Cette thèse porte sur l'étude de la topologie des fibres d'un polynôme complexe. Dans les préliminaires, on présente les différentes techniques qui seront utilisées comme les champs de vecteurs stratifiés et les conditions de contrôles sur ces champs, les variétés toriques. On présente aussi quelques résultats préparatoires sur les propriétés de la compactification torique des fibres d'un polynôme.<br /><br />Le chapitre 2 donne les principaux résultats de cette thèse dans le cas d'une compactification torique par poids de l'espace affine C^n. On démontre la trivialité affine d'un polynôme à l'aide de l'hypothèse de modération sur le gradient par poids de Malgrange-Paunescu : |grad_Wf(z)|_W est minoré. On démontre aussi grâce à la même hypothèse de modération sur le gradient la propriété locale suivante : le champ de vecteurs de Kuo-Paunescu après modification torique donne un champ de vecteurs controlé par rapport au diviseur à l'infini. Cette dernière condition nous donne la condition la plus importante : la condition non-caractéristique. On en déduit la trivialité locale en un point du diviseur.<br /><br />Le chapitre 3 est basé sur les travaux de Hamm, Lê et Mebkhout. Il décrit la correspondance entre la condition non-caractéristique obtenue au chapitre 2 et la notion de cycles évanescents ainsi que celle de trivialité locale.<br /><br />Le chapitre 4 présente la généralisation des théorèmes du chapitre 2 pour une compactification torique quelconque de l'espace affine C^n.

La géométrie symplectique et la géométrie complexe sont intimement liées, en particulier par les techniques asymptotiquement holomorphes de Donaldson et Auroux d'une part et par les travaux d’Eliashberget et Cieliebak sur la pseudoconvexité d'autre part. Les travaux présentés dans cette thèse sont motivés par ces deux liens. On donne d’abord la caractérisation symplectique suivante des constantes de Seshadri. Dans une variété complexe, la constante de Seshadri d’une classe de Kähler entière en un point est la borne supérieure des capacités de boules standard admettant, pour une certaine forme de Kähler dans cette classe, un plongement holomorphe et iso-Kähler de codimension 0 centré en ce point. Ce critère était connu de Eckl en 2014 ; on en donne une preuve différente. La deuxième partie est motivée par la question suivante de Donaldson : <<Toute sphère lagrangienne d'une variété projective complexe est-elle un cycle évanescent d'une déformation complexe vers une variété à singularité conique ?>> D'une part, on présente toute sous-variété lagrangienne close d’une variété symplectique/kählérienne close dont les périodes relatives sont entières comme lieu des minima d’une exhaustion <<convexe>> définie sur le complémentaire d'une section hyperplane symplectique/complexe. Dans le cadre kählérien, <<convexe>> signifie strictement plurisousharmonique tandis que dans le cadre symplectique, cela signifie de Lyapounov pour un champ de Liouville. D'autre part, on montre que toute sphère lagrangienne d'un domaine de Stein qui est le lieu des minima d’une fonction <<convexe>> est un cycle évanescent d'une déformation complexe sur le disque vers un domaine à singularité conique. / Symplectic geometry and complex geometry are closely related, in particular by Donaldson and Auroux’s asymptotically holomorphic techniques and by Eliashberg and Cieliebak’s work on pseudoconvexity. The work presented in this thesis is motivated by these two connections. We first give the following symplectic characterisation of Seshadri constants. In a complex manifold, the Seshadri constant of an integral Kähler class at a point is the upper bound on the capacities of standard balls admitting, for some Kähler form in this class, a codimension 0 holomorphic and iso-Kähler embedding centered at this point. This criterion was known by Eckl in 2014; we give a different proof of it. The second part is motivated by Donaldon’s following question: ‘Is every Lagrangian sphere of a complex projective manifold a vanishing cycle of a complex deformation to a variety with a conical singularity?’ On the one hand, we present every closed Lagrangian submanifold of a closed symplectic/Kähler manifold whose relative periods are integers as the lowest level set of a ‘convex’ exhaustion defined on the complement of a symplectic/complex hyperplane section. In the Kähler setting ‘complex’ means strictly plurisubharmonic while in the symplectic setting it refers to the existence of a Liouville pseudogradient. On the other hand, we prove that any Lagrangian sphere of a Stein domain which is the lowest level-set of a ‘convex’ function is a vanishing cycle of some complex deformation over the disc to a variety with a conical singularity.

L’objectif de cette thèse est l’étude de la fonction zêta des hauteurs motivique associée à un problème de comptage de courbes sur les compactifications équivariantes d’espaces affines, résolvant au chapitre 6 l’analogue motivique de la conjecture de Manin pour celles-ci. La fonction zêta des hauteurs provenant du problème de comptage considéré est récrite convenablement à l’aide d'une formule de Poisson motivique démontrée au cinquième chapitre, qui généralise celle de Hrushovski-Kazhdan. Chaque terme est alors décomposé sous la forme d'un produit eulérien motivique, dont la définition et les propriétés sont établies au chapitre 3. La convergence de ces produits eulériens doit être comprise pour une topologie des poids que nous introduisons au quatrième chapitre et qui repose d'une part sur la théorie des modules de Hodge de Saito, et d'autre part sur une mesure motivique sur l’anneau de Grothendieck des variétés avec exponentielles, construite dans le chapitre 2 à l’aide de la notion de cycles évanescents motiviques. On en déduit ainsi une description de l'asymptotique d'une proportion positive des coefficients du polynôme de Hodge-Deligne des espaces de modules des courbes sur la compactification équivariante donnée, lorsque le degré tend vers l'infini. / The goal of this thesis is the study of the motivic height zeta function associated to the problem of counting curves on equivariant compactifications of vector groups, solving in chapter 6 the motivic analogue of Manin's conjecture for such varieties.The motivic height zeta function coming from this counting problem is rewritten in a convenient way using a Poisson summation formula proved in chapter 5, and which generalises Hrushovski and Kazhdan's motivic Poisson formula. Each term is then expressed as a motivic Euler product, the definition and properties of the latter being established in chapter 3. The convergence of these Euler products must be understood for a weight topology which we introduce in the fourth chapter and which relies both on Saito's theory of mixed Hodge modules and on a motivic measure on the Grothendieck ring of varieties with exponentials, constructed in chapter 2 using the notion of motivic vanishing cycles. We deduce from this a description of the asymptotic of a positive proportion of the coefficients of the Hodge-Deligne polynomial of the moduli spaces of curves on the given equivariant compactification, when the degree goes to infinity.

Dans cette thèse nous nous intéressons aux singularités d'espaces analytiques complexes définis comme le lieu des zéros d'un morphisme sans pente. Nous étudions dans un premier temps les cycles proches et les cycles évanescents associés à un tel morphisme. Dans un deuxième temps nous cherchons à comprendre la théorie de Hodge des morphismes sans pente.La première partie de cette thèse est consacrée à apporter des compléments au travail de P. Maisonobe sur les morphismes sans pente. Nous commençons par construire un morphisme de comparaison entre cycles proches algébriques (pour les $mathscr{D}$-modules) et cycles proches topologiques (pour les faisceaux pervers). Nous montrons ensuite que ce morphisme est un isomorphisme dans le cas d'un morphisme sans pente. Enfin nous construisons un foncteur cycles évanescents topologiques pour un morphisme sans pente et nous démontrons que ce foncteur et le foncteur cycles proches topologiques de P. Maisonobe se placent dans le diagramme de triangles exacts attendu.Dans la seconde partie de cette thèse nous étudions les morphismes sans pente pour les modules de Hodge mixtes. Nous démontrons dans un premier temps la commutativité des cycles proches et des cycles évanescents itérés appliqués à un module de Hodge mixte dans le cas d'un morphisme sans pente. Dans un deuxième temps nous définissons la notion << strictement sans pente >> pour un module de Hodge mixte et nous démontrons sa stabilité par image directe propre. Nous démontrons comme application la compatibilité de la filtration de Hodge et des filtrations de Kashiwara-Malgrange pour certains modules de Hodge purs supportés sur une hypersurface à singularités quasi-ordinaires. / In this thesis we are interested in singularities of complex varieties defined as the zero locus of a morphism without slope. In a first time we study nearby cycles and vanishing cycles associated to such morphisms. In a second time we want to understand Hodge theory of morphisms without slope.The first part of this thesis is devoted to add some complements to the work of P. Maisonobe on morphisms without slope. We start with the construction of a comparison morphism between algebraic nearby cycles (for $mathscr{D}$-modules) and topological nearby cycles (for perverse sheaves). Then we show that this morphism is an isomorphism in the case of a morphism without slope. Finally we construct a topological vanishing cycles functor for a morphism without slope et we prove that this functor and the topological nearby cycles functor of P. Maisonobe fit into the expected diagram of exact triangles.In the second part of the thesis we study morphisms without slope for mixed Hodge modules. We first show the commutativity of iterated nearby cycles and vanishing cycles applied to a mixed Hodge module in the case of a morphism without slope. Second we define the notion "strictly without slope" for a mixed Hodge module and we show that it is preserved by proper direct image. As an application we prove the compatibility of the Hodge filtration and Kashiwara-Malgrange filtrations for some pure Hodge modules with support an hypersurface with quasi-ordinary singularities.