This thesis focuses on computationally efficient methods for flow in fractured porous media. Two approaches are presented where the interface is embedded on the underlying finite element mesh. The methods allow for representation of the interface geometry from the underlying discretization and with discontinuities across the interface. However, embedding interfaces raises stability concerns in which we alleviate using stabilization terms. The aim of this thesis is to present the basics of the two main approaches and to provide brief details on the mathematics involved. / Denna avhandling fokuserar på effektiva beräkningsmetoder för flöde i porösa media med sprickor. Två tillvägagångssätt presenteras där sprickan tillåts skära det underliggande finita elementnätet. Sprickans inverkan på flödet tas om hand med hjälp av den underliggande diskretiseringen som tillåter diskontinuiteter. Med andra ord kan flöden modelleras med olika egenskaper; på var sida av sprickan, samt längs sprickan. Metoden tar även hand om instabilitet som uppstår dels på grund av godtyckliga skärningar av bakgrundselementen och dels på grund av olika materialegenskaper. Syftet med denna avhandling är att presentera grunderna för dessa metoder och ge grundläggande matematiska förklaringar.

This study investigates the possibility of combining an unfitted finite element method, CutFEM, with neural networks, in an attempt to reduce the computational time on evolving domains. Finite element methods are used to solve partial differential equations by fitting a spatial and temporal discretisation to the momentous domain. CutFEM was proposed to overcome a repeated discretisation of evolving domains by introducing a static background mesh allowed to cut the domain boundary. The drawback is an increased complexity in quadrature of the cut contributions to the element matrices, which quickly becomes time consuming for higher order methods. As machine learning methods have been successful in a variety of areas recently, this study investigates the possibility of replacing the element matrix quadrature with neural network regression. A classification network is also proposed for a quadrature-free method of identification of the cut elements. The study has been performed by implementing the networks in alternative CutFEM algorithms. Different methods of implementation, pre- and post-processing of the data, as well as different optimisation strategies of the training phase have been investigated in comparison to CutFEM benchmarks. The time consumption showed a significant decrease for the modified CutFEM in comparison to the conventional method. The classification was shown to be successful for two elementary domains, yet some difficulties occurred for a non-trivial level set representation. The approximation of cut elements with sufficient domain intersection showed decent results, although elements with minor intersection with the domain contributed with some difficulties and the error tends to propagate towards nearby elements. This was deduced to stem from the nodal contributions furthest from the domain intersection. Therefore, this study proposes a few additions to the current method in the event that the study is extended. These suggestions are based around the introduction or modification of error weights in the neural network training.

I denna studie analyserar vi numeriska metoder som beskriver koncentrationen av ytaktiva ämnen (surfaktanter). Dessa surfaktanter befinner sig i olösliga vätskor som separeras av ett tidsberoende gränssnitt som påverkas av ett givet hastighetsfält. Surfaktanter har stor inverkan på vätskesystem på grund av deras förmåga att sänka ytspänningen mellan två vätskor, exempelvis kan dessa användas för att göra olja mer lösbart i vatten. En vanlig strategi vid implementering av finita elementmetoder (FEM) för att lösa liknande problem är att låta beräkningsnätet anpassas efter den tidsberoende domänen, vilket kräver omdiskretisering i varje tidssteg. Således har så kallade oanpassade metoder, som inte kräver att beräkningsnätet anpassas efter domänen, blivit ett användbart alternativ till standard FEM för komplicerade tidsberoende problem. Oanpassade metoder använder ett kontant bakgrundsnät som täcker beräkningsdomänen i varje tidssteg. I denna studie tillämpar vi skurna finita elementmetoder (CutFEM) på två olika matematiska modeller av surfaktanterna. I den första modellen betraktas endast surfaktantkoncentrationen i bulkgeometrin, där koncentrationen ges av en konvektion-diffusionsekvation. I den andra modellen löses istället två ekvationer som är kopplade till varandra (en i bulkdomänen och en på ytan) genom en icke-linjär kopplingsmodell.

This work entails studying unfitted finite element discretizations for convection-diffusion equations in domains that evolve in time. In particular, these partial differential equations model the evolution of the concentration of soluble surfactants in bulk-interface domains. The work in this thesis docuses on developing numerical methods which conserve the modeled physical quantities. In this work, we propose cut finite element discretizations based on the Discontinuous Galerkin framework which are both locally and globally conservative. Local conservation is achieved on so-called macro elements, and we investigate macro element partitioning of the mesh for both stationary and time-dependent domains. Additionally, we develop globally conservative methods for time-dependent problems. We analyze the proposed methods by studying the convergence of the L2-error with respect to mesh size, condition numbers of the associated linear system matrices, and the conservation error. In numerical experiments for time-dependent problems, we show that the proposed methods have optimal convergence and that the developed macro element stabilization for time-dependent problems leads to increased accuracy while retaining stable condition numbers. Moreover, the measured conservation errors verify the global conservation of the proposed methods. / Detta arbete undersöker diskretiseringar av partiella differentialekvationer i tidsberoende domäner där beräkningsnätet inte behöver anpassas till domänens rörelse. I synnerhet betraktar vi partiella differentalekvationer som modellerar koncentrationen av lösliga ytaktiva ämnen, och skurna finita elementmetoder baserade på den Diskontinuerliga Galerkinmetoden som bevarar de modellerade fysikaliska storheterna. I detta arbete föreslås diskretiseringar som är både lokalt och globalt konservativa. Lokal konservering uppnås i så kallade makroelement, och vi undersöker makroelementpartitionering för både stationära och tidsberoende domäner. Även globalt konservativa metoder utvecklas för tidsberoende problem. De föreslagna metoderna analyseras med hjälp av numeriska exempel. Vi studerar konvergensen av L2-felet med avseende på nätstorlek, konditionstalen för de linjära systemmatriserna samt konserveringsfelet. Metoderna uppvisar optimal konvergens och makroelementstabilisering som utvecklas för tidsberoende problem leder till ökad noggrannhet, samtidigt som konditionstalen förblir stabila. Dessutom veritifierar de uppmättta konserveringsfelen den globala konserveringen hos de föreslagna metoderna.