Cette thèse comporte deux parties. La première est consacrée à l'étude de quelques problèmes inverses de détection et de localisation d'obstacles ou de sources à l'aide d'un miroir à retournement temporel (MRT), appareil pouvant rétro-propager des ondes sur la source qui les a émises. Nous commençons par la méthode DORT qui permet de focaliser sélectivement des ondes sur des petits obstacles. Nous étudions numériquement en acoustique les résultats mathématiques obtenus par C. Hazard et K. Ramdani et étendons mathématiquement ces résultats au cas de l'électromagnétisme. Puis, nous nous intéressons à la reconstruction d'une source acoustique ponctuelle avec un MRT. Dans un contexte déterministe, nous proposons des simulations numériques attestant du phénomène de super-résolution, c'est-à-dire l'amélioration en moyenne de la qualité de la focalisation dans un milieu hétérogène plutôt qu'homogène. La deuxième partie a pour objet la résolution numérique par équations intégrales du problème de diffraction multiple en acoustique, c'est-à-dire en présence de nombreux obstacles. D'une part, nous montrons que le préconditionneur prenant en compte les effets de la diffraction simple (interaction d'un objet avec lui-même) a la propriété intéressante de rendre toutes les équations intégrales semblables. D'autre part, pour des obstacles circulaires, nous calculons explicitement les coefficients de Fourier des quatre opérateurs intégraux usuels. Ceci nous permet de proposer une méthode de résolution numérique robuste et efficace et, de plus, d'étudier numériquement le spectre de l'opérateur intégral de simple couche en régime basse fréquence dans un milieu dilué et dans un milieu dense. / This thesis is divided into two parts. The first one deals with some inverse problems related to the detection and localization of targets using a Time Reversal Mirror (TRM), which can back-propagate a signal on the source that emitted it. We first study the DORT method, a technique used to focus waves selectively on small scatterers. In the context of acoustic scattering, a numerical investigation of the mathematical results obtained by C. Hazard and K. Ramdani is proposed. These results are then mathematically extended to the electromagnetic case. To conclude this part, we investigate numerically the reconstruction of an acoustic point source with a TRM. By using a deterministic model, we provide numerical examples that illustrate the super-resolution phenomena, that is, the enhancement in average of the quality of focusing in an heterogeneous medium compared to an homogeneous one. The second part is devoted to the numerical solution of acoustic multiple scattering problems using integral equations. Multiple scattering means that the medium contains at least two scatterers. We first study the preconditioner which takes into account the single scattering (self-interaction) effects. Then, we show that all the so-preconditioned integral equations are identical, up to an invertible operator. Afterwards, for circular scatterers, we analytically compute the Fourier coefficients of the four classical boundary integral operators. Thus, we propose on the one hand an efficient and robust numerical method and on the other hand a numerical investigation of the spectrum of the single-layer boundary integral operator in the low frequency regime for a dense medium and a dilute one.

Cette thèse porte sur l'analyse mathématique et la simulation numérique de problèmes liés à la diffraction multiple. Elle est constituée de deux parties. La première partie est consacrée à l'étude de quelques problèmes inverses de détection et de localisation d'obstacles ou de sources à l'aide d'un miroir à retournement temporel (MRT). Ces appareils sont capables de rétro-propager des ondes dans leur milieu d'origine afin de les focaliser sur la source qui les a initialement émises. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la méthode DORT, qui est une technique expérimentale permettant de focaliser sélectivement des ondes sur des petits obstacles a priori inconnus. Dans le cadre de l'acoustique, nous proposons une étude numérique des résultats mathématiques obtenus par C. Hazard et K. Ramdani. Ensuite, nous étendons mathématiquement ces résultats au cas de l'électromagnétisme. Pour clôturer cette première partie, nous présentons une étude numérique d'une expérience de reconstruction d'une source acoustique ponctuelle à l'aide d'un MRT. On s'intéresse ici plus particulièrement au phénomène de super-résolution, c'est-à-dire l'amélioration, en moyenne, de la qualité de la focalisation en milieu hétérogène plutôt qu'en milieu homogène. En se plaçant dans un contexte déterministe, nous résolvons numériquement l'équation de Helmholtz et donnons des exemples de simulations numériques illustrant ce phénomène. La deuxième partie a pour objet la résolution numérique par équations intégrales du problème de diffraction multiple en acoustique. La notion de diffraction multiple signifie ici que le milieu comporte plusieurs obstacles par opposition à la diffraction simple où seul un diffuseur est présent. Lorsque les obstacles sont des disques, nous calculons explicitement les coefficients des quatre opérateurs intégraux usuels dans les bases de Fourier. Ceci nous permet de proposer une méthode de résolution numérique robuste et efficace lorsque les obstacles sont des disques. Cette stratégie de résolution utilise une méthode de stockage compressée de la matrice du système linéaire ainsi qu'un préconditionneur qui prend en compte les effets de la diffraction simple. En outre, ce préconditionnement présente la propriété intéressante de rendre toutes les équations intégrales identiques, à un changement de base près. Nous démontrons ce résultat tout d'abord pour des obstacles circulaires avant de l'étendre à des géométries régulières quelconques. D'autre part, l'obtention des coefficients de l'opérateur intégral de simple couche nous permet d'étudier numériquement le spectre de cet opérateur en régime basse fréquence. Après une étude de la diffraction simple, nous nous sommes intéressés à deux régimes particuliers de diffraction multiple : un milieu dilué où les obstacles sont éloignés et un milieu dense où les obstacles sont très proches les uns des autres.

Dans cette thèse on calcule la fonction de Green des équations de Laplace et Helmholtz en deux et trois dimensions dans un demi-espace avec une condition à la limite d'impédance. Pour les calculs on utilise une transformée de Fourier partielle, le principe d'absorption limite, et quelques fonctions spéciales de la physique mathématique. La fonction de Green est après utilisée pour résoudre numériquement un problème de propagation des ondes dans un demi-espace qui est perturbé de manière compacte, avec impédance, en employant des techniques des équations intégrales et la méthode d'éléments de frontière. La connaissance de son champ lointain permet d'énoncer convenablement la condition de radiation dont on a besoin. Des expressions pour le champ proche et lointain de la solution sont données, dont l'existence et l'unicité sont discutées brièvement. Pour chaque cas un problème benchmark est résolu numériquement. On expose étendument le fond physique et mathématique et on inclut aussi la théorie des problèmes de propagation des ondes dans l'espace plein qui est perturbé de manière compacte, avec impédance. Les techniques mathématiques développées ici sont appliquées ensuite au calcul de résonances dans un port maritime. De la même façon, ils sont appliqués au calcul de la fonction de Green pour l'équation de Laplace dans un demi-plan bidimensionnel avec une condition à la limite de dérivée oblique.