Une interface est une zone de l'espace qui sépare deux régions possédant des propriétés physiques différentes. La plupart des interfaces de la nature résultent d'un processus de croissance, mêlant une composante aléatoire et une dynamique déterministe régie par les symétries du problème. Le résultat du processus de croissance est un objet présentant des corrélations à longue portée. Dans cette thèse, nous nous proposons d'étudier la statistique d'extrême de différents types d'interfaces. Une première motivation est de raffiner la compréhension géométrique de tels objets, via leur maximum. Une seconde motivation s'inscrit dans la démarche plus générale de la statistique d'extrême de variables aléatoires fortement corrélées. A l'aide de méthodes analytiques d'intégrales de chemin nous analysons la distribution du maximum d'interfaces à l'équilibre, dont l'énergie es t purement élastique à courte portée. Nous attaquons ensuite le problème d'interfaces élastiques en milieu désordonné, principalement à l'aide de simulations numériques. Enfin nous étudierons une interface hors-équilibre dans son régime de croissance. L'équivalence de ce type d'interface avec le polymère dirigé en milieu aléatoire, un des paradigmes de la physique statistique des systèmes désordonnés, donne une portée étendue aux résultats concernant la statistique du maximum de l'interface. Nous exposerons les résultats que nous avons obtenus sur un modèle de mouvements browniens qui ne se croisent pas, tout en explicitant le lien entre ce modèle, l'interface en croissance et le polymère dirigé. / An interface is an area of space that separates two regions having different physical properties. Most interfaces in nature are the result of a growth process, mixing a random behavior and a deterministic dynamic derived from the symmetries of the problem. This growth process gives an object with extended correlations. In this thesis, we focus on the study of the extremum of different kinds of interfaces. A first motivation is to refine the geometric properties of such objects, looking at their maximum. A second motivation is to explore the extreme value statistics of strongly correlated random variables. Using path integral techniques we analyse the probability distribution of the maximum of equilibrium interfaces, possessing short range elastic energy. We then extend this to elastic interfaces in random media, with essentially numerical simulations. Finally we study a particular type of out-of-equilibrium interface, in its growing regime. Such interface is equivalent to the directed polymer in random media, a paradigm of the statistical mechanics of disordered systems. This equivalence reinforces the interest in the extreme value statistics of the interface. We will show the exact results we obtained for a non-intersecting Brownian motion model, explaining precisely the link with the growing interface and the directed polymer.

Cette thèse présente plusieurs aspects de la croissance stochastique des interfaces, par lebiais de son modèle le plus étudié, l'équation de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ). Bien qued'expression très simple, cette équation recèle une grande richesse phénoménologiqueet est l'objet d'une recherche intensive depuis des dizaines d'années. Cela a conduit àl'émergence d'une nouvelle classe d'universalité, contenant des modèles de croissanceparmi les plus courants, tels que le Eden model ou encore le Polynuclear Growth Model.L'équation KPZ est également reliée à des problèmes d'optimisation en présence dedésordre (le Polymère Dirigé), ou encore à la turbulence des uides (l'équation de Burger), renforçant son intérêt. Cependant, les limites de cette classe d'universalitésont encore mal comprises. L'objet de cette thèse est, après avoir présenté les progrèsles plus récents dans le domaine, de tester les limites de cette classe d'universalité. Lathèse s'articule en quatre parties :i) Dans un premier temps, nous présentons des outils théoriques qui permettent decaractériser finement l'évolution de l'interface. Ces outils montrent une grande flexibilité, que nous illustrons en considérant le cas d'une géométrie confinée (une interfacecroissant le long d'une paroi).ii) Nous nous penchons ensuite sur l'influence du désordre, et plus particulièrementl'importance des évènements extrêmes dans la mécanique de croissance. Les largesfluctuations du désordre déforment l'interface et conduisent à une modification notabledes exposants de scaling. Nous portons une attention particulière aux conséquencesd'un tel désordre sur les stratégies d'optimisation en milieu désordonné.iii) La présence de corrélations dans le désordre est d'un intérêt expérimentalimmédiat. Bien qu'elles ne modifient pas la classe d'universalité, elles influent grandement sur la vitesse de croissance moyenne de l'interface. Cette partie est dédiée àl'étude de cette vitesse moyenne, souvent négligée car délicate à définir, et à l'existenced'un optimum de croissance intimement lié à la compétition entre exploration et exploitation.iv) Enfin, nous considérons un exemple expérimental de croissance stochastique (quin'appartient toutefois pas à la classe KPZ) et développons un formalisme phénoménologiquepour modéliser la propagation d'une interface chimique dans un milieu poreux désordonné.Tout au long du manuscrit, les conséquences des phénomènes observées dans desdomaines variés, tels que les stratégies d'optimisation, la dynamique des populations,la turbulence ou la finance, sont détaillées. / This Thesis presents several aspects of the stochastic growth, through its most paradig-matic model, the Kardar-Parisi-Zhang equation (KPZ). Albeit very simple, this equa-tion shows a rich behaviour and has been extensively studied for decades. The existenceof a new universality class is now well established, containing numerous growth modelslike the Eden model or the Polynuclear Growth Model. The KPZ equation is closelyrelated to optimisation problems (the Directed Polymer) or turbulence of uids (theBurgers equation), a feature that underlines its importance. Nonetheless, the bound-aries of this universality class are still vague. The focus of this Thesis is to probe thoselimits through various modifications of the models. It is divided in four chapters:i) First, we present theoretical tools, borrowed from integrable systems, that allowto characterize in great details the evolution of the interface. Those tools exhibitconsiderable exibility due to the large corpus of work on integrable systems, and weillustrate it by tackling the case of confined geometry (growth close to a hard wall).ii) We investigate the inuence of the disorder distribution, and more specificallythe importance of large events, with heavy-tailed distributions. Those extreme eventsstretch the interface and notably modify the main scaling exponents. The consequenceson optimization strategies in disorder landscapes are emphasized.iii) The presence of correlations in the disorder is of natural experimental interest.Although they do not impact the KPZ class, they greatly inuence the average speed ofgrowth. The latter quantity is often overlooked because it is non-universal and ratherill-defined. Nonetheless, we show that a generic optimal average speed exists in presenceof time correlations, due to a competition between exploration and exploitation.iv) Finally, we consider a set of experiments about chemical front growth in porousmedium. While this growth process is not related to KPZ in an immediate way, wepresent different tools that effciently reproduce the observations.Along that work, the consequences of each Chapter in various domains, like opti-misation strategies, turbulence, population dynamics or finance, are detailed.

Cette thèse présente plusieurs aspects de la physique des systèmes élastiques désordonnés et des méthodes analytiques utilisées pour les étudier. On s’intéressera d’une part aux propriétés universelles des processus d’avalanches statiques et dynamiques (à la transition de dépiégeage) d’interfaces élastiques de dimension arbitraire en milieu aléatoire à température nulle. Pour étudier ces questions nous utiliserons le groupe de renormalisation fonctionnel. Après une revue de ces aspects,nous présenterons plus particulièrement les résultats obtenus pendant la thèse sur (i) la structure spatiale des avalanches et (ii) les corrélations entre avalanches.On s’intéressera d’autre part aux propriétés statiques à température finie de polymères dirigés en dimension 1+1, et en particulier aux observables liées à la classe d’universalité KPZ. Dans ce contexte l’étude de modèles exactement solubles a récemment permis de grands progrès. Après une revue de ces aspects, nous nous intéresserons plus particulièrement aux modèles exactement solubles de polymère dirigé sur le réseau carré, et présenterons les résultats obtenus pendantla thèse dans cette voie: (i) classification des modèles à température finie sur le réseau carré exactement solubles par ansatz de Bethe; (ii) universalité KPZ pour les modèles Log-Gamma et Inverse-Beta; (iii) universalité et nonuniversalitéKPZ pour le modèle Beta; (iv) mesures stationnaires du modèle Inverse-Beta et des modèles à température nulle associés. / This thesis presents several aspects of the physics of disordered elastic systems and of the analytical methods used for their study.On one hand we will be interested in universal properties of avalanche processes in the statics and dynamics (at the depinning transition) of elastic interfaces of arbitrary dimension in disordered media at zero temperature. To study these questions we will use the functional renormalization group. After a review of these aspects we will more particularly present the results obtained during the thesis on (i) the spatial structure of avalanches and (ii) the correlations between avalanches.On the other hand we will be interested in static properties of directed polymers in 1+1 dimension, and in particular in observables related to the KPZ universality class. In this context the study of exactly solvable models has recently led to important progress. After a review of these aspects we will be more particularly interested in exactly solvable models of directed polymer on the square lattice and present the results obtained during the thesis in this direction: (i) classification ofBethe ansatz exactly solvable models of directed polymer at finite temperature on the square lattice; (ii) KPZ universality for the Log-Gamma and Inverse-Beta models; (iii) KPZ universality and non-universality for the Beta model; (iv) stationary measures of the Inverse- Beta model and of related zero temperature models.