La présente thèse s'inscrit dans le cadre de travaux sur la représentation de Weil. Elle consiste en trois parties. Aux chapitres 2 et 3, on généralise la correspondance de Howe aux groupes de similitudes sur un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle impaire. Aux chapitres 4 et 5, on répond dans beaucoup de cas à une question, soulevée par V. Drinfeld, sur la représentation de Weil de GSp8(F) de restreinte à un groupe GL2(A), où A est une algègre étale sur un corps local ou fini F. D'autre part, au chapitre 5, on montre que sur un corps fini, les représentations de Weil sont compatibles au changement de base au sens de Shintani-lift. / This present thesis is working on the Weil representation. It consists of three parts. In chapter 2 and chapter 3, we generalize the Howe correspondance for the similitudes groupes over the non archimedien field with odd residual characteristic. In chapter 4 and chapter 5, we answer one question, raised by V. Drinfeld, about the restriction of the Weil representation of the group GSp8(F) to GL2(A) where A is an étale algebra over a non archimedien field or a finite field F. On the other hand, in the chapter 5, we prove that in finite field case, the Weil representations are invariant under the operator of base change in the sens of Shintani-lifting.

Un problème majeur en théorie de Lie est de comprendre la catégorie de tous les modules d'une algèbre de Lie donnée. La catégorie O de Bernstein-Gelfand-Gelfand puis la notion de module de poids exploitée à partir des années 80 ont permis une avancée considérable dans ce domaine. Les modules cuspidaux introduits pour décrire tous les modules de poids sont aujourd'hui au coeur de cette théorie. Nous introduisons dans cette thèse une famille de catégories extrapolant la catégorie O et celle de tous les modules cuspidaux. Dans certains cas, nous décrivons entièrement la catégorie obtenue. Nous utilisons ensuite ces catégories pour décrire des correspondances pour certaines paires duales.

La présente thèse s'inscrit dans le cadre de travaux sur la représentation de Weil. Elle consiste en trois parties. Aux chapitres 2 et 3, on généralise la correspondance de Howe aux groupes de similitudes sur un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle impaire. Aux chapitres 4 et 5, on répond dans beaucoup de cas à une question, soulevée par V. Drinfeld, sur la représentation de Weil de GSp8(F) de restreinte à un groupe GL2(A), où A est une algègre étale sur un corps local ou fini F. D'autre part, au chapitre 5, on montre que sur un corps fini, les représentations de Weil sont compatibles au changement de base au sens de Shintani-lift.

Ce rapport présente mes travaux dans la direction du programme de Langlands géométrique. Ceux-ci abordent plusieurs aspects de ce thème: méthode de Rankin-Selberg locale et globale, les foncteurs de Whittaker et de Bessel pour GSp_4, catégorification et la version géométrique de la multiplicité un pour les models de Bessel, les faisceaux Théta et programme de Langlands géométrique pour le groupe métaplectique, correspondance de Howe géométrique.

On étudie la correspondance de Howe entre la catégorie de représentations complexes de G et celle de G’, pour des paires duales irréductibles (G,G’) définis sur des corps finis de caractéristique impaire. On établit la compatibilité entre la correspondance de Howe et les séries arbitraires de Harish-Chandra. On démontre comment obtenir des sous-représentations extrémales (i.e. minimales et maximales) de l’image d’une représentation irréductible unipotente de G. Finalement, on démontre comment l’étude de la correspondance de Howe entre séries d’Harish-Chandra arbitraires peut être ramenée à l’étude des séries unipotentes, et on utilise ceci pour étendre nos résultats sur les représentations extrémales aux représentations irréductibles arbitraires (i.e. pas forcément unipotentes) de G. / We study the Howe correspondence between the category of complex representations of G and that of G’, for irreducible dual pairs (G,G’) over finite fields of odd characteristic. We establish the compatibility between the Howe correspondence and arbitrary Harish-Chandra series. We define and prove the existence of extremal (i.e. minimal and maximal) irreducible sub-representations from the image of irreducible unipotent representations of G. Finally, we prove how the study of the Howe correspondence between arbitrary Harish-Chandra series can be brought to the study of unipotent series, and use this to extend our results on extremal representations to arbitrary (i.e. not necessarily unipotent) irreducible representations of G.

Dans cette thèse on s'intéresse à la correspondance de Howe géométrique pour les paires duales réductives de type II (G = GL_n, H = GL_m) sur un corps local non-Archimédien F de caractéristique différente de 2, ainsi qu'à la fonctorialité de Langlands géométrique au niveau Iwahori. Notons S la représentation de Weil de G(F) × H(F) et I_H, I_G des sous groupes d'Iwahori de H(F) et G(F). On considère la version géométrique de la représentation S^(I_G×I_H) des algèbres de Hecke-Iwahori H_H et H_G sur laquelle agissent les foncteurs de Hecke. On obtient des résultats partiels sur la description géométrique de la catégorie correspondante. Nous proposons une conjecture décrivant le groupe de Grothendieck de cette catégorie comme module sur les algèbres de Hecke affines étendues de G et de H. Notre description est en termes d'un champ attaché aux groupes de Langlands duaux dans le style de l'isomorphisme de Kazhdan-Lusztig. On démontre cette conjecture pour toutes les paires (GL_1, GL_m). Plus généralement, étant donné deux groupes réductifs connexes G et H et un morphisme \check{G}× SL_2 \to \check{H} de groupes de Langlands duaux, on suggère un bimodule sur les algèbres de Hecke affines étendues de G et de H qui pourrait conjecturalement réaliser la fonctorialité de Langlands géométrique locale au niveau Iwahori.