Aplicamos estes resultados ao estudo de álgebras de grupo de uma família particular de grupos indecomponíveis e mostramos como construir códigos corretores de erros como ideais destas álgebras. Em particular, exibimos exemplos de códigos tais que, para um dado comprimento e uma dada dimensão, têm o melhor peso possível. / In this work we give a complete description of the left ideals in the full ring of matrices over a finite field. We apply these results to the study of group algebras of a given family of indecomposable groups and show how to construct error correcting codes as ideals of these algebras. In particular, we exhibit examples of codes such that, for a given length and a given dimension, have the best possible weight.