Nesta tese estudamos a geometria diferencial do cross-cap usando ferramentas da teoria de singularidades. Estudamos curvas definidas sobre uma superfície regular que captam o contato da superfície com planos e esferas e estendemos o estudo para o cross-cap. Consideramos os fenômenos locais que ocorrem genericamente na família de projeções ortogonais do cross-cap e obtemos informações detalhadas sobre as bifurcações da projeção do conjuntos dos pontos duplos juntamente com a do contorno aparente. Estudamos as simetrias reflexõais infinitesimais do cross-cap através das singularidades da família da aplicações dobra e damos uma caracterização geométrica das mesmas. Finalmente, consideramos dualidade nas equações diferenciais binárias que definem as curvas assintóticas e as linhas de curvatura sobre o cross-cap. Estudamos o conjunto dos pontos onde ocorrem as inflexões de tais curvas e a relação deste conjunto com o conjunto sub-parabólico e flecnodal. / In this thesis we study the differential geometry of the cross-cap using singularity theory. We study curves on a regular surface that capture the contact of the surface with planes and spheres and extend our study to the cross-cap. We deal with local phenomena that occur generically in the family of orthogonal projection of the cross-cap and obtain detailed information about the bifurcations of the projection of double point curve together with the profile. We study the infinitesimal reflectional symmetry of a cross-cap via the singularities of the fold maps and give a geometrical characterization of these maps. Finally, we consider the duality in the binary differential equations of the asymptotic curves and of the curvature lines on a cross-cap. We study the inflection set of this curves and their relation with the subparabolic set and the flecnodal curve.

Sejam f:(C^2,0) to (C^3,0) um germe de aplicação holomorfa de coposto 1 e f_t uma perturbação estável de f. Os pontos singulares de f_t são cross-caps, pontos duplos ou pontos triplos. O número de cross-caps e pontos triplos de f_t e o número de Milnor da curva de pontos duplos de f_t são invariantes do germe f. Neste trabalho estudamos fórmulas para obter estes invariantes e no caso dos germes quasi-homogêneos relacionamos estes invariantes com a A_e-codimensão de f. / Let f:(C^2,0) to (C^3,0) be a holomorphic map-germ with corank 1 and f_t a stable perturbation of f. The singular points of f_t are either cross-caps, double points or triple points. The number of cross-caps and the number of triple points of f_t and the Milnor number of the double points curve of f_t are invariants of the germs f. In this work we study formulas to get these invariants and in the case of quasi-homogeneous germs we relate these invariants with the A_e-codimension of f.

Nesta tese estudamos a geometria diferencial do cross-cap usando ferramentas da teoria de singularidades. Estudamos curvas definidas sobre uma superfície regular que captam o contato da superfície com planos e esferas e estendemos o estudo para o cross-cap. Consideramos os fenômenos locais que ocorrem genericamente na família de projeções ortogonais do cross-cap e obtemos informações detalhadas sobre as bifurcações da projeção do conjuntos dos pontos duplos juntamente com a do contorno aparente. Estudamos as simetrias reflexõais infinitesimais do cross-cap através das singularidades da família da aplicações dobra e damos uma caracterização geométrica das mesmas. Finalmente, consideramos dualidade nas equações diferenciais binárias que definem as curvas assintóticas e as linhas de curvatura sobre o cross-cap. Estudamos o conjunto dos pontos onde ocorrem as inflexões de tais curvas e a relação deste conjunto com o conjunto sub-parabólico e flecnodal. / In this thesis we study the differential geometry of the cross-cap using singularity theory. We study curves on a regular surface that capture the contact of the surface with planes and spheres and extend our study to the cross-cap. We deal with local phenomena that occur generically in the family of orthogonal projection of the cross-cap and obtain detailed information about the bifurcations of the projection of double point curve together with the profile. We study the infinitesimal reflectional symmetry of a cross-cap via the singularities of the fold maps and give a geometrical characterization of these maps. Finally, we consider the duality in the binary differential equations of the asymptotic curves and of the curvature lines on a cross-cap. We study the inflection set of this curves and their relation with the subparabolic set and the flecnodal curve.

Sejam f:(C^2,0) to (C^3,0) um germe de aplicação holomorfa de coposto 1 e f_t uma perturbação estável de f. Os pontos singulares de f_t são cross-caps, pontos duplos ou pontos triplos. O número de cross-caps e pontos triplos de f_t e o número de Milnor da curva de pontos duplos de f_t são invariantes do germe f. Neste trabalho estudamos fórmulas para obter estes invariantes e no caso dos germes quasi-homogêneos relacionamos estes invariantes com a A_e-codimensão de f. / Let f:(C^2,0) to (C^3,0) be a holomorphic map-germ with corank 1 and f_t a stable perturbation of f. The singular points of f_t are either cross-caps, double points or triple points. The number of cross-caps and the number of triple points of f_t and the Milnor number of the double points curve of f_t are invariants of the germs f. In this work we study formulas to get these invariants and in the case of quasi-homogeneous germs we relate these invariants with the A_e-codimension of f.