This thesis consists of three papers, each touching on a different aspect of the theory of rings of differential operators and D-modules. In particular, an aim is to provide and make explicit good examples of D-module directimages, which are all but absent in the existing literature.The first paper makes explicit the fact that B-splines (a particular class of piecewise polynomial functions) are solutions to D-module theoretic direct images of a class of D-modules constructed from polytopes.These modules, and their direct images, inherit all the relevant combinatorial structure from the defining polytopes, and as such are extremely well-behaved.The second paper studies the ring of differential operator on a reduced monomial ring (aka. Stanley-Reisner ring), in arbitrary characteristic.The two-sided ideal structure of the ring of differential operators is described in terms of the associated abstract simplicial complex, and several quite different proofs are given.The third paper computes the monodromy of the period integrals of Laurent polynomials about the singular point at the origin. The monodromy is describable in terms of the Newton polytope of the Laurent polynomial, in particular the combinatorial-algebraic operation of mutation plays an important role. Special attention is given to the class of maximally mutable Laurent polynomials, as these are one side of the conjectured correspondance that classifies Fano manifolds via mirror symmetry. / <p>At the time of the doctoral defense, the following papers were unpublished and had a status as follows: Paper 1: Accepted. Paper 2: Manuscript. Paper 3: Manuscript.</p>

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Nous désignons par D l'anneau des germes à à l'origine d'opérateurs différentiels linéaires à coefficients analytiques. Nous étudions les résolutions libres minimales de D-modules, introduites par M. Granger, T. Oaku et N. Takayama. Plus précisément nous considérons des modules admettant une V - filtration le long d'une hypersurface lisse, et les résolutions minimales sont adaptées à cette filtration. Nous nous intéressons particulièrement aux rangs d'une telle résolution minimale, appelés nombres de Betti, ce sont des invariants du module. En premier lieu, nous donnons des résultats généraux : nous ramenons le calcul des nombres de Betti à une situation d'algèbre commutative et nous définissons les résolutions minimales génériques. Ensuite, nous considérons une singularité d'hypersurface complexe f = 0 et le module N = D x , t Fs introduit par B. Malgrange, dont la restriction le long de t=0 fournit la cohomologie locale algébrique du faisceau des fonctions analytiques à support dans f = 0. Le module N est naturellement muni de la V -filtration le long de t = 0, nous étudions les nombres de Betti correspondants. Ces nombres sont des invariants analytiques pour l'hypersurface f = 0. Nous les calculons pour f une singularité isolée quasi homogène ou un monôme. Lorsque f est à singularité isolée, nous caractérisons la quasi-homogénéité en termes des nombres de Betti.

Fix an algebraic curve X. We study the problem of parametrizing geometric data over X, which is only generically defined. E.g., parametrizing generically defined maps from X to a fixed target scheme Y. There are three methods for constructing functors of points for such moduli problems (all originally due to Drinfeld), and we show that the resulting functors are equivalent in the fppf Grothendieck topology. As an application, we obtain three presentations for the category of D-modules “on” \(B(K)\backslash G (\mathbb{A}) /G (\mathbb{O})\) and combine results about this category coming from the different presentations. / Mathematics

Following the notion of $p$-adic analytic differential operators introduced by Ardakov--Wadsley, we establish a number of properties for coadmissible $\wideparen{\mathcal{D}}$-modules on rigid analytic spaces. Our main result is a $\wideparen{\mathcal{D}}$-module analogue of Kiehl's Proper Mapping Theorem, considering the 'naive' pushforward from $\wideparen{\mathcal{D}}_X$-modules to $f_*\wideparen{\mathcal{D}}_X$-modules for proper morphisms $f: X\to Y$. Under assumptions which can be naturally interpreted as a certain properness condition on the cotangent bundle, we show that any coadmissible $\wideparen{\mathcal{D}}_X$-module has coadmissible higher direct images. This implies among other things a purely geometric justification of the fact that the global sections functor in the rigid analytic Beilinson--Bernstein correspondence preserves coadmissibility, and we are able to extend this result to arbitrary twisted $\wideparen{\mathcal{D}}$-modules on analytified partial flag varieties. Our results rely heavily on the study of completed tensor products for $p$-adic Banach modules, for which we provide several new exactness criteria. We also show that the main results of Ardakov--Wadsley on the algebraic structure of $\wideparen{\mathcal{D}}$ still hold without assuming the existence of a smooth Lie lattice. For instance, we prove that the global sections $\wideparen{\mathcal{D}}_X(X)$ form a Frechet--Stein algebra for any smooth affinoid $X$.

Cette thèse est constituée de deux parties complètement indépendantes.Dans une première partie, nous montrons que la paire de Fourier-Mukai (X,Y) issue de la correspondance double miroir Pfaffienne-Grassmannienne vérifie l'identité ([X]-[Y])L^6=0 dans l'anneau de Grothendieck, où L est la classe de la droite affine. Ce résultat est un raffinement d'un théorème de Borisov par la suppression d'un facteur, qui montre que la classe de la droite affine est un diviseur de zéro dans l'anneau de Grothendieck, et fournit par ailleurs un premier exemple intéressant de variétés D-équivalentes qui sont L-équivalentes. D'autres exemples ont par la suite été explicités par d'autres auteurs.Dans une seconde partie, nous nous intéressons au comportement d'invariants de théorie de Hodge par convolution intermédiaire, à la suite des travaux de Dettweiler et Sabbah. Le principal résultat concerne le comportement des données numériques locales de Hodge cycles proches à l'infini par convolution intermédiaire additive par un module de Kummer. Nous donnons également des formules pour les invariants locaux h^p et globaux delta^p sans faire l'hypothèse de monodromie scalaire à l'infini. De plus, à l'aide d'une relation de Katz reliant les convolutions additives et multiplicatives, nous explicitons le comportement des invariants de Hodge par convolution intermédiaire multiplicative. Enfin, le théorème principal permet de redémontrer un résultat de Fedorov sur les invariants de Hodge d'équations hypergéométriques. / This thesis consists of two independent parts.In a first part, we show that the Fourier-Mukai pair (X,Y) constructed from Pfaffian-Grassmannian double-mirror correspondence verifies the formula ([X]-[Y]) L^6=0 in the Grothendieck ring, where L is the class of affine line. This result is an improvement of a theorem of Borisov by removing a factor, which shows that the class of affine line is a zero divisor in the Grothendieck ring, and gives moreover a first interesting example of D-equivalent varieties which are L-equivalent. Other examples have later been made explicit by other authors.In a second part, we are interested in the behaviour of invariants in Hodge theory by middle convolution, following research of Dettweiler and Sabbah. The main result concerns the behaviour of the nearby cycle local Hodge numerical data in infinity by middle additive convolution by a Kummer module. We also give expressions for local invariant h^p and global delta^p without making the hypothesis of scalar monodromy in infinity. Besides, with a relation due to Katz linking up additive and multiplicative convolutions, we explain the behaviour of Hodge invariants by middle multiplicative convolution. Finally, the main theorem gives a new proof of a result of Fedorov on Hodge invariants of hypergeometric equations.

Dans la théorie des D-modules, on définit les systèmes de Gauss-Manin par l'image directe par un morphisme du faisceau structural. Un résultat essentiel est leur régularité. Dans cette thèse, on s'intéresse à l'irrégularité d'un analogue des systèmes de Gauss-Manin, l'image directe par un polynôme f d'un D-module élémentaire associé à un polynôme g, essentiellement dans le cas à deux variables. On utilisera deux approches que l'on comparera. Cette irrégularité permet de contrôler la croissance non modérée des intégrales d'une forme algébrique relative sur une collection de classes d'homologie dans les fibres de f, localement constante à supports fermés convenablement choisis. Dans une première méthode, nous exprimerons l'irrégularité en c de ces systèmes à l'aide de la courbe discriminante de f et g. On utilisera pour cela les travaux de Lê Dung Trang et C. Weber sur les résolutions à l'infini. En utilisant le théorème de commutation dû à Z. Mebkhout de l'image directe avec le complexe d'irrégularité, on se ramène alors aux calculs de caractéristiques d'Euler de complexes d'irrégularité de D-modules à deux variables dont le lieu singulier est un croisement normal. Un résultat de C. Sabbah permet alors de lier ces caractéristiques d'Euler à celles d'une fibre de Milnor. Pour l'irrégularité à l'infini, il faut ajouter une courbe spéciale qui provient des diviseurs dicritiques pour f et g d'une résolution à l'infini. Dans une deuxième méthode, on se ramènera au cas où f et g sont des projections. On exprimera alors l'irrégularité en fonction des cycles caractéristiques du complexe image directe par (f,g) du faisceau structural.

Dans ce travail, on explique quelques résultats de base en théorie des D-modules arithmétiques de Berthelot. Parmi ces résultats, un résultat important est un théorème de comparaison avec la théorie des D-modules p-adiques introduite par Mebkhout et Narvaez-Maccarro. Ce résultat intervient dans des travaux récents de Caro, pour démontrer les conjectures de Berthelot sur les D-modules arithmétiques holonomes munis d'un Frobenius. Un autre résultat concerne un analogue, dans le cadre arithmétique, du théorème de Beilinson-Bernstein concernant les D-modules.

Texte trad. et remanié de: Master's th.--Tokyo, 1970. / Suppl. au : "Bulletin de la Société mathématique de France", t. 123, fasc. 4. Bibliogr. 71-72. Résumé en français et en anglais.

京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(情報学) / 甲第23324号 / 情博第760号 / 新制||情||130(附属図書館) / 京都大学大学院情報学研究科システム科学専攻 / (主査)教授 大塚 敏之, 教授 石井 信, 教授 太田 快人 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Informatics / Kyoto University / DFAM