Reproduction de : Thèse de doctorat : Dynamique des fluides : Toulouse, INPT : 2005. / Titre provenant de l'écran-titre. Bibliogr. 141 réf.

Dans cette thèse, on s'est intéressé à la dynamique des poches de tourbillon pour des équations issues de la mécanique des fluides posées dans le plan. La thèse est composée de trois partie indépendantes. Un des objectifs est d'établir l'existence des tourbillons uniformément concentrés et rigides, c’est-à-dire, qui ne se déforment pas lors de l'évolution. Nous analysons deux configurations liées à la nature topologique du support: poches simplement et doublement connexes. Nos solutions sont obtenues via des techniques de bifurcations et d'analyse complexe. Le deuxième objectif est d'obtenir des précisions sur la structure globale du diagramme de bifurcation et sa réponse vis-à-vis des petites perturbations dans le modèle. Plus précisément, dans le deuxième chapitre on prouve l'existence de V-states doublement connexes dans un voisinage de l'anneau pour le modèle des surfaces quasi-géostrophique. On montre que l'on peut construire des branches de solutions qui sont des anneaux perturbés pour certaines valeurs explicites de vitesses angulaires qui sont liées aux fonctions hypergéométriques de Gauss et aux fonctions de Bessel. Le troisième chapitre porte sur l'étude de la structure du diagramme de bifurcation dans le cas doublement connexes pour l'équation d'Euler. Numériquement, près d'un cas dégénéré, les deux branches issues des deux vitesses angulaires possibles semblaient se rejoindre pour former un lacet. Nous avons prouvé analytiquement ce résultat. Le quatrième chapitre porte sur le modèle shallow water quasi-géostrophique. Dans une première partie, on prouve l'existence de V-states simplement connexes dans un voisinage du tourbillon de Rankine pour un nombre dénombrable de vitesses angulaires liées aux fonctions de Bessel modifiées. La deuxième partie porte sur la réponse du diagramme de bifurcation lorsque l'on fait varier un paramètre du modèle. On montre en particulier qu'une singularité présente lors d'un cas limite est éclatée. Notre étude analytique a été complétée par des simulations numériques portant sur les V-states limites pour les symétries deux et trois. / In this dissertation, we are concerned with the vortex dynamics for some equations arising in fluid mechanics. We distinguish three independent parts. One of the objectives is to prove the existence of uniformly concentrated rigid vortices, they do not change their shapes during the motion. We examine two configurations related to the topological nature of the support: simply and doubly connected vortex patches. Our solutions are obtained using bifurcation arguments and complex analysis tools. The second objective is to obtain some precisions on the global structure of the bifurcation diagram and its response to small perturbations. More precisely, in the second chapter we prove the existence of doubly connected V-states in a neighborhood of the annulus for the surface quasi-geostrophic model. We check that we can construct some branches of solutions which are perturbated annulus at some angular velocities related to hypergeometric Gauss functions and Bessel functions. The goal of the third chapter is to study the structure of the bifurcation diagram in the doubly connected case for Euler equations. Numerically, close to a degenerate case, the two branches of solutions come from the two angular velocities seems to merge to form a loop. We prove analytically this result. In the last chapter, we focus on the shallow quasi-geostrophic model. In the first part, we prove the existence of the simply V-states in a neighborhood of the Rankine Vortices for a countable number of angular velocities related to modified Bessel functions. In the second part, we study the reaction of the diagram bifurcation for small perturbations of the parameter. In particular, we prove that some singularities are broken due to a resonance phenomenon. Our analytical study is completed by numerical simulations on the limiting V-states for the two and three fold symetries.

Cette thèse porte sur l'instabilité elliptique des écoulements en rotation. Deux exemples d'application ont été envisagés : l'écoulement dans un sillage d'avion et la dynamique du noyau liquide de certaines planètes. Dans le sillage lointain d'un avion, l'écoulement consiste en deux tourbillons contra-rotatifs. Chaque tourbillon induit un champ de contrainte qui déforme l'autre tourbillon et entraîne sa déstabilisation. Les caractéristiques de cette instabilité sont analysées d'un point de vue théorique et numérique pour différents profils de tourbillon quand un jet axial est présent dans leur cœur. Le deuxième exemple porte sur la stabilité d'écoulement en rotation dans une sphère déformée en ellipsoïde. La déformation elliptique modélise un effet de marée sur le noyau liquide d'une planète. Les propriétés de stabilité de l'écoulement ont été obtenues par méthodes expérimentale et théorique. Un bon accord a été mis en évidence.

Les tourbillons hélicoïdaux générés derrière les rotors sont étudiés. Pour les générer, une méthode basée sur le couplage entre la technique de la ligne active et un solveur des équations de Navier-Stokes (ENS), incompressibles et tridimensionnelles, a été développée. Elle consiste à modéliser la pâle par son équivalent de forces volumiques. Les équations, écrites en coordonnées cylindriques, sont résolues par un schéma de différences finies, écrit en parallèle. La méthode est d'ordre deux en temps et en espace. Le solveur des ENS a été validé par la reproduction des taux de croissance d'un écoulement de jet, instable, trouvés par la théorie d'instabilité linéaire. La comparaison avec des données expérimentales a montré que la méthode prédit bien l'aérodynamique de la pâle. Ensuite, le tourbillon de bout de pâle a été, en particulier, caractérisé. La vorticité et la vitesse azimutale ont été trouvées auto-similaire et la taille du coeur suit asymptotiquement la loi de diffusion linéaire 2D. Un modèle simple du coeur du tourbillon a été proposé. La présence d'une vitesse axiale dans le coeur du tourbillon a été montrée et a été caractérisée en fonction du rapport de vitesse au bout de la pâle. Finalement, une étude de stabilité du tourbillon a été faite en utilisant une vitesse angulaire variable pour perturber l'écoulement. Les taux de croissances des modes les plus instables sont en bon accord avec celui de l'instabilité d'appariement 2D des tourbillons. Trois types de modes ont été identifiés en fonction de la fréquence des perturbations et ont été trouvés similaires aux modes décrits par la théorie et aussi trouvés, précédemment, par l'expérience. / This present work is aimed to study helical vortices encountered in the wakes of rotating elements. For this, the generation of a helical wake of a one-bladed-rotor in a laminar velocity field, is simulated by the actuator line method. This method is a coupling of a Navier-Stokes (NS) solver with the Actuator Line Method where the blade is replaced by the body forces. This method has been implemented in a finite difference code, that we have written in parallel to solve the 3D incompressible NS equations written in cylindrical coordinates. The order of accuracy of the method is two both in time and space. The NS solver was validated comparing growth rates of an unstable jet, found numerically, and those of linear instability theory. A good agreement was found. A good agreement was also found comparing numerical results to analytical formulations and experimental data. It was shown that the method predicts well the blade aerodynamics . Then, the helical tip vortex is characterized for different Reynolds numbers and Tip Speed Ratios. The vorticity and the azimuthal velocity were found self-similar and the vortex core follows asymptotically the linear 2D diffusion law. A simple model for the helical vortex core was proposed. The presence of an axial velocity inside the vortex core was highlighted. Then, a stability study of the helical tip vortex was done using an angular velocity dependent on time to perturb the flow. The largest growth rates were found in good agreement with those of the (2D) pairing instability. Three types of modes were identified based on the perturbation frequency. The results are similar to those found in previous analytical and experimental works.