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Thèse de doctorat : Sciences : Paris, Faculté des sciences : 1867. / Titre provenant de l'écran-titre.

Thesis (M.S.)--University of Toledo, 2007. / Typescript. "Submitted as partial fulfillments of the requirements for the Master of Science Degree in Mechanical Engineering." "A thesis entitled"--at head of title. Bibliography: leaves 196-205.

For simple fluids, or Newtonian fluids, the study of the Navier-Stokes equations in the high Reynolds number limit brings about two fundamental research subjects, the Euler equations and the Prandtl's system. The consideration of infinite Reynolds number reduces the Navier-Stokes equations to the Euler equations, both of which are dealing with the entire flow region. Prandtl's system consists of the governing equations of the boundary layer, a thin layer formed at the wall boundary where viscosity cannot be neglected. In this dissertation, we investigate the upper convected Maxwell(UCM) model for complex fluids, or non-Newtonian fluids, in the high Weissenberg number limit. This is analogous to the Newtonian fluids in the high Reynolds number limit. We present two well-posedness results. The first result is on an initial-boundary value problem for incompressible hypoelastic materials which arise as a high Weissenberg number limit of viscoelastic fluids. We first assume the stress tensor is rank-one and develop energy estimates to show the problem is locally well-posed. Then we show the more general case can be handled in the same spirit. This problem is closely related to the incompressible ideal magneto-hydrodynamics (MHD) system. The second result addresses the formulation of a time-dependent elastic boundary layer through scaling analysis. We show the well-posedness of this boundary layer by transforming to Lagrangian coordinates. In contrast to the possible ill-posedness of Prandtl's system in Newtonian fluids, we prove that in non-Newtonian fluids the stress boundary layer problem is well-posed. / Ph. D.

Computer simulations have emerged as a cost efficient complement to laboratory experiments, as computers have become increasingly powerful. The aim of the present work is to explore the ideas of some state of the art software development practices, and ways in which these can be useful for developing high performance research codes. The introduction of these practices, and the modular designs that they give rise to, raises issues regarding a potential conflict between runtime efficiency on one hand and development efficiency on the other. Flexible software modules, based on mathematical abstractions, will provide support for convenient implementation and modification of numerical operators. Questions still remain about whether such modules will provide the efficiency which is required for high performance applications. To answer these questions, investigations were performed within two different problem domains. The first domain consisted of modular frameworks for the numerical solution of Partial Differential Equations. Such frameworks proved a suitable setting, since several of my research questions revolved around the issue of modularity. The second problem domain was that of symmetry exploiting algorithms. These algorithms are based on group theory, and make ample use of mathematical abstractions from that field. The domain of symmetry exploiting algorithms gave us opportunities to investigate difficulties in combining modularity based on high level abstractions with low level optimizations using data layout and parallelization. In conclusion, my investigation of software development practices for the area of high performance computing has proved very fruitful indeed. I have found that none of the concerns that were raised should lead us to refrain from the use of the practices that I have considered. On the contrary, in the two case studies presented here, these practices lead to designs that perform well in terms of usability as well as runtime efficiency.

Ce travail de thèse a pour objectif de fournir un outil de modélisation rapide de l'interaction d'une source électromagnétique 3D avec une pièce de géométrie ou de propriétés physiques complexes dans le domaine des basses fréquences (régime quasi-statique). La principale application est la simulation d'un procédé de Contrôle Non Destructif (CND) d'une pièce conductrice présentant une surface ou des propriétés physiques perturbées. La plateforme logicielle CIVA, comportant un module dédié à la simulation des procédés de CND par courants de Foucault intègre à l’heure actuelle des modèles semi-analytiques limités aux géométries canoniques : pièces planes, cylindriques. Afin de lever ce verrou, le formalisme des équations de Maxwell covariantes, déjà très utilisé dans le domaine optique pour la caractérisation des réseaux de diffraction (méthode des coordonnées curvilignes) est étendu au régime quasi-statique. L’utilisation d’un nouveau système de coordonnées curvilignes non-orthogonal associé à la géométrie de la pièce conduit à écrire très facilement et de manière analytique les conditions de passage aux interfaces de formes complexes. La résolution numérique des équations de Maxwell sous leur forme covariante est abordée par une approche modale qui repose sur le calcul préalable de solutions propres d’un système d’équations différentielles en absence de source. La représentation des composantes du champ électromagnétique à partir de deux fonctions de potentiels du second ordre (SOVP) ou potentiels de Hertz dans des systèmes de coordonnées canoniques est d’abord étendue au système de coordonnées curvilignes. On obtient alors les expansions modales des composantes covariantes et contra-variantes du champ électromagnétique. Les coefficients de ces expansions modales sont déterminés ensuite en introduisant le champ d’excitation et en imposant les conditions de passage adéquates entre les différents milieux. Cette approche est ensuite couplée d'une part à un algorithme récursif (les paramètres S) afin de prendre en compte la présence d'interfaces internes complexes dans la pièce, et d'autre part à une méthode numérique d'ordre élevé (Méthode pseudo-Spectrale) afin de prendre en compte de façon rigoureuse des variations des propriétés physiques (perméabilité magnétique et/ou conductivité électrique...) du matériau avec la profondeur. La validation de la méthode numérique proposée s’appuie sur des comparaisons avec des données simulées à l'aide d'un logiciel commercial de calcul par éléments finis et des données expérimentales obtenues au laboratoire. En outre, les codes développés ont été intégrés à une version de développement de la plateforme CIVA afin de répondre aux besoins des partenaires dans le cadre du projet européen SIMPOSIUM. / This PhD work concerns the development of fast numerical tools, dedicated to the computation of the electromagnetic interaction between a low frequency 3D current source and a complex conductor, presenting rough interfaces and/or conductivity (and/or permeability) variations. The main application is the simulation of the Eddy Current non-destructive testing process applied to complex specimens. Indeed, the existing semi-analytical models currently available in the CIVA simulation platform are limited to canonical geometries. The method we propose here is based on the covariant Maxwell equations, which allow us to consider the physical equations and relationships in a non-orthogonal coordinate system depending on the geometry of the specimen. Historically, this method (cf. C-method) has been developed in the framework of optical applications, particularly for the characterization of diffraction gratings. Here, we transpose this formalism into the quasi-static regime and we thus develop an innovative formulation of the Second Order Vector Potential formalism, widely used for the computation of the quasi-static fields in canonical geometries. Then, we determine numerically a set of modal solutions of the source-free Maxwell equations in the coordinate system introduced, and this allows us to represent the unknown fields as modal expansions in source-free domains. Then, the coefficients of these expansions are computed by introducing the source fields and enforcing the boundary conditions that the total fields must verify at the interfaces between media. In order to tackle the case of a layered conductor presenting rough interfaces, the generalized SOVP formalism is coupled with a recursive algorithm called the S-matrices. On the other hand, the application case of a complex shape specimen with depth-varying physical properties is treated by coupling the modal method we developed with a high-order numerical method: pseudo-spectral method. The validation of these codes is carried out numerically by comparison with a commercial finite element software in some particular configurations. Besides, the homogeneous case is also validated by comparison with experimental data.

Dans ce travail de thèse, il s'agit essentiellement de déterminer les propriétés mécaniques et physiques linéaires effectives des composites dans lesquels l'interface entre deux phases n'est pas lisse mais très rugueuse. Une approche efficace pour surmonter les difficultés provenant de la présence de rugosités d'interface consiste d'abord à homogénéiser une zone d'interface rugueuse comme une interphase équivalente par une analyse asymptotique et ensuite à appliquer des schémas micromécaniques pour estimer les propriétés effectives en tenant en compte de la présence de l'interphase équivalente. L'objectif principal de ce travail est de développer cette approche dans un cadre général où la surface autour de laquelle l'interface oscille périodiquement et rapidement peut être courbée et les phénomènes physiques concernés peuvent être couplés. Pour atteindre cet objectif, la conduction thermique est premièrement étudiée comme un prototype des phénomènes de transport non couplés pour élaborer dans un cadre simple les éléments essentiels de notre approche. Cette étude, préliminaire mais très utile au vu de l'importance des phénomènes de transport, montre que des résultats généraux et compacts peuvent s'obtenir quand l'interface est ondulée dans une seule direction et que des méthodes numériques sont en général nécessaires dans le cas où l'interface oscille suivant deux directions. L'approche développée et les résultats obtenus pour la conduction thermique sont étendus d'abord à l'élasticité linéaire et ensuite aux phénomènes physiques linéaires couplés tels que la thermoélectricité et la piézoélectricité. Dans ces cas plus complexes, des résultats généraux sont obtenus pour les composites stratifiés avec les interfaces ondulées dans une seule direction et des méthodes numériques sont élaborées pour les composites dans lesquels les interfaces oscillent suivant deux directions / This work is essentially concerned with determining the effective linear mechanical and physical properties of composites in which the interface between two phases is not smooth but very rough. An efficient approach to overcome the difficulties arising from the presence of interfacial roughness is first to homogenize a rough interface zone as an equivalent interphase by an asymptotic analysis and then to apply micromechanical schemes to estimation of the effective properties while accounting for the equivalent interphase. The present work aims mainly to develop this approach in a general situation where the surface around which an interface oscillates periodically and quickly can be curved and the physical phenomena involved can be coupled. To achieve this goal, thermal conduction is first studied as a prototype of transport phenomena so as to elaborate key elements of our approach in a simple situation. This study,even preliminary but very useful in view of the importance of transport phenomena, shows that general and compact results can be obtained when the interface is corrugated in only one direction and that numerical methods are generally required when an interface is curved along two directions. The approach developed and the results obtained for thermal conduction are extended first to linear elasticity and then to linear coupled physical phenomena such as thermoelectricity and piezoelectricity. In these more complex cases, general results are obtained for composite laminates with interfaces oscillating in only one direction, and numerical methods are elaborated for composites in which the interfaces oscillate in two directions

Ce manuscrit de thèse est consacré à l'analyse mathématique et numérique des systèmes de l'hydrodynamique compressible et de la photonique. Plus particulièrement, on étudie la construction de méthodes numériques dans des systèmes de coordonnées 2D polaires (une coordonnée radiale et une coordonnée d'angle) et où les équations sont discrétisées sur des maillages polaires structurés. Ces méthodes sont adaptées à la simulation d'écoulements à symétrie polaire puisqu'elles préservent ces symétries par construction. En revanche, ces systèmes de coordonnées introduisent des singularités géométriques et des termes sources géométriques qui doivent être traités avec attention. Dans la première partie de ce document, consacrée à l'hydrodynamique, on propose une classe de schémas numériques d'ordre arbitrairement élevé pour la résolution des équations d'Euler. Ces schémas utilisent des méthodes de résolution à directions alternées où chaque sous-système est résolu par un solveur Lagrange+projection. On étudie l'influence de la singularité géométrique r=0 des systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques sur la précision du solveur 2D développé. La deuxième partie de ce manuscrit est consacrée à l'étude des équations de la photonique. Ces équations font intervenir un grand nombre de dimensions mathématiques et un terme source pouvant être raide. La principale difficulté ici est de capturer le bon régime asymptotique sur maillage grossier. On construit d'abord une classe de modèles où l'intensité radiative est projetée sur une base d'harmoniques sphériques afin de réduire le nombre de dimensions. Puis on propose un schéma numérique en coordonnées polaires et on prouve que le schéma restitue la bonne limite de diffusion aussi bien dans la direction radiale que dans la direction angulaire. / This thesis deals with the mathematical and numerical analysis of the systems of compressible hydrodynamics and radiative transfer. More precisely, we study the derivation of numerical methods with 2D polar coordinates (one for the radius, one for the angle) where equations are discretized on regular polar grids. On one hand, these methods are well-suited for the simulation of flows with polar symetries since they preserve these symetries by construction. On the other hand, such coordinates systems introduce geometrical singularities as well as geometrical source terms which must be carefully treated. The first part of this document is devoted to the study of hydrodynamics equations, or Euler equations. We propose a new class of arbitrary high-order numerical schemes in both space and time and rely on directional splitting methods for the resolution of 2D equations. Each sub-system is solved using a Lagrange+Remap solver. We study the influence of the r=0 geometrical singularities of the cylindrical and spherical coordinates systems on the precision of the 2D numerical solutions. The second part of this document is devoted to the study of radiative transfer equations. In these equations, the unknowns depend on a large number of variables and a stiff source term is involved. The main difficulty consists in capturing the correct asymptotic behavior on coarse grids. We first construct a class of models where the radiative intensity is projected on a truncated spherical harmonics basis in order to lower the number of mathematical dimensions. Then we propose an Asymptotic Preserving scheme built in polar coordinates and we show that the scheme capture the correct diffusion limit in the radial direction as well as in the polar direction.

This work introduces a new method of hydraulic design of a centrifugal pump impeller. This method is based on a geometrical approach employing curvilinear coordinates that are used to formulate both the axisymmetrical flow model in a meridional shape and the final model of flow in a blade cascade taking into account the full 3D shape of the impeller blade. The solution to this model then directly provides the guidelines for shaping the impeller blade in order to suppress the secondary flows, thus increasing the impeller efficiency, which is demonstrated on a real impeller design case. The partial differential equations describing the flow in the blade cascade are numerically solved piecewise on each particular stream surface, which leads to a significant reduction of computational time.

This thesis outlines an iterative approach for determining the scattered wave for two dimensional multiple acoustic scattering problems using high order local absorbing boundary conditions and second order finite difference. We seek to approximate the total wave as it is scattered off of multiple arbitrarily shaped obstacles. This is done by decomposing the scattered wave into the superposition of single scattered waves. We then repeatedly solve the single scattering system for each obstacle, while updating the boundary conditions based off the incident wave and the scattered wave off the other obstacles. We solve each single scattering by enclosing the obstacle in a circular artificial boundary and generating a curvilinear coordinate system for the computational region between the obstacle and the artificial boundary. We impose an absorbing boundary condition, specifically Karp's Farfield Expansion ABC, on the artificial boundary. We use a finite difference method to discretize the governing equations and to discretize the absorbing boundary conditions. This will create a linear system whose solution will approximate the single scattered wave. The forcing vector of the linear system is determined from the total influence on the obstacle boundary from the incident wave and the scattered waves from the other obstacles. In each iteration, we solve the singular acoustic scattering problem for each obstacle by using the scattered wave approximations from the other obstacles obtained from the previous iteration. The iterations continue until the solutions converge. This iterative method scales well to multiple scattering configurations with many obstacles, and achieves errors on the order of 1E-5 in less than five minutes. This is due to using LU factorization to solve the linear systems, paired with parallelization. I will include numerical results which demonstrate the accuracy and advantages of this iterative technique.