Rapporten presenterar en fallstudie som genomförts som en del av lärarprogrammet vid Linköpings universitet. Den  nuvarande studien bygger på en tidigare studie om hur lärarstudenter löser problem gällande stickprov. Det övergripande syftet i den nuvarande studien är att undersöka vilka metoder och strategier som elever i den svenska gymnasieskolan använder för att lösa ett liknande problem. Metoden för datainsamling i denna studie var en semistrukturerad observation, där eleverna filmades med en videokamera. Det inspelade materialet analyserades sedan induktivt. Studiens resultat indikerar att problemlösningsprocessen hos elever med en högre förkunskapsnivå inom området  sannolikhetslära och statistik tenderar att vara mer framgångsrik. Dessutom verkar elevernas dispositioner, det vill säga deras attityder, vara en viktig faktor. / This report presents a case study conducted as a part of the teacher programme at Linköping University. The current study bulids upon an earlier study on how student teachers in mathematics solved problems regarding sampling.  The overall aim of the current study is to explore what methods and strategies students in a Swedish upper secondary school choose to solve a similar problem. The method for collecting data for this study was a semi-structured observation, where the students were recorded with a video camera. The recorded material was then analysed inductively. The result of this study indicates that the problem solving process among students with a higher level of previous knowledge in the area of probability and statistics, tends to be more successful. In addition to this, students’ dispositions, i.e. their attitudes, seem so be an important aspect as well.

Detta examensarbete är format efter författarnas egen vilja att skriva om matematikundervisning som återfinns utanför klassrummet. Det är skrivet på institutionen för matematikämnets och naturvetenskapsämnenas didaktik vid Stockholms universitet. Syftet med arbetet är att undersöka huruvida den extramurala matematik kan ges utrymme som komplement till traditionell skolbänksmatematik på gymnasiet. Syftet är även att konstruera uppgifter och övningar åt matematiklärare som lämpar sig för att bedriva extramural matematik. Även denna del riktar sig mot gymnasiet. För att besvara frågeställningen "Vilka möjligheter finns det för den extramurala matematiken att fungera som ett komplement till den traditionella skolbänksmatematiken?" har vi arbetat på flera sätt. En litteraturstudie har utförts för att undersöka hur forskare och andra experter uttalar sig kring matematikundervisningen i och utanför klassrummet. Vidare har vi genom enkätundersökningar försökt lista ut vad elevers åsikter är kring att om möjligt bedriva undervisning utanför klassrummet. Vi har även undersökt lärares inställning och åsikter till huruvida en undervisning utanför klassrummet är möjligt att bedriva. Slutligen har vi konstruerat matematikuppgifter som är avsedda att utföras i en utomhusmiljö. Dessa uppgifter har konstruerats utifrån vår egen fantasi och med kursplanerna i matematik som referensram för uppgifternas syften och mål. Lärarintervjuerna visar att lärare ofta undviker att bedriva extramural matematikundervisning, detta då de finner svårigheter att komma på uppgifter för utomhusbruk, samt den tidsbrist som råder då man ska bedriva undervisning utanför skolan. Från enkätundersökningen och fokusgrupperna konstaterar vi att eleverna önskar mer variation i undervisningen och är öppna för nya vägar till kunskap, exempelvis genom att lösa extramurala matematikproblem i grupp. Litteraturstudien visar vidare, att dagens dåliga matematikkunskaper som elever besitter, beror på exempelvis ointresse och dålig motivation hos eleverna. Lösningen på detta problem är ej självklar och entydig, men en varierad matematikundervisning där miljöombyte och uppgifter av utmanande karaktär kan främja elevens lust till lärande. 3 Vi finner att det finns möjligheter för den extramurala matematiken att fungera som ett komplement till den traditionella skolbänksmatematiken. För att detta ska fungera krävs det att undervisningen fungerar ur såväl ett lärar- som elevperspektiv. Läraren behöver vara engagerad och påhittig, där planering av uppgifternas omfång och svårighet är viktiga komponenter. Läraren behöver vara lyhörd för elevernas tankar och funderingar, och även ha ett stort tålamod. Om undervisningen utanför klassrummet stimulerar elevernas intresse och att de förmår att arbeta i grupp, ser vi att det finns det möjligheter för den extramurala matematiken att ta plats i den svenska gymnasieskolan. Vi finner att det inte finns någon universell undervisningsmall i ämnet matematik, men att en varierad undervisningsmiljö kan bidra positivt till matematikintresset.

Detta examensarbete är format efter författarnas egen vilja att skriva om matematikundervisning som återfinns utanför klassrummet. Det är skrivet på institutionen för matematikämnets och naturvetenskapsämnenas didaktik vid Stockholms universitet. Syftet med arbetet är att undersöka huruvida den extramurala matematik kan ges utrymme som komplement till traditionell skolbänksmatematik på gymnasiet. Syftet är även att konstruera uppgifter och övningar åt matematiklärare som lämpar sig för att bedriva extramural matematik. Även denna del riktar sig mot gymnasiet. För att besvara frågeställningen "Vilka möjligheter finns det för den extramurala matematiken att fungera som ett komplement till den traditionella skolbänksmatematiken?" har vi arbetat på flera sätt. En litteraturstudie har utförts för att undersöka hur forskare och andra experter uttalar sig kring matematikundervisningen i och utanför klassrummet. Vidare har vi genom enkätundersökningar försökt lista ut vad elevers åsikter är kring att om möjligt bedriva undervisning utanför klassrummet. Vi har även undersökt lärares inställning och åsikter till huruvida en undervisning utanför klassrummet är möjligt att bedriva. Slutligen har vi konstruerat matematikuppgifter som är avsedda att utföras i en utomhusmiljö. Dessa uppgifter har konstruerats utifrån vår egen fantasi och med kursplanerna i matematik som referensram för uppgifternas syften och mål. Lärarintervjuerna visar att lärare ofta undviker att bedriva extramural matematikundervisning, detta då de finner svårigheter att komma på uppgifter för utomhusbruk, samt den tidsbrist som råder då man ska bedriva undervisning utanför skolan. Från enkätundersökningen och fokusgrupperna konstaterar vi att eleverna önskar mer variation i undervisningen och är öppna för nya vägar till kunskap, exempelvis genom att lösa extramurala matematikproblem i grupp. Litteraturstudien visar vidare, att dagens dåliga matematikkunskaper som elever besitter, beror på exempelvis ointresse och dålig motivation hos eleverna. Lösningen på detta problem är ej självklar och entydig, men en varierad matematikundervisning där miljöombyte och uppgifter av utmanande karaktär kan främja elevens lust till lärande. 3 Vi finner att det finns möjligheter för den extramurala matematiken att fungera som ett komplement till den traditionella skolbänksmatematiken. För att detta ska fungera krävs det att undervisningen fungerar ur såväl ett lärar- som elevperspektiv. Läraren behöver vara engagerad och påhittig, där planering av uppgifternas omfång och svårighet är viktiga komponenter. Läraren behöver vara lyhörd för elevernas tankar och funderingar, och även ha ett stort tålamod. Om undervisningen utanför klassrummet stimulerar elevernas intresse och att de förmår att arbeta i grupp, ser vi att det finns det möjligheter för den extramurala matematiken att ta plats i den svenska gymnasieskolan. Vi finner att det inte finns någon universell undervisningsmall i ämnet matematik, men att en varierad undervisningsmiljö kan bidra positivt till matematikintresset.

This paper investigates the theoretical meaning of plausibility in mathematics from a teacher’s perspective. The study applies a phenomenographic research approach and uses empirical content analysis. The theory used comes from the writings on plausibility assessment from McIntosh (2008). Furthermore, Karlsson & Kilborn’s (2015) and Kilpatrick, Swafford & Findell’s (2001) writings on mathematical modeling has been applied. The data gathered in this study comes from interviewing 6 teachers. The results show that teachers in the study do not work explicitly but rather work implicitly with assessment in plausibility as a complement to their general teaching of mathematics. The results further show that the teachers have the mathematical knowledge and competence to educate in plausibility but that they lack the theoretical- and didactic knowledge to apply it in their teaching. There is also very little research, if any, in this area which is a concern for the development of teaching plausibility assessment.

Den här litteraturstudien handlar om matematisk modellering med fokus på åldersgruppen 9–13 år. Vårt syfte är att undersöka om matematisk modellering är ett fördelaktigt arbetssätt i matematikundervisningen samt hur lärare kan använda sig av matematisk modellering i undervisningen undersöks. Vetenskapligt granskad litteratur analyseras och sammanställs för att jämföra vad olika forskare lyfter fram om matematisk modellering. Olika tidskriftsartiklar, ett konferensbidrag och en doktorsavhandling har analyserats. Resultatet visar både för- och motargument till matematisk modellering i åldrarna 9–13 år. Jämförelserna av forskningen i vårt resultat visar att argumenten för matematisk modellering väger tyngre och stödjs av flera forskare än vad motargumenten gör. Ett viktigt argument som många forskare lyfter fram är att modellering hjälper eleverna att överföra matematiken till verkligheten, för att lösa vardagliga problem och på så vis få förbättrade kunskaper om matematikens tillämpningar.

Det är allt vanligare inom tredjepartslogistik att kunder hyr en yta för lagring. För den uthyrande parten, i detta fall Delta Terminal, är arean den begränsande faktorn för hur stor yta som kan hyras ut. Idag använ-der sig Delta Terminal av beslutsunderlag i form av lokalernas area och erfarenhet vart gods ska placeras och har inget hjälpmedel för att beräkna vart och hur mycket gods som kan allokeras för att använda så liten yta som möjligt. Studiens syfte har därför varit att ta fram ett faktabaserat hjälpmedel som kan användas som beslutsunderlag. För att uppnå syftet har en matematisk modell utvecklats för att optimera hur gods kan placeras till olika lokaler för att använda så liten area som möjligt och även kunna simulera förändringar. Modellen testades genom att jämföra den maximala godsvolym som lagrades 2012 mot optimeringsmodellens lösning baserat på samma gods- och lokaldata. De vanligaste godstyperna hos Delta terminal var bulk, storsäck och pall och användes i modellen. För dessa så approximerades den förväntade area- och volymåtgång vilket också gav beslutsfattaren en förväntad volymkapacitet för respektive lokal och gods. Resultatet i den optime-rade lösningen visade att ett av godsen skulle kunna flyttas till en annan lokal vilket skulle innebära att ungefär 25 procent mindre area används jämfört med den area som godsets placering upptar idag. Dessutom innebar den optimerade lösningen att tre lokaler frigjordes. Resultatet från simulering av volymkapaciteten för respektive gods och lokal kan hjälpa till vid en beslutssituation om en viss godsvolym får plats i lokalen eller inte och kan därmed hjälpa till att anpassa lokalens kapaci-tet mot godsets volym. Modellen fungerar teoretiskt och skulle kunna implementeras som ett användbart verktyg för beslutsfattaren i frågor som rör optimering eller simulering av ytorna. Vid en implementering gäller det emellertid att modellen valideras och jämförs mot verkliga utfall. / An increasingly common part in third party logistics is that customers rent an area for storage. For the party that leases out the area, in this case Delta Terminal, the area is the limiting factor for the amount of how much can be let out to lease. Today Delta Terminal uses decision sup-port in the form of premises area and experience where goods should be placed and have no means to calculate where and how much goods that can be allocated to use as small space as possible. The purpose of this study was therefore to develop a data based tool that can be used as support in the decision process. To achieve the objective a mathematical model was developed to optimize how freight can be placed at different locations to use as small an area as possible and also be able to simulate changes. The model was tested by comparing the maximum amount of cargo during 2012 against optimization model solution based on the same freight and local data. The most common goods handled at Delta Terminal were bulk, big bags and EUR-pallets and were used in the optimization model. For those goods an approximation of the expected area and volume was made that gave the decision maker an expected volume capacity for each local and goods. The result showed with the optimized solution that one of the goods could be moved to another storage place which would release approximate 25 percent reduction in area compared to where the goods are placed today and also three of the local spaces were released. The result from simulation of the volume capacity of each goods and local can help in a decision situation if a given volume of goods will fit in the local space and thus help to adapt the local capacity against the goods volume. Theoretically the model works and could be implemented as a useful tool for decision-makers on issues related to optimization or simulation of surfaces. However, when implementing the optimization model it is important to validate and compare the model’s result against actual outcomes.

Denna studie syftar till att undersöka vilka möjligheter som gymnasium elever får attträna modelleringsförmågan genom läroboksuppgifter. Studien går inte in på ommodellering är möjlig att använda i uppgifterna utan undersöker i stället hur ofta studenten bliruppmanad att använda det. För att göra detta så har ett analytiskt schema tagits fram ochett urval av tre läroboksserier gjorts. Resultaten indikerar att det finns en stor skillnad ihur ofta olika modelleringsdelprocesser ges möjlighet att tränas. Det visar sig att detskiljer sig i hur många övningstillfällen som ges mellan olika svårighetsnivåer: närkomplexiteten i uppgiften ökar så minskar möjligheten. Det visar sig även att det skiljersig mellan olika matematiska områden från att inte alls ge möjlighet till att ha stor del avmöjligheterna. Till sist så visar det sig att modellering sällan uttrycks explicit iuppgifterna. / This study aims to investigate what opportunities textbook exercises in upper secondaryschool offer students to practice their modeling competency. This study does not addressif the student is able to use modeling in a specific task but rather how often the student isprompted to do so. To answer this, an analytical framework is developed and used on asample of three textbook series. The results indicate that there is a large difference in howoften different parts of the modeling process get prompted to train. Further, thefrequency of the opportunities that are given differs between difficulties of the tasks.When the complexity is increasing the number of opportunities decreases. The result alsoshow that the opportunity given differs between the mathematical areas: from noopportunity at all to a large part of the opportunities. Finally, the results show thatmodeling is seldom explicitly mentioned in the tasks.

Genomförandet av en sårbarhetsanalys syftar till att identifiera svaga delar av ett system för att på effektivaste sätt förebygga och åtgärda eventuella brister i systemet. Ett sätt att identifiera de svaga delarna är att simulera olika scenarier genom att använda en matematisk modell. I den här studien byggs en matematisk modell upp med hjälp av optimeringslära, en gren inom matematiken som används för att hitta ett optimalt värde till en funktion under vissa begränsande villkor. Optimeringslära lämpar sig väl for att studera flöden, så som till exempel Stockholms kollektivtrafik. Stockholms kollektivtrafik kan ses som ett flöde av resenärer som så snabbt som möjligt vill ta sig från en punkt till en annan under begränsade villkor i form av utrymme, tid och förbindelser. Stockholms kollektivtrafik förenklas till ett system bestående av 34 noder, sammanlänkade genom SL:s spårtrafik Och stombusslinjer. Normalt trafikflöde simuleras och används som referensfall För fyra olika scenarier med begränsningar i trafiken. De fyra scenarierna är: • Kapacitetsbegränsningar på sträckan mellan Slussen och T-Centralen • Kapacitetsbegränsningar på sträckan mellan Skanstull och Gullmarsplan • Kapacitetsbegränsningar på sträckan mellan Fridhemsplan och Alvik • Inga fungerande tvärförbindelser Resultatet från simuleringarna visar att Stockholms kollektivtrafik generellt har bra resiliens men att systemet är väldigt beroende av T-Centralen och Stockholm Central som en stor del av resenärerna passerar. Efter känslighetsanalys dras slutsatsen att den matematiska modellen genererar trovärdiga resultat och optimeringslära visar sig vara ett bra verktyg vid sårbarhetsanalys av flöden. / The purpose of performing a vulnerability analysis is to identify security deficiencies in a system and to reduce the risk of harmful events in an efficient manner. One way to identify vulnerabilities is to simulate different scenarios by using a mathematical model. In this study an optimization model is used, which means that an optimal value is found for a function under some certain limiting constraints. Optimization is a good choice when dealing with flow problems, such as the public transportation system in Stockholm. The public transportation system in Stockholm can be viewed as a flow of travelers that want to move as quickly as possible from one place to another while constrained by limited capacity, time and connections. The public transportation system is simplified into 34 nodes, connected through the major routes, in form of commuter trains, subways, trams and buses. Normal traffic flow is simulated and used as a reference for  our scenarios with certain limitations in the traffic flow. The four different scenarios are: • Capacity limitations between Slussen and T-Centralen • Capacity limitations between Skanstull and Gullmarsplan • Capacity limitations between Fridhemsplan and Alvik • Non working transverse route. The simulation results prove that the Stockholm public transportation system has good resilience. However, the system is very dependent on the specific nodes T-Centralen and Stockholm Central, through which an extensive number of travelers pass by each day. A sensitivity analysis is performed on the result to ensure that the mathematical model generates credible results, and optimization theory proves to be a good tool for investigating the vulnerability of flows. / <p>www.ima.kth.se</p>

Matematisk modellering är en av de förmågor eleverna ska ges möjlighet att utveckla på gymnasiet. Det är dock inte helt självklart bland lärare vad modellering innebär och frågan är om de undervisningsaktiviteter som används i relation till undervisning av modellering idag verkligen är ändamålsenliga. Denna studie undersöker elevernas potentiella utveckling i att modellera inom en lektionsserie, en så kallad modelleringsmodul, riktad mot kursen Matematik 5 på gymnasiet. Elevernas potentiella utveckling studeras utifrån deras involvering i de olika delprocesser som anses utgöra modelleringsprocessen i sin helhet. Resultatet indikerar att modelleringsmodulen tycks involvera eleverna i samtliga dessa delprocesser. Samtidigt visar resultatet att detta inte är en självklarhet och att vissa delprocesser tycks vara svårare att involvera eleverna i än andra. / Mathematical modelling is one of the competences students will have the possibility to develop in upper secondary school. However, it is not entirely obvious among teachers what modelling really means and it is questionable if the learning activities that are being used in relation to modelling education today really are effective. This study focuses on the students’ potential development within a series of lessons, a so-called modelling module, adapted for the course Mathematics 5 in upper secondary school. The students’ potential development is studied based on their involvement in the various sub-processes that are considered to be the modelling process as a hole. The result indicates that the modelling module involves students in all of these sub-processes. At the same time, the results show this is not self-evident and some of the subprocesses seem to be harder to involve the students in than others.

This study aims at investigating what opportunities mathematics textbooks used in Swedish and German upper secondary schools offer to practice modeling within the topic of mathematical analysis. The main interest of the study lies in how the textbook content relates to the national curriculum goals regarding modeling, but the Swedish and German textbooks are also compared to each other. In order to achieve this objective, two textbooks, one from each country, were analyzed with respect to the amount and to the quality of available modeling tasks. In the content analysis, theory on modeling competence and realistic tasks were used. The results indicate that the two analyzed textbooks contain modeling tasks to approximately same extent. Both textbooks support exclusively intra-mathematical aspects of modeling, which is in line with the findings of previous studies. While the scope of mathematical modeling in the textbooks does not correspond to the general curriculum goals of realistic modeling, it covers partly (Sweden) or completely (Germany) the curriculum requirements for at least the lowest proficiency level of the modeling competence. / Denna studie syftar till att undersöka vilka möjligheter matematikläroböcker som används i den svenska och den tyska gymnasieskolan erbjuder för att öva modellering inom matematisk analys. Studiens intresse ligger framför allt i hur läroböckernas innehåll relaterar till de nationella styrdokumentens lärandemål om modellering, men dessutom jämförs de svenska och tyska läroböckerna även med varandra. För att uppnå detta syfte analyserades två läroböcker, en från vardera land, med hänsyn till mängden och kvaliteten av befintliga modelleringsuppgifter. I innehållsanalysen användes teori om modelleringsförmåga och realistiska uppgifter. Resultaten indikerar att de två läroböcker som analyserats innehåller modelleringsuppgifter i ungefär samma utsträckning. Båda läroböckerna stödjer endast inommatematiska aspekter av modellering, vilket är i linje med tidigare forskningsrön. Även om omfattningen av matematisk modellering i läroböckerna inte överensstämmer med läroplansmål om realistisk modellering, motsvarar de befintliga modelleringsuppgifter delvis (Sverige) eller helt (Tyskland) åtminstone de lägsta kunskapskraven som styrdokumenten har angående modelleringsförmågan.