Le sujet de la thèse s’inscrit dans le cadre du développement de modèles pour la simulation du contrôle non-destructif (CND) par ultrasons. L'objectif à long terme est la mise au point, par une méthode de rayons, d’un outil complet de simulation des échos issus de la géométrie (surfaces d’entrée, de fond…) ou des structures internes des pièces inspectées. La thèse vise plus précisément à intégrer le phénomène de diffraction par les dièdres à un modèle existant dérivant de l’acoustique géométrique et qui prend uniquement en compte les réflexions sur les faces.Pour cela, la méthode dite des fonctions spectrales, développée initialement pour le cas d'un dièdre immergé, est développée et validée dans un premier temps dans le cas des ondes acoustiques pour des conditions aux limites de type Dirichlet ou Neumann. La méthode est ensuite étendue à la diffraction des ondes élastiques par des dièdres infinis à faces libres et d'angles quelconques, pour une incidence 2D puis pour une incidence 3D. Cette méthode est semi-analytique puisque les solutions recherchées s'écrivent sous la forme d'une somme d'une fonction singulière, qui est déterminée analytiquement à l'aide d'un algorithme récursif, et d'une fonction régulière, qui est approchée numériquement.Les codes correspondants sont validés par comparaison à une solution exacte dans le cas acoustique et par comparaison à d'autres codes (semi-analytiques et numériques) dans le cas élastique. Des validations expérimentales du modèle élastodynamique sont également proposées. / This thesis falls into the framework of model development for simulation of ultrasonic non-destructive testing (NDT). The long-term goal is to develop, using ray methods, a complete simulation tool of specimen echoes (input, back-wall surfaces...) or echoes of inner structures of inspected parts. The thesis aims more specifically to integrate the phenomenon of diffraction by wedges to an existing model derived from geometrical acoustics, which only accounts for reflections on the wedge faces.To this end, a method called the spectral functions method, which was initially developed for immersed wedges, is developed and validated as a first step in the case of acoustic waves with Dirichlet or Neumann boundary conditions. The method is then extended to elastic wave diffraction by infinite stress-free wedges of arbitrary angles, for 2D and 3D incidences. This method is semi-analytic since the unknown solutions are expressed as the sum of a singular function, determined analytically using a recursive algorithm, and a regular function which is approached numerically.The corresponding codes are validated by comparison to an exact solution in the acoustic case and by comparison to other codes (semi-analytic and numerical) in the elastic case. Experimental validations of the elastodynamic model are also proposed.

La problématique récente de la conception de métamatériaux a renouvelé l'intérêt dans les théories de l'homogénéisation en régime dynamique. En particulier, la théorie de l'homogénéisation élastodynamique initiée par J.R. Willis a reçu une attention particulière suite à des travaux sur l'invisibilité élastique. La présente thèse reformule la théorie de Willis dans le cas des milieux périodiques, examine ses implications et évalue sa pertinence physique au sens de quelques ``conditions d'homogénéisabilité'' qui sont suggérées. En se basant sur les résultats de cette première partie, des développements asymptotiques approximatifs de la théorie de Willis sont explorés en relation avec les théories à gradient. Une condition nécessaire de convergence montre alors que toutes les branches optiques de la courbe de dispersion sont omises quand des développements asymptotiques de Taylor de basse fréquence et de longue longueur d'onde sont déployés. Enfin, une nouvelle théorie de l'homogénéisation est proposée. On montre qu'elle généralise la théorie de Willis et qu'elle l'améliore en moyenne fréquence de sorte qu'on retrouve certaines branches optiques omises auparavant. On montre également que le milieu homogène effectif défini par la nouvelle théorie est un milieu généralisé dont les champs satisfont une version élastodynamique généralisée du lemme de Hill-Mandel / The recent issue of metamaterials design has renewed the interest in homogenization theories under dynamic loadings. In particular, the elastodynamic homogenization theory initiated by J.R. Willis has gained special attention while studying elastic cloaking. The present thesis reformulates Willis theory for periodic media, investigates its outcome and assesses its physical suitability in the sense of a few suggested ``homogenizability conditions''. Based on the results of this first part, approximate asymptotic expansions of Willis theory are explored in connection with strain-gradient media. A necessary convergence condition then shows that all optical dispersion branches are lost when long-wavelength low-frequency Taylor asymptotic expansions are carried out. Finally, a new homogenization theory is proposed to generalize Willis theory and improve it at finite frequencies in such a way that selected optical branches, formerly lost, are recovered. It is also proven that the outcome of the new theory is an effective homogeneous generalized continuum satisfying a generalized elastodynamic version of Hill-Mandel lemma

La théorie d'homogénéisation élastodynamique des matériaux hétérogènes initiée par J.R. Willis il y a environ une trentaine d'années a récemment reçu une très grande attention. D'après cette théorie qui est mathématiquement exacte, la loi constitutive homogénéisée est non locale en espace et en temps ; le tenseur des contraintes dépend non seulement du tenseur des déformations mais aussi de la vitesse ; la quantité du mouvement dépend à la fois de la vitesse et du tenseur des déformations, faisant apparaître en général une masse anisotrope. Ces propriétés constitutives effectives, qui pourraient être surprenantes d'un point de vue mécanique classique, se révèlent en fait très utiles pour la conception de métamatériaux acoustiques et de capes acoustiques. Ce travail de thèse consiste essentiellement à proposer et développer deux méthodes numériques efficaces pour déterminer les propriétés élastodynamiques effectives des matériaux périodiquement hétérogènes. La première méthode relève de la méthode des éléments finis alors que la deuxième méthode est basée sur la transformée de Fourier rapide. Ces deux méthodes sont d'abord élaborées pour une microstructure périodique 3D quelconque et ensuite implantées pour une microstructure périodique 2D quelconque. Les avantages et les inconvénients de chacune de ces deux méthodes sont comparés et discutés. A l'aide des méthodes numériques élaborées, la théorie de Willis est appliquée au calcul élastodynamique sur un milieu infini hétérogène et celui homogénéisé. Les différents cas d'homogénéisabilité et de non-homogénéisabilité sont discutés / The elastodynamic homogenization theory of heterogeneous materials initiated by J.R. Willis about thirty years ago has recently received considerable attention. According to this theory which is mathematically exact, the homogenized constitutive law is non-local in space and time; the stress tensor depends not only on the strain tensor but also on the velocity; the linear momentum depends on both the velocity and the strain tensor, making appear an anisotropic mass tensor in general. These effective constitutive properties, which may be surprising from a classical mechanical point of view, turn out in fact to be very useful for the design of acoustic metamaterials and acoustic cloaks. The present work is essentially to propose and develop two efficient numerical methods for determining the effective elastodynamic properties of periodically heterogeneous materials. The first method belongs to the finite element method while the second method is based on the fast Fourier transform. These two methods are first developed for any 3D periodic microstructure and then implanted for any 2D periodic microstructure. The advantages and disadvantages of each of these two methods are compared and discussed. Using the elaborated numerical methods, the Willis theory is applied to the elastodynamic computation over the infinite heterogeneous medium and the homogenized one. The various cases of homogeneisability and non-homogeneisability are discussed

La théorie d'homogénéisation élastodynamique des matériaux hétérogènes initiée par J.R. Willis il y a environ une trentaine d'années a récemment reçu une très grande attention. D'après cette théorie qui est mathématiquement exacte, la loi constitutive homogénéisée est non locale en espace et en temps ; le tenseur des contraintes dépend non seulement du tenseur des déformations mais aussi de la vitesse ; la quantité du mouvement dépend à la fois de la vitesse et du tenseur des déformations, faisant apparaître en général une masse anisotrope. Ces propriétés constitutives effectives, qui pourraient être surprenantes d'un point de vue mécanique classique, se révèlent en fait très utiles pour la conception de métamatériaux acoustiques et de capes acoustiques. Ce travail de thèse consiste essentiellement à proposer et développer deux méthodes numériques efficaces pour déterminer les propriétés élastodynamiques effectives des matériaux périodiquement hétérogènes. La première méthode relève de la méthode des éléments finis alors que la deuxième méthode est basée sur la transformée de Fourier rapide. Ces deux méthodes sont d'abord élaborées pour une microstructure périodique 3D quelconque et ensuite implantées pour une microstructure périodique 2D quelconque. Les avantages et les inconvénients de chacune de ces deux méthodes sont comparés et discutés. A l'aide des méthodes numériques élaborées, la théorie de Willis est appliquée au calcul élastodynamique sur un milieu infini hétérogène et celui homogénéisé. Les différents cas d'homogénéisabilité et de non-homogénéisabilité sont discutés / The elastodynamic homogenization theory of heterogeneous materials initiated by J.R. Willis about thirty years ago has recently received considerable attention. According to this theory which is mathematically exact, the homogenized constitutive law is non-local in space and time; the stress tensor depends not only on the strain tensor but also on the velocity; the linear momentum depends on both the velocity and the strain tensor, making appear an anisotropic mass tensor in general. These effective constitutive properties, which may be surprising from a classical mechanical point of view, turn out in fact to be very useful for the design of acoustic metamaterials and acoustic cloaks. The present work is essentially to propose and develop two efficient numerical methods for determining the effective elastodynamic properties of periodically heterogeneous materials. The first method belongs to the finite element method while the second method is based on the fast Fourier transform. These two methods are first developed for any 3D periodic microstructure and then implanted for any 2D periodic microstructure. The advantages and disadvantages of each of these two methods are compared and discussed. Using the elaborated numerical methods, the Willis theory is applied to the elastodynamic computation over the infinite heterogeneous medium and the homogenized one. The various cases of homogeneisability and non-homogeneisability are discussed

Contexte. Les problèmes inverses, qui font l'objet de nombreuses études aujourd'hui, apparaissent dans une large gamme d'applications : imagerie et tomographie, identification de propriétés matérielles, contrôle non destructif,... L'étude présentée s'inscrit dans le cadre de ce dernier exemple. Elle a pour objet la recherche de nouvelles méthodes, numériquement rapides, permettant une identification qualitative d'objets (inclusions, cavités, fissures,...) enfouis dans des milieux élastiques linéaires, en connaissant (au moins partiellement) la réponse en surface à une sollicitation dynamique. La plupart des méthodes classiquement utilisées pour traiter ce type de problèmes sont fondées sur des algorithmes itératifs de minimisation qui requièrent un grand nombre de simulations directes. Dans le contexte considéré pour cette étude (propagation d'ondes dans des solides élastiques tridimensionnels), ces simulations sont très coûteuses numériquement. L'émergence récente de techniques permettant de sonder, numériquement, de façon non-itérative un milieu donné, a permis d'aborder ces problèmes sous un nouveau jour. Un ensemble d'études a en particulier montré, dans le cadre des hypothèses adoptées pour cette thèse, l'intérêt de méthodes telles que la Sensibilité Topologique ou le Linear Sampling, pour une détection approchée mais rapide. Objectifs de la thèse. L'étude qui est présentée ici, s'inscrit dans la perspectives du développement des deux méthodes mentionnées, dans le contexte de la mécanique des solides déformables, c'est-à-dire pour des problèmes de diffraction inverse en acoustique et en élasticité. Les différents point abordés dans ce travail sont les suivants : • Appréciation des capacités et des performances respectives des deux méthodes, en particulier lorsqu'elles sont mises en œuvre dans des codes numériques usuels, fondés par exemple sur la méthode des éléments finis. • Utilisation de ces développements pour une identification qualitative combinant géométrie et propriétés matérielles des défauts diffractants inconnus. • Extension de ces méthodes, ainsi que démonstration de leurs pertinences, pour des problèmes de diffraction inverse dans le domaine temporel ou utilisation des mesures multi-fréquentielles des champs diffractés. • Etude de quelques problèmes théoriques fondamentaux pour la justification et la mise en œuvre rigoureuse de ces méthodes. • Compréhension des liens théoriques pouvant exister entre la méthode de sensibilité topologique et la méthode de ”linear sampling”.

La simulation de la propagation d'ondes pour des configurations 3D est un domaine de recherche très actif. Le principal avantage de la BEM est de ne discrétiser que les frontières du domaine. Elle est ainsi bien adaptée aux domaines infinis. Cependant, la BEM classique conduit à des matrices pleines et donc à des coûts de calcul et mémoire importants.<br />La FMM a permis d'augmenter de manière significative les capacités de la BEM dans beaucoup de domaines d'application. <br />Dans ce travail, la FMM est étendue aux équations de l'élastodynamique 3D dans le domaine fréquentiel, pour des domaines homogènes puis, grâce à une stratégie de couplage BE-BE, aux problèmes multi-domaines. D'autres améliorations de la méthode sont aussi présentées: préconditionnement, réduction du nombre de moments, développement multipôle pour les fonctions de Green du demi-espace. Des applications en sismologie sont présentées pour des modèles canoniques ainsi qu'au modèle de la vallée de Grenoble.

Cette thèse concerne le traitement numérique des interfaces pour des probèmes de propagation d'ondes dans des fluides parfaits et des solides élastique isotropes. La présence d'interfaces induit trois types de difficultés. Numériquement, on observe une chute de l'ordre de convergence des schémas, et des problèmes de stabilité. Géométriquement, la représentation en « marches d'escalier » conduit à des diffractions parasites. Physiquement, les schémas ne décrivent pas la nature des contacts. Nous résolvons ces trois problèmes via une méthode d'interface (schéma utilisé aux points de calcul voisins des interfaces, imposant à la solution numérique le respect des différentes conditions vérifiées par la solution exacte). L'étude est divisée en trois parties. La première partie débute par un état de l'art sur les méthodes d'interface classiques, comme l' « Immersed Interface Method » IIM), et sur leurs limitations. Les équations de l'acoustique et de l'élastodynamique sont écrites sous forme de systèmes hyperboliques du premier ordre. Différents schémas numériques, de complexité et qualité croissantes, sont présentés (Lax-Wendroff, volumes finis à limiteur de flux, WENO). La deuxième partie commence par le calcul des conditions de saut vérifiées par la solution exacte et par ses dérivées spatiales successives, pour différentes interfaces : fluide-fluide, fluide-solide et solide-solide, en contact parfait ou imparfait (conditions de masse-ressort). Nous proposons alors une nouvelle méthode d'interface, l' « Explicit Simplified Interface Method ». Cette méthode conserve, en présence d'interfaces, des propriétés des schémas en miieu homogène. L'ESIM est de mise en œuvre aisée, s'adapte aux différents schémas, et conduit à un surcoût informatique négligeable. La troisième partie concerne la validtion numérique de la méthode. Les comparaisons de solutions analytiques et de solutions calculées avec l'ESIM permettent de vérifier les propriétés attendues.

Dans cette thèse nous proposons de développer un système d'imagerie ultrasonore innovante de micro- défauts basé sur l'utilisation conjointe de techniques d'acoustique non linéaire et du concept de "transducteur à cavité chaotique". Ce transducteur correspond à la combinaison d'une céramique piézoélectrique collée sur une cavité de forme chaotique et du principe de retournement temporel. La faisabilité et les performances de ce nouveau système sont explorées par des simulations numériques. Des paramètres optimaux d'utilisation pour une implémentation expérimentale sont proposés. Une grande partie des travaux menés dans le cadre de cette thèse se concentre sur le développement d'outils numériques permettant l'amélioration de telles techniques d'imagerie. Un schéma d'éléments finis de type Galerkin Discontinu (GD) est étendu à l'élastodynamique non linéaire. Un type de zone absorbante parfaitement adaptée, appelée "Nearly Perfectly Matched Layer" (NPML) a aussi été développé. Dans le cas de matériaux orthotropes, comme des problèmes de stabilité apparaissent, un mélange de NPML et de zone atténuante, dont on contrôle la proportion respective, est introduit afin de stabiliser les NPML. Une validation expérimentale du concept de "transducteur à cavité chaotique" pour la focalisation dans un milieu solide, réverbérant ou non, en utilisant une seule source est réalisée. Les méthodes de retournement temporel et de filtre inverse sont présentées et comparées. La démonstration expérimentale qu'un "transducteur à cavité chaotique" peut être utilisé conjointement avec les méthodes d'inversion d'impulsion afin de réaliser une image de non linéarités localisées est présentée

Ce travail est dédié à l´étude et la simulation numérique de la rupture dynamique des séismes en deux et trois dimensions d´espace par une méthode d´éléments finis discontinus. Après avoir transformé le système de l´élastodynamique en un système hyperbolique symétrique du premier ordre, nous proposons un schéma numérique basé sur des flux centrés et un schéma explicite en temps de type saute-mouton. A travers l´étude d´une énergie discrète du système, nous spécifions les conditions aux limites sur la faille afin de prendre en compte de manière faible la rupture en mode cisaillant que nous traitons. Nous montrons, qu´en l´absence de tractions tangentielles sur la faille, cette énergie est parfaitement conservée. Nous illustrons la capacité de notre méthode à travers divers cas tests sur des configurations complexes grâce à une implémentation parallèle.

Les phénomènes de contact entre les corps, déformables ou non, sont omniprésents dans la vie courante. Leurs modélisations requièrent des outils mathématiques faisant appel à des systèmes d'équations aux dérivées partielles incluant des conditions aux limites non triviales pour décrire le contact. Si les aspects physiques de la mécanique du contact sont connus depuis longtemps, la théorie mathématique qui lui est dédiée reste relativement récente laissant ainsi place à de nombreux problèmes à investiguer. Ce travail porte sur la modélisation, l'analyse et la simulation numérique de tels problèmes. Il se situe à mi-chemin entre la mécanique du contact et les aspects mathématiques inhérents au type de problème qui en découle. L'objectif est ici d'étudier certaines catégories de problèmes faisant intervenir des conditions originales de contact (avec et sans frottement) à la fois d'un point de vue mathématique et numérique, afin d'apporter une contribution à la théorie mathématique, puis de mettre en avant quelques méthodes numériques adaptées à leur résolution dans un cadre spécifique. / Contact phenomena between bodies, whether they are deformable or not, abound in everyday life. Their modellings require mathematical tools using systems of partial differential equations and involving complex boundary conditions, in order to describe the contact. While the physical aspects of such phenomena have been known for a long time, the mathematical theory remains relatively recent which leaves room for numerous problems. This work focuses on the modelling, the analysis and the numerical simulations of such problems. It is located halfway between contact mechanics and the mathematical aspects inherent to the mechanical questions involved. Our aim is to study several groups of problems that include original contact conditions (with or without friction), both from a mathematical and numerical point of view, in order to contribute to the theory, and also to highlight several numerical methods used to solve specific contact problems.