Le but de cette thèse est triple : INÉGALITÉS DE SOBOLEV AVEC DES CONSTANTES EXPLICITES SUR DES VARIÉTÉS RIEMANNIENNES À DENSITÉ ET À BORD CONVEXE : On obtient des inégalités de Sobolev à densité, avec des constantes géométriques explicites pour des variétés à courbure de m-Bakry-Émery Ricci minorée par une constante positive et à bord convexe. Ceci permet de généraliser de nombreux résultats connus dans le cas riemannien aux variétés avec densité. Nous montrons aussi comment déduire des inégalités de Sobolev obtenues, un résultat d’isolement pour les applications f -harmoniques. Nous présenterons également une nouvelle et très simple méthode pour la preuve de l’inégalité de Moser-Trudinger-Onofri [Onofri, 1982] dans le cas du disque euclidien. / The purpose of this thesis is threefold: SOBOLEV INEQUALITIES WITH EXPLICIT CONSTANTS ON A WEIGHTED RIEMANNIAN MANIFOLD OF CONVEX BOUNDARY: We obtain weighted Sobolev inequalities with explicit geometric constants for weighted Riemannian manifolds of positive m-Bakry-Emery Ricci curvature and convex boundary. As a first application, we generalize several results of Riemannian manifolds to the weighted setting. Another application is a new isolation result for the f -harmonic maps. We also give a new and elemantry proof of the well-known Moser-Trudinger-Onofri [Onofri, 1982] inequality for the Euclidean disk.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la régularité des solutions des équations de Monge-Ampère complexes ainsi que des équations hessiennes complexes dans un domaine borné de Cn. Dans le premier chapitre, on donne des rappels sur la théorie du pluripotentiel. Dans le deuxième chapitre, on étudie le module de continuité des solutions du problème de Dirichlet pour les équations de Monge-Ampère lorsque le second membre est une mesure à densité continue par rapport à la mesure de Lebesgue dans un domaine strictement hyperconvexe lipschitzien. Dans le troisième chapitre, on prouve la continuité hölderienne des solutions de ce problème pour certaines mesures générales. Dans le quatrième chapitre, on considère le problème de Dirichlet pour les équations hessiennes complexes plus générales où le second membre dépend de la fonction inconnue. On donne une estimation précise du module de continuité de la solution lorsque la densité est continue. De plus, si la densité est dans Lp , on démontre que la solution est Hölder-continue jusqu'au bord. / In this thesis we study the regularity of solutions to the Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations and also for complex Hessian equations in a bounded domain of Cn. In the first chapter, we give basic facts in pluripotential theory. In the second chapter, we study the modulus of continuity of solutions to the Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations when the right hand side is a measure with continuous density with respect to the Lebesgue measure in a bounded strongly hyperconvex Lipschitz domain. In the third chapter, we prove the Hölder continuity of solutions to this problem for some general measures. In the fourth chapter, we consider the Dirichlet problem for complex Hessian equations when the right hand side depends on the unknown function. We give a sharp estimate of the modulus of continuity of the solution as the density is continuous. Moreover, for the case of Lp-density we demonstrate that the solution is Hölder continuous up to the boundary.

Cette thèse s’inscrit dans le domaine mathématique de l’analyse des équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires stochastiques. Nous nous intéressons à des EDP paraboliques et hyperboliques que l’on perturbe stochastiquement au sens d’Itô. Il s’agit d’introduire l’aléatoire via l’ajout d’une intégrale stochastique (intégrale d’Itô) qui peut dépendre ou non de la solution, on parle alors de bruit multiplicatif ou additif. La présence de la variable de probabilité ne nous permet pas d’utiliser tous les outils classiques de l’analyse des EDP. Notre but est d’adapter les techniques connues dans le cadre déterministe aux EDP non linéaires stochastiques en proposant des méthodes alternatives. Les résultats obtenus sont décrits dans les cinq chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous étudions une perturbation stochastique des équations de Barenblatt. En utilisant une semi- discrétisation implicite en temps, nous établissons l’existence et l’unicité d’une solution dans le cas additif, et grâce aux propriétés de la solution nous sommes en mesure d’étendre ce résultat au cas multiplicatif à l’aide d’un théorème de point fixe. Dans le Chapitre II, nous considérons une classe d’équations de type Barenblatt stochastiques dans un cadre abstrait. Il s’agit là d’une généralisation des résultats du Chapitre I. Dans le Chapitre III, nous travaillons sur l’étude du problème de Cauchy pour une loi de conservation stochastique. Nous montrons l’existence d’une solution par une méthode de viscosité artificielle en utilisant des arguments de compacité donnés par la théorie des mesures de Young. L’unicité repose sur une adaptation de la méthode de dédoublement des variables de Kruzhkov.. Dans le Chapitre IV, nous nous intéressons au problème de Dirichlet pour la loi de conservation stochastique étudiée au Chapitre III. Le point remarquable de l’étude repose sur l’utilisation des semi-entropies de Kruzhkov pour montrer l’unicité. Dans le Chapitre V, nous introduisons une méthode de splitting pour proposer une approche numérique du problème étudié au Chapitre IV, suivie de quelques simulations de l’équation de Burgers stochastique dans le cas unidimensionnel. / This thesis deals with the mathematical field of stochastic nonlinear partial differential equations’ analysis. We are interested in parabolic and hyperbolic PDE stochastically perturbed in the Itô sense. We introduce randomness by adding a stochastic integral (Itô integral), which can depend or not on the solution. We thus talk about a multiplicative noise or an additive one. The presence of the random variable does not allow us to apply systematically classical tools of PDE analysis. Our aim is to adapt known techniques of the deterministic setting to nonlinear stochastic PDE analysis by proposing alternative methods. Here are the obtained results : In Chapter I, we investigate on a stochastic perturbation of Barenblatt equations. By using an implicit time discretization, we establish the existence and uniqueness of the solution in the additive case. Thanks to the properties of such a solution, we are able to extend this result to the multiplicative noise using a fixed-point theorem. In Chapter II, we consider a class of stochastic equations of Barenblatt type but in an abstract frame. It is about a generalization of results from Chapter I. In Chapter III, we deal with the study of the Cauchy problem for a stochastic conservation law. We show existence of solution via an artificial viscosity method. The compactness arguments are based on Young measure theory. The uniqueness result is proved by an adaptation of the Kruzhkov doubling variables technique. In Chapter IV, we are interested in the Dirichlet problem for the stochastic conservation law studied in Chapter III. The remarkable point is the use of the Kruzhkov semi-entropies to show the uniqueness of the solution. In Chapter V, we introduce a splitting method to propose a numerical approach of the problem studied in Chapter IV. Then we finish by some simulations of the stochastic Burgers’ equation in the one dimensional case.

<p>Doktorska disertacija je posvećena raznim klasama uop&scaron;tenih stohastičkih procesa i njihovim primenama na re&scaron;avanje singularnih stohastičkih parcijalnih diferencijalnih jednačina. U osnovi, disertacija se može podeliti na dva dela. Prvi deo disertacije (Glava 2) je posvećen strukturnoj karakterizaciji uop&scaron;tenih stohastičkih procesa u vidu haos ekspanzije i integralne reprezentacije. Drugi deo disertacije (Glava 3) čini primena dobijenih rezultata na re&middot;savanje stohastičkog Dirihleovog problema u kojem se množenje modelira Vikovim proizvodom, a koefcijenti eliptičnog diferencijalnog operatora su Kolomboovi uop&scaron;teni stohastički procesi.</p> / <p>Subject of the dissertation are various classes of generalized<br />stochastic processes and their applications to solving singular stochastic<br />partial di&reg;erential equations. Basically, the dissertation can be divided into<br />two parts. The &macr;rst part (Chapter 2) is devoted to structural characteri-<br />zations of generalized random processes in terms of chaos expansions and<br />integral representations. The second part of the dissertation (Chapter 3)<br />involves applications of the obtained results to solving a stochastic Dirichlet<br />problem, where multiplication is modeled by the Wick product, and the<br />coe&plusmn;cients of the elliptic di&reg;erential operator are Colombeau generalized<br />random processes.</p>