[pt] O eixo medial é uma descrição compacta de um objeto que preserva sua topologia e induz naturalmente uma discretização da sua forma como união de bolas. O estudo de união de bolas possui aplicações em diversas áreas da Matemática, em particular na Geometria Computacional onde se usa, por exemplo, para reconstrução de curvas e superfícies. Este trabalho pretende utilizar união de bolas para simular deformações a partir do eixo medial, apresentando conceitos e teoremas a fim de construir algoritmos para a extração do eixo medial em R3. A deformação será, então, definida por movimentos locais das bolas ao longo das direções do eixo medial. Este trabalho contém resultados com movimentos simples, em um programa que utiliza a biblioteca CGAL / [en] The medial axis is a compact description of an object that preserves its topology and naturally induces a discretisation of its forma in terms of union of balls. The study of union of balls has applications in various areas of Mathematics, in particular in Computational Geometry where it is used for curve and surface reconstruction. This work pretends to use union of balls in order to simulate deformations described on the medial axis. It introduces concepts and theorems in order to setup algorithms for medial axis extraction in R3. The deformation will thus be defined by local ball moves along the medial axis directions. This work contains results with simple movements, in a program that uses the CGAL library

[pt] O estudo computacional de uniões de bolas possui aplicações em diversas áreas da Matemática. O objetivo principal deste trabalho é propor uma simplificação de união de bolas em R2 através de um movimento que obedece as direções do eixo medial, procurando preservar os grandes elementos geométricos da união de bolas. A desconexão ou não das formas é um aspecto essencial da evolução. Em alguns casos, pode significar uma divisão importante do objeto. Em outros, pode ser indesejada, pois gostaríamos de ter uma versão conexa simplificada da forma. / [en] The computational study of unions of balls has applications in several domains of the Mathematics. The purpose of this dissertation is to propose a simplification of the union of balls in R2 through a movement that obeys the direction of the medial axis in order to simplify it, maintaining the major geometric elements of its shape. The disconnection of the shape is an essential property of the evolution. In some cases, it could mean an important division of the object. In others, it may be undesirable because we would like to have a simplified version connected of this shape.

Representações computacionais de formas podem ser criadas em ferramentas CAD ou geradas a partir de um objeto físico já existente. Esta última abordagem oferece como vantagens rapidez e fidelidade ao objeto original, que são os aspectos fundamentais em muitas aplicações, como Simulações Numéricas de Equações Diferenciais Parciais e Imagens Médicas. A reconstrução (ou geração de malhas superficiais) a partir de pontos amostrados de uma superfície de um objeto é um problema clássico de representação de formas. Nesta dissertação apresentamos um vasto levantamento bibliográfico deste tipo de reconstrução, classificando e descrevendo os principais trabalhos presentes na literatura. A partir do levantamento bibliográfico, selecionamos um conjunto de algoritmos sobre os quais foram realizadas comparações teóricas e empíricas cujos resultados são apresentados. Para finalizar, apresentamos aplicações de nossas implementações em Simulação Numérica de Equações Diferenciais Parciais e processamento de Imagens / Computational representations of shapes can be developed using CAD applications or created from data acquired from a real physical object. This latter is advantageous with respect to time and fidelity to the original object which are essential to several applications, such as Numerical Simulation of Partial Differential Equations and Medical Imaging. A classical shape representation problem is that of reconstruction (or superficial mesh generation) from points sampled over the surface of an object. In this Master\'s thesis we describe a broad survey of these reconstruction methods. We focus in the classification and characterization of the main algorithms proposed in the literature. From this survey, we selected some algorithms and conducted some theoretical and practical comparisons. We conclude this work describing applications of the algorithms implemented in Numerical Simulations of Differential Partial Equations and Image Processing

Representações computacionais de formas podem ser criadas em ferramentas CAD ou geradas a partir de um objeto físico já existente. Esta última abordagem oferece como vantagens rapidez e fidelidade ao objeto original, que são os aspectos fundamentais em muitas aplicações, como Simulações Numéricas de Equações Diferenciais Parciais e Imagens Médicas. A reconstrução (ou geração de malhas superficiais) a partir de pontos amostrados de uma superfície de um objeto é um problema clássico de representação de formas. Nesta dissertação apresentamos um vasto levantamento bibliográfico deste tipo de reconstrução, classificando e descrevendo os principais trabalhos presentes na literatura. A partir do levantamento bibliográfico, selecionamos um conjunto de algoritmos sobre os quais foram realizadas comparações teóricas e empíricas cujos resultados são apresentados. Para finalizar, apresentamos aplicações de nossas implementações em Simulação Numérica de Equações Diferenciais Parciais e processamento de Imagens / Computational representations of shapes can be developed using CAD applications or created from data acquired from a real physical object. This latter is advantageous with respect to time and fidelity to the original object which are essential to several applications, such as Numerical Simulation of Partial Differential Equations and Medical Imaging. A classical shape representation problem is that of reconstruction (or superficial mesh generation) from points sampled over the surface of an object. In this Master\'s thesis we describe a broad survey of these reconstruction methods. We focus in the classification and characterization of the main algorithms proposed in the literature. From this survey, we selected some algorithms and conducted some theoretical and practical comparisons. We conclude this work describing applications of the algorithms implemented in Numerical Simulations of Differential Partial Equations and Image Processing