Cette thèse comporte deux parties. La première est consacrée à l'étude de quelques problèmes inverses de détection et de localisation d'obstacles ou de sources à l'aide d'un miroir à retournement temporel (MRT), appareil pouvant rétro-propager des ondes sur la source qui les a émises. Nous commençons par la méthode DORT qui permet de focaliser sélectivement des ondes sur des petits obstacles. Nous étudions numériquement en acoustique les résultats mathématiques obtenus par C. Hazard et K. Ramdani et étendons mathématiquement ces résultats au cas de l'électromagnétisme. Puis, nous nous intéressons à la reconstruction d'une source acoustique ponctuelle avec un MRT. Dans un contexte déterministe, nous proposons des simulations numériques attestant du phénomène de super-résolution, c'est-à-dire l'amélioration en moyenne de la qualité de la focalisation dans un milieu hétérogène plutôt qu'homogène. La deuxième partie a pour objet la résolution numérique par équations intégrales du problème de diffraction multiple en acoustique, c'est-à-dire en présence de nombreux obstacles. D'une part, nous montrons que le préconditionneur prenant en compte les effets de la diffraction simple (interaction d'un objet avec lui-même) a la propriété intéressante de rendre toutes les équations intégrales semblables. D'autre part, pour des obstacles circulaires, nous calculons explicitement les coefficients de Fourier des quatre opérateurs intégraux usuels. Ceci nous permet de proposer une méthode de résolution numérique robuste et efficace et, de plus, d'étudier numériquement le spectre de l'opérateur intégral de simple couche en régime basse fréquence dans un milieu dilué et dans un milieu dense. / This thesis is divided into two parts. The first one deals with some inverse problems related to the detection and localization of targets using a Time Reversal Mirror (TRM), which can back-propagate a signal on the source that emitted it. We first study the DORT method, a technique used to focus waves selectively on small scatterers. In the context of acoustic scattering, a numerical investigation of the mathematical results obtained by C. Hazard and K. Ramdani is proposed. These results are then mathematically extended to the electromagnetic case. To conclude this part, we investigate numerically the reconstruction of an acoustic point source with a TRM. By using a deterministic model, we provide numerical examples that illustrate the super-resolution phenomena, that is, the enhancement in average of the quality of focusing in an heterogeneous medium compared to an homogeneous one. The second part is devoted to the numerical solution of acoustic multiple scattering problems using integral equations. Multiple scattering means that the medium contains at least two scatterers. We first study the preconditioner which takes into account the single scattering (self-interaction) effects. Then, we show that all the so-preconditioned integral equations are identical, up to an invertible operator. Afterwards, for circular scatterers, we analytically compute the Fourier coefficients of the four classical boundary integral operators. Thus, we propose on the one hand an efficient and robust numerical method and on the other hand a numerical investigation of the spectrum of the single-layer boundary integral operator in the low frequency regime for a dense medium and a dilute one.

Dans le premier chapitre, nous commençons par définir certains produits tensoriels et identifions leur dual. Nous donnons ensuite quelques propriétés des classes de Schatten. La fin du chapitre est dédiée à l’étude des espaces de Bochner à valeurs dans l'espace des opérateurs factorisables par un espace de Hilbert. Le deuxième chapitre est consacré aux multiplicateurs de Schur linéaires. Nous caractérisons les multiplicateurs bornés sur B(Lp, Lq) lorsque p est inférieur à q puis appliquons ce résultat pour obtenir de nouvelles relations d'inclusion entre espaces de multiplicateurs. Dans le troisième chapitre, nous caractérisons, au moyen de multiplicateurs de Schur linéaires, les multiplicateurs de Schur bilinéaires continus à valeurs dans l'espace des opérateurs à trace. Dans le quatrième chapitre, nous donnons divers résultats concernant les opérateurs intégraux multiples. En particulier, nous caractérisons les opérateurs intégraux triples à valeurs dans l'espace des opérateurs à trace puis nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu'un opérateur intégral triple définisse une application complètement bornée sur le produit de Haagerup de l'espace des opérateurs compacts. Enfin, le cinquième chapitre est dédié à la résolution des problèmes de Peller. Nous commençons par étudier le lien entre opérateurs intégraux multiples et théorie de la perturbation pour le calcul fonctionnel des opérateurs autoadjoints pour finir par la construction de contre-exemples à ces problèmes. / In the first chapter, we define some tensor products and we identify their dual space. Then, we give some properties of Schatten classes. The end of the chapter is dedicated to the study of Bochner spaces valued in the space of operators that can be factorized by a Hilbert space.The second chapter is dedicated to linear Schur multipliers. We characterize bounded multipliers on B(Lp, Lq) when p is less than q and then apply this result to obtain new inclusion relationships among spaces of multipliers.In the third chapter, we characterize, by means of linear Schur multipliers, continuous bilinear Schur multipliers valued in the space of trace class operators. In the fourth chapter, we give several results concerning multiple operator integrals. In particular, we characterize triple operator integrals mapping valued in trace class operators and then we give a necessary and sufficient condition for a triple operator integral to define a completely bounded map on the Haagerup tensor product of compact operators. Finally, the fifth chapter is dedicated to the resolution of Peller's problems. We first study the connection between multiple operator integrals and perturbation theory for functional calculus of selfadjoint operators and we finish with the construction of counter-examples for those problems.

Nous proposons une approche spectrale permettant d'aborder des problèmes d'interpolation à noyaux dont la résolution numérique n'est pas directement envisageable. Un tel cas de figure se produit en particulier lorsque le nombre de données est infini. Nous considérons dans un premier temps le cadre de l'interpolation optimale dans les sous-espaces hilbertiens. Pour un problème donné, un opérateur intégral est défini à partir du noyau sous-jacent et d'une paramétrisation de l'ensemble des données basée sur un espace mesuré. La décomposition spectrale de l'opérateur est utilisée afin d'obtenir une formule de représentation pour l'interpolateur optimal et son approximation est alors rendu possible par troncature du spectre. Le choix de la mesure induit une fonction d'importance sur l'ensemble des données qui se traduit, en cas d'approximation, par une plus ou moins grande précision dans le rendu des données. Nous montrons à titre d'exemple comment cette approche peut être utilisée afin de rendre compte de contraintes de type "conditions aux limites" dans les modèles d'interpolation à noyaux. Le problème du conditionnement des processus gaussiens est également étudié dans ce contexte. Nous abordons enfin dans la dernière partie de notre manuscrit la notion de noyaux conditionnellement positifs. Nous proposons la définition générale de noyaux symétriques conditionnellement positifs relatifs à une espace de référence donné et développons la théorie des sous-espaces semi-hilbertiens leur étant associés. Nous étudions finalement la théorie de l'interpolation optimale dans cette classe d'espaces.

La première partie de la thèse est consacrée au problème de l'inversion d'opérateurs dynamiques de convolution formulé en termes de symboles diffusifs. Après avoir introduit un cadre algébrique adapté, on établit plusieurs résultats garantissant la résolubilité concrète du problème de l'inversion opératorielle, en fait mal posé au sens de Hadamard, mais régularisable. La continuité de l'opération d'inversion est en particulier obtenue pour un mode de convergence convenablement affaibli. Diverses méthodes d'inversion numérique sont ensuite proposées et testées sur quelques exemples. Dans la seconde partie, divers problèmes dynamiques sont abordés de façon originale au moyen des outils développés dans la première partie. Plus particulièrement, plusieurs techniques d'identification de modèles de Volterra basées sur la paramétrisation de l'opérateur dynamique via son symbole diffusif, sont proposées et étudiées sur la base d'exemples numériques non triviaux.

Nous proposons une approche spectrale permettant d'aborder des problèmes d'interpolation à noyaux dont la résolution numérique n'est pas directement envisageable. Un tel cas de figure se produit en particulier lorsque le nombre de données est infini. Nous considérons dans un premier temps le cadre de l'interpolation optimale dans les sous-espaces hilbertiens. Pour un problème donné, un opérateur intégral est défini à partir du noyau sous-jacent et d'une paramétrisation de l'ensemble des données basée sur un espace mesuré. La décomposition spectrale de l'opérateur est utilisée afin d'obtenir une formule de représentation pour l'interpolateur optimal et son approximation est alors rendu possible par troncature du spectre. Le choix de la mesure induit une fonction d'importance sur l'ensemble des données qui se traduit, en cas d'approximation, par une plus ou moins grande précision dans le rendu des données. Nous montrons à titre d'exemple comment cette approche peut être utilisée afin de rendre compte de contraintes de type "conditions aux limites" dans les modèles d'interpolation à noyaux. Le problème du conditionnement des processus gaussiens est également étudié dans ce contexte. Nous abordons enfin dans la dernière partie de notre manuscrit la notion de noyaux conditionnellement positifs. Nous proposons la définition générale de noyaux symétriques conditionnellement positifs relatifs à une espace de référence donné et développons la théorie des sous-espaces semi-hilbertiens leur étant associés. Nous étudions finalement la théorie de l'interpolation optimale dans cette classe d'espaces.

Nous proposons une approche spectrale permettant d'aborder des problèmes d'interpolation à noyaux dont la résolution numérique n'est pas directement envisageable. Un tel cas de figure se produit en particulier lorsque le nombre de données est infini. Nous considérons dans un premier temps le cadre de l'interpolation optimale dans les sous-espaces hilbertiens. Pour un problème donné, un opérateur intégral est défini à partir du noyau sous-jacent et d'une paramétrisation de l'ensemble des données basée sur un espace mesuré. La décomposition spectrale de l'opérateur est utilisée afin d'obtenir une formule de représentation pour l'interpolateur optimal et son approximation est alors rendu possible par troncature du spectre. Le choix de la mesure induit une fonction d'importance sur l'ensemble des données qui se traduit, en cas d'approximation, par une plus ou moins grande précision dans le rendu des données. Nous montrons à titre d'exemple comment cette approche peut être utilisée afin de rendre compte de contraintes de type "conditions aux limites" dans les modèles d'interpolation à noyaux. Le problème du conditionnement des processus gaussiens est également étudié dans ce contexte. Nous abordons enfin dans la dernière partie de notre manuscrit la notion de noyaux conditionnellement positifs. Nous proposons la définition générale de noyaux symétriques conditionnellement positifs relatifs à une espace de référence donné et développons la théorie des sous-espaces semi-hilbertiens leur étant associés. Nous étudions finalement la théorie de l'interpolation optimale dans cette classe d'espaces. / We propose a spectral approach for the resolution of kernel-based interpolation problems of which numerical solution can not be directly computed. Such a situation occurs in particular when the number of data is infinite. We first consider optimal interpolation in Hilbert subspaces. For a given problem, an integral operator is defined from the underlying kernel and a parameterization of the data set based on a measurable space. The spectral decomposition of the operator is used in order to obtain a representation formula for the optimal interpolator and spectral truncation allows its approximation. The choice of the measure on the parameters space introduces a hierarchy onto the data set which allows a tunable precision of the approximation. As an example, we show how this methodology can be used in order to enforce boundary conditions in kernel-based interpolation models. The Gaussian processes conditioning problem is also studied in this context. The last part of this thesis is devoted to the notion of conditionally positive kernels. We propose a general definition of symmetric conditionally positive kernels relative to a given space and exposed the associated theory of semi-Hilbert subspaces. We finally study the optimal interpolation problem in such spaces.

Le problème de restauration d'images dégradées par des flous variables connaît un attrait croissant et touche plusieurs domaines tels que l'astronomie, la vision par ordinateur et la microscopie à feuille de lumière où les images sont de taille un milliard de pixels. Les flous variables peuvent être modélisés par des opérateurs intégraux qui associent à une image nette u, une image floue Hu. Une fois discrétisé pour être appliqué sur des images de N pixels, l'opérateur H peut être vu comme une matrice de taille N x N. Pour les applications visées, la matrice est stockée en mémoire avec un exaoctet. On voit apparaître ici les difficultés liées à ce problème de restauration des images qui sont i) le stockage de ce grand volume de données, ii) les coûts de calculs prohibitifs des produits matrice-vecteur. Ce problème souffre du fléau de la dimension. D'autre part, dans beaucoup d'applications, l'opérateur de flou n'est pas ou que partialement connu. Il y a donc deux problèmes complémentaires mais étroitement liés qui sont l'approximation et l'estimation des opérateurs de flou. Cette thèse a consisté à développer des nouveaux modèles et méthodes numériques permettant de traiter ces problèmes. / The restoration of images degraded by spatially varying blurs is a problem of increasing importance. It is encountered in many applications such as astronomy, computer vision and fluorescence microscopy where images can be of size one billion pixels. Variable blurs can be modelled by linear integral operators H that map a sharp image u to its blurred version Hu. After discretization of the image on a grid of N pixels, H can be viewed as a matrix of size N x N. For targeted applications, matrices is stored with using exabytes on the memory. This simple observation illustrates the difficulties associated to this problem: i) the storage of a huge amount of data, ii) the prohibitive computation costs of matrix-vector products. This problems suffers from the challenging curse of dimensionality. In addition, in many applications, the operator is usually unknown or only partially known. There are therefore two different problems, the approximation and the estimation of blurring operators. They are intricate and have to be addressed with a global overview. Most of the work of this thesis is dedicated to the development of new models and computational methods to address those issues.