El objetivo de la presente memoria de tesis es la modelación y estudio de problemas de tratamiento de recursos acuíferos mediante la utilización de biorreactores. En la Introducción de esta memoria se hace una revisión del problema de las aguas residuales, los métodos y fases del tratamiento de descontaminación, y se enfatiza la etapa de tratamiento secundario, cuya finalidad es la reducción de la materia orgánica presente en las aguas. Se introduce al biorreactor como herramienta para el tratamiento de la materia orgánica mediante el uso de microorganismos, los cuales se alimentan de ella. Se realiza una revisión de los modelos existentes para biorreactores, tanto en el caso determinista como en el estocástico, remarcándose la existencia de resultados de extinción de la biomasa y exclusión competitiva en el caso de dos especies. La presente tesis se divide en dos partes. En la Parte I se estudia un modelo estocástico de tratamiento de aguas mediante un biorreactor secuencial por lotes. Para ello, en el Capítulo 2 se desarrolla un modelo estocástico de biorreactores; esto se hace mediante un límite de aproximaciones de la dinámica del biorreactor por procesos de nacimiento y muerte. En el Capítulo 3 se estudia la existencia y unicidad de soluciones de la ecuación diferencial estocástica controlada que define la dinámica del biorreactor, cuyos coeficientes no cumplen las condiciones de tipo Lipschitz habitualmente requeridas para este tipo de resultados. En el Capítulo 4 se plantea el problema de descontaminación de aguas a tiempo mínimo mediante el uso de biorreactores secuenciales por lotes, con el modelo obtenido en el Capítulo 2, y se muestra que bajo cualquier estrategia admisible, la probabilidad de extinción de la biomasa es positiva, lo que hace que el tiempo esperado de tratamiento sea infinito. Con esto se prueba que el problema así formulado no tiene solución factible. En particular, esto muestra que la estrategia de llenado más rápido no es óptima para el problema estudiado, no obstante lo era para el problema determinista. Se plantean entonces otros problemas de control estocástico relevantes para el biorreactor secuencial por lotes, que pueden ser abordados en el contexto del modelo desarrollado. En la Parte 2 se estudia un problema de biorremediación de recursos acuíferos naturales mediante el uso de quimiostatos. En el Capítulo 5, se estudia el problema de descontaminación de recursos de gran volumen mediante un quimiostato de volumen mucho menor. Esto hace que haya zonas con difícil acceso al aparato descontaminante, por lo que se produce un gradiente de concentraciones en el recurso y no se puede aplicar la hipótesis de homogeneidad de sustrato. Esto se modela mediante la separación del recurso en dos zonas, llamadas zona activa, la que tiene fácil acceso a la descontaminación, y zona muerta, la que se descontamina por difusión con la zona activa. Se busca encontrar estrategias de descontaminación a tiempo mínimo controlando la velocidad de bombeo del quimiostato, y comparar dichas estrategias con la del caso homogéneo. Finalmente, se presentan las conclusiones, los problemas abiertos, y posibles direcciones de trabajo futuro.

Magíster en Ciencias, Mención Física / Esta tesis está enfocada en el estudio de singularidades de fase en el contexto de auto organización en sistemas fuera del equilibrio. Nuestra investigación estuvo focalizada en comprender el surgimiento de vórtices en una válvula de cristal líquido nemático (LCLV por sus siglas en inglés) con anclaje homeotrópico iluminada con un haz gaussiano. Este sistema físico permite la creación de vórtices ópticos que son auto-inducidos y que tienen auto-alineamiento, así como la inducción de vórtices positivos en el cristal líquido. En el primer capítulo se derivó desde principios fundamentales una ecuación que modela este sistema. Inicialmente se analizó el campo eléctrico aplicado y luego se derivó una ecuación de amplitud. Esta ecuación corresponde a una generalización de la ecuación de Ginzburg- Landau con un término anisotrópico y forzamiento espacial. En el segundo capítulo la ecuación anisotrópica de Ginzburg-Landau fue estudiada, caracterizando la solución tipo vórtice. Dos tipos de vórtices positivos fueron identificados. Se calculó la energía de estas soluciones y se mostró cómo intercambian estabilidad a través de una bifurcación transcrítica degenerada dependiente del parámetro anisotrópico. Se caracterizó el vórtice negativo perturbativamente y se calculó su energía numéricamente. En el tercer capítulo se realizó un análisis numérico de la ecuación anisotrópica forzada de Ginzburg-Landau. Se mostró cómo el forzamiento induce un sólo vórtice positivo en el centro del voltaje aplicado, lo que nos permitió comprender las observaciones experimentales.Este mecanismo de anclaje nos permitió concebir la posibilidad de crear redes programables de vórtices con una configuración espacial arbitraria. Esto fue experimentalmente confirmado usando una adecuada configuración de la LCLV. Posteriormente, se adaptó nuestra ecuación para considerar diferentes rayos de luz, lo que mostró numéricamente redes de vórtices en concordancia con las observaciones experimentales. En el último capítulo se estudió la dinámica de dislocaciones en un patrón anisotrópico. Se derivó una ecuación de amplitud enmendada para la ecuación anisotrópica de Swift-Hohenberg. En esta ecuación de amplitud, las dislocaciones aparecen como vórtices cuya dinámica fue caracterizada, permitiendo predecir la existencia de pares de dislocaciones estacionarios, lo que fue confirmado numéricamente. Los resultados obtenidos en esta tesis muestran que las singularidades de fase son un fenómeno omnipresente en la naturaleza, que pueden ser descritas en una manera unificada mediante ecuaciones de amplitud. A su vez, estas ecuaciones pueden relacionarse con el contexto físico específico, cerca de sus puntos críticos.

Resuelve y analiza el cálculo de la solución numérica de la ecuación de advección - difusión mediante el esquema de diferencias finitas. Presenta criterios de estabilidad, los cuales garantizan la estabilidad del esquema planteado para resolver la ecuacion de adveccion - difusión longitudinal; los criterios obtenidos deben garantizar la estabilidad y convergencia, como función de los números de Couran y Péclet, con todo esto, se tiene a disposición métodos sencillos que son numéricamente estables y convergentes, por lo que no se considera necesario recurrir a métodos más complicados para resolver la ecuación de advección - difusión para el caso unidimensional. Además, realiza la simulación computacional de la solución numérica de la ecuación de advección - difusión longitudinal utilizando el software Matlab y el lenguaje de programación Python. / Trabajo de suficiencia profesional

Ingeniero Civil Matemático / En esta memoria se estudia el comportamiento asintótico de un problema elíptico singularmente perturbado que presenta diversos fenómenos de interés, entre los cuales destacan la formación de boundary layers y homogeneización. Este tipo de problemas aparece en el estudio de perturbaciones estocásticas pequeñas de sistemas Hamiltonianos, así como también en el contexto de fenómenos de transporte en fluídos sujetos a velocidades de advección de gran magnitud. Ambos tipos de problemas han sido estudiados anteriormente bajo distintas hipótesis estructurales, y en este trabajo se presentan nuevos resultados que permiten relacionar los distintos comportamientos exhibidos por el sistema. Por un lado, la aparición de boundary layers en este sistema ha sido estudiada en detalle en trabajos anteriores, habiéndose obtenido una descripción completa, si bien no menos compleja, en términos de la geometría del dominio y su relación con el término de advección, que es la fuente de la perturbación. En este trabajo se extienden los resultados mencionados a problemas no lineales, y se profundiza en la descripción de este fenómeno, particularmente en términos de la convergencia. Por otro lado, el orígen de la perturbación singular en sistemas Hamiltonianos ha sido explotado extensivamente mediante técnicas probabilísticas. Recientemente nuevos resultados han sido obtenidos mediante la introducción de técnicas de ecuaciones en derivadas parciales, las que han permitido establecer una caracterización explícita en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias del fenómeno de homogeneización que exhibe este problema. Además de la introducción de no linealidad en el sistema, en este trabajo se presenta una descripción detallada de la relación que existe entre la homogeneización y la formación de boundary layers. Finalmente, se describe un problema de otra naturaleza, relacionado con la ecuación de Fisher no local. Este problema ha suscitado considerable interés recientemente debido a la complejidad y diversidad de comportamientos que exhibe, particularmente en cuanto se refiere a las propiedades de las ondas viajeras presentes en el sistema.

Ingeniero Civil Matemático / En la presente memoria se estudia la ecuación (I-\Delta)^{\alpha} u = f(x,u) en R^N, con \alpha\in(0,1). Se establece la existencia de una solución débil mediante un resultado del tipo paso de la montaña y usando las propiedades del kernel del operador (I-\Delta)^{-\alpha} se estudia la regularidad de dicha solución. Mediante un argumento de comparación junto con uno de punto fijo se determina que esta solución posee decaimiento exponencial. También se establece la existencia de infinitas soluciones cuando f(x,u)=|u|^{p-1}u utilizando las propiedades del género de Krasnoselskii y finalmente se demuestra una identidad del tipo Pohozaev con la cual se obtiene la no existencia de soluciones positivas en los casos crítico y supercrítico. Se analizan también las principales propiedades de los operadores (-\Delta)^{\alpha} y (I-\Delta)^{\alpha} junto con los núcleos asociados y su relación con el laplaciano. Finalmente se entrega una breve discusión con respecto a la ecuación (-\Delta)^{\alpha} u + u = f(x,u) en R^N y se plantea el problema de estudiar el límite cuando \alpha\to 1^-. Se discute la posible utilidad de la supersolución usada en el argumento de comparación que determina el decaimiento de la solución.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Este trabajo se concentra principalmente en estudiar el método de reducción de Lyapunov-Schmidt y sus aplicaciones al estudio de existencia de soluciones a problemas semilineales elípticos. En particular, utilizamos exitosamente este método para estudiar la ecuación de Allen-Cahn \Delta u + u(1-u^2)=0, en R^N en diferentes contextos. La geometría de los conjuntos de nivel de soluciones enteras de esta ecuación, presenta una estructura variada y compleja. En particular, esta ecuación esta presente en la famosa conjetura de E. De Giorgi, la cual afirma que si la dimensión del espacio es tal que 2\leq N\leq 8, las soluciones acotadas de esta ecuación que son monótonas en una dirección, tienen por conjuntos nivel a una familia de hiperplanos paralelos entre si, es decir, la solución depende solo de una variable. Gran progreso se ha alcanzado en la demostración de esta conjetura durante las \'ultimas décadas. La monotonía de las soluciones esta relacionada con sus propiedades de estabilidad. En el programa de entender el conjunto de soluciones enteras de esta ecuación, es interesante estudiar soluciones que tienes índice de Morse finito, de las cuales para nuestro conocimiento, pocos ejemplos se conocen hasta ahora. En la primera parte de esta investigación, utilizamos el método de reducción, en esencia no variacional, para construir una familia de soluciones acotadas axialmente simétricas a la ecuación de Allen-Cahn en R3, con la propiedad de tener múltiples transiciones sobre una dilatación grande de una catenoide. De nuestro desarrollo, se evidencia contundentemente que estas soluciones tienen indice de Morse grande a medida que la catenoide se vuelve más y más dilatada. Motivados por este descubrimiento y utilizando el mismo método, continuamos este trabajo construyendo una nueva familia de soluciones axialmente simétricas a la ecuación de Allen-Cahn en R3, cuyo conjunto nodal consiste en dos componentes conexas que provienen del grafo y su reflexión respecto al eje z, de una solución suave y radialmente simétrica de la ecuación de Liouville en R2. De igual forma, encontramos fuerte evidencia para afirmar que el índice de Morse de esta familia de soluciones es finito. Luego, presentamos el estudio de la ecuación no homogénea de Allen-Cahn en R2, en la cual presentamos otra aplicación del método reducción construyendo, bajo ciertas condiciones geométricas, una familia de soluciones cuyos conjuntos nodales, fuera de una bola grande de R2, tienen dos componentes conexas que son asintóticamente semirrectas no paralelas entre si. Finalmente, y en contraste, consideramos el contexto variacional presentando resultados de existencia de múltiples soluciones para un sistema elíptico de ecuaciones con un acoplamiento simétrico. La aplicación del método de reducción variacional, permite luego aplicar de forma clásica el teorema de paso de montaña simétrico. La importancia del método de reducción, en este caso, radica en que las propiedades de simetría del sistema de ecuaciones, las cuales provienen de la forma del sistema, en lugar de las no linealidades, son heredadas por ecuación reducida.

Doctora en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / El objetivo de este trabajo es explorar el comportamiento de los procesos de rami ficación evolucionando a tiempo y estados continuos, y encontrar representaciones para su trayectoria y su genealogía. En el primer capítulo se muestra que un proceso de ramifi cación condicionado a no extinguirse es la única solución fuerte de una ecuación diferencial estocástica conducida por un movimiento Browniano y una medida puntual de Poisson, más un subordinador que representa la inmigración, dónde estos procesos son mutuamente independientes. Para esto se usa el hecho de que es posible obtener la ley del proceso condicionado a partir del proceso original, a través de su h-transformada, y se da una manera trayectorial de construir la inmigración a partir de los saltos del proceso. En el segundo capítulo se encuentra una representación para los procesos de rami ficación con crecimiento logístico, usando ecuaciones estocásticas. En particular, usando la de finición general dada por A. Lambert, se prueba que un proceso logístico es la única solución fuerte de una ecuación estocástica conducida por un movimiento Browniano y una medida puntual de Poisson, pero con un drift negativo fruto de la competencia entre individuos. En este capítulo se encuentra además una ecuación diferencial estocástica asociada con un proceso logístico condicionado a no extinguirse, suponiendo que éste existe y que puede ser de finido a través de una h-transformada. Esta representación muestra que nuevamente el condicionamiento da origen a un término correspondiente a la inmigración, pero en este caso dependiente de la población. Por último, en el tercer capítulo se obtiene una representación de tipo Ray-Knight para los procesos de ramifi cación logísticos, lo que da una descripción de su genealogía continua. Para esto, se utiliza la construcción de árboles aleatorios continuos asociados con procesos de Lévy generales dada por J.-F. Le Gall e Y. Le Jan, y una generalización del procedimiento de poda desarrollado por R. Abraham, J.-F. Delmas. Este resultado extiende la representación de Ray-Knight para procesos de difusión logísticos dada por V. Le, E. Pardoux y A. Wakolbinger.

Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Matemático / En el contexto de estudios biomecánicos en medicina, existen diversas preguntas por responder, fluctuando desde el modelamiento mismo de tejidos u órganos a la simulación, predicción y validación de los diversos procedimientos experimentales que determinan factores clínicos de interés tal como son los parámetros de espesor, porosidad, rigidez, etc. Este trabajo está orientado en esta última dirección, mediante el cual se propone una formalización, justificación teórica y validación del problema directo de modelar el comportamiento mecánico de un hueso cortical de un nuevo procedimiento de ultrasonido. Así, mediante la teoría de homogenización, se modela la propagación de una guía de ondas en un hueso poroso ideal-izado e implementa numéricamente un modelo electrodinámico usando librerías al estado del arte. Los resultados obtenidos se comparan con la literatura reciente que propone el modelo experimental usado, validando el modelo numérico. Similarmente se estudia la presencia de viscosidad sobre el hueso mediante un modelo tipo Kelvin-Voigt, con predicciones en los factores de calidad que investigan efectos de amortiguamiento, comparable con limitados resultados experimentales recientes. In the context of biomechanical assessment of bone in medicine, there are abundant questions to be answered, fluctuating from the modelling itself of tissues and organs to the simulation, prediction and validation of the different kind of experimental procedures that determine clinical factors of interest such as the thickness, porosity, stiffness constants, etc. This work is oriented in the later direction in which it is proposed a formalization, theoretical justification and validation of the direct problem related to modelling the mechanical behavior of cortical bone from a new ultrasound experimental procedure. By means of homogenization theory, it is described the propagation of a guided-wave in porous bone and implemented numerically an elastodynamic model by applying state-of-art libraries using FEM method. The results obtained are then compared with recent literature that propose the experimental procedure, validating the numerical model. Similarly, it is studied the presence of viscoelastic type behavior in bone by applying a Kelvin-Voigt model, predicting quality factors that assess damping effects which in particular are comparable with recent and limited experimental results. / Fondecyt 1151512 y CMM Conicyt PIA AFB170001. NLHPC: Esta tesis fue parcialmente apoyada por la infraestructura de supercómputo del NLHPC (ECM-02)

La resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales de orden superior suele apoyarse en la consideración de un sistema ampliado de primer orden. Este enfoque clásico presenta dos inconvenientes. El primero de ellos es el aumento del volumen computacional debido al correspondiente aumento de la dimensión del problema transformado. El segundo inconveniente es la pérdida de explicitez de las soluciones obtenidas en términos de los datos. En la línea de trabajo de nuestro grupo de invest igación nos proponemos aquí, progresar en el empeño de obtener soluciones de sistemas de ecuaciones de orden superior, con la calidad de respuesta del caso escalar. ~ecuérdese que el método de Frobenius es un método directo que trata en el caso escalar las ecuaciones de segundo orden sin considerar el problema equivalente ampliado de primer orden. Nos proponemos obtener soluciones explícitas de sistemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes analíticos sin aumentar la dimensión del problema. Como consecuencia de este estudio surgirán funciones especiales matriciales de Bessel y polinomios ortogonales matriciales de tipo Gegenbauer que gozan de propiedades análogas a los correspondientes del caso escalar y que esperamos constituyan el punto de partida para la obtención de métodos analítico-num&ricos de resoluci6n de otros tipos de problemas como la integración numérico-matricial o la resolución de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales, tal como se ha conseguido en 1211, 1271 y 1281 para el caso de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales con coeficientes constantes. En el capítulo 1, además de recordar algunos hechos fundamentales que se utilizarán en capítulos posteriores, presentaremos resultados de tipo Frobenius matricial para ecuaciones de la forma Los capítulos 11 y 111 están dedicados a sistemas de tipo Bessel matricial donde A es una matriz cuadrada (posiblemente singular), que introducir las funciones de Bessel matriciales y propiedades. La memoria concluye con la necesaria lista de referencias. La clasificación temática de este trabajo de acuerdo con la 1991 AMS Subject Classification es la siguiente: 33C10, 34A30, 47A60, 15A24. Comenzaremos este primer capítulo presentando diversos resultados del cálculo funcional matricial así como la resolución de ciertas ecuaciones algebraicas matriciales de utilidad para los capítulos posteriores. Trataremos también del concepto de con junto fundamental de soluciones de ecuaciones diferenciales matriciales de segundo orden de la forma: Y"(t) + P(t)Y1(t) + Q(t)Y(t) = O, donde P(t) y Q(t) son funciones contínuas con valores en cnXn. Finalmente, pese a que el objetivo de esta tesis se centra en el estudio de dos ecuaciones diferenciales particulares, hemos creído conveniente comentar, a modo de introducción, algunos resultados generales sobre ecuaciones diferenciales matriciales con coeficientes analíticos de segundo orden: donde A(t) y B(t) son funciones analíticas matriciales. En todo lo relativo a demostrar la convergencia absoluta de soluciones matriciales en serie utilizaremos el concepto de norma-2 o norma espectral de una matriz. Si B es una matriz de cmXny B~ es la transpuesta conjugada de B, la norma espectral de B viene definida por: / Company Rossi, R. (1993). Soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales matriciales con coeficientes variables [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/4282

EN ESTA MEMORIA SE CONSIDERAN DOS TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES MATRICIALES. EN PRIMER LUGAR SE CONSTRUYEN SOLUCIONES NUMERICAS PARA PROBLEMAS DE VALORES INICIALES MATRICIALES UTILIZANDO METODOS LINEALES MULTIPASO MATRICIALES. A CONTINUACION, VIA INTERPOLACION LINEAL MATRICIAL SE CONSTRUYEN SOLUCIONES NUMERICAS CONTINUAS CON COTAS DE ERROR EXPRESADOS EN TERMINOS DE LOS DATOS. PARTICULAR ATENCION SE PRESTAN A LAS ECUACIONES DE TIPO RICCATI Y LYAPUNOV GENERALIZADAS CON COEFICIENTES VARIABLES. SISTEMAS ACOPLADOS DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES (CONSIDERADOS MATRICIALMENTE) SON TRATADOS PARA EL CASO DE PROBLEMAS MIXTOS (INICIALES CON CONDICIONES DE CONTORNO). EN PRIMER LUGAR SE CONSTRUYE SOLUCION EXACTA EN FORMA DE SERIE. A CONTINUACION SE TRUNCA LA SERIE MATRICIAL DE MODO QUE EN UN DOMINIO ACOTADO EL ERROR ESTE UNIFORMEMENTE ACOTADO POR UNA CANTIDAD PREFIJADA DE ANTEMANO. / Ponsoda Miralles, E. (1994). Soluciones numericas continuas de ecuaciones diferenciales matriciales con cotas de error a priori [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/4921